概率论与数理统计第二章.ppt

1、概率论与数理统计,计算机科学学院 裘国永,第二章 随机变量及其分布,随机变量 离散型随机变量及其分布律 随机变量的分布函数 连续型随机变量及其概率密度 随机变量的函数的分布,在实际问题中，有些随机试验的结果本身就是数值（如班级的平均分数），而许多并不是数值（掷硬币的结果）。我们对数值的处理比较得心应手。因此，如果能用数值来表示样本空间的样本点，就会非常方便。由此就产生了随机变量的概念,2.1 随机变量,一、随机变量概念的产生,1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数,例如：掷一颗骰子面上出现的点数,七月份西安的最高温度,每天从西安下火车的人数,昆虫的产卵数,例如：抛掷一枚硬币可能出现的两

2、个结果, 可以用一个变量来描述,2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果。也就是说，把试验结果数值化,再如：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面和反面的情况，则样本空间是S=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT。令X表示三次投掷得到正面H的总数，那么X是定义在S上的一个实单值函数,称这种定义在样本空间上的实值函数为,随,量,机,变,简记为 r.v.（Random variable,定义 设S=e是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一个实值单值函数，即对于每一个eS，有一实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量,

3、随机变量通常用大写字母X, Y, Z或希腊字母、等表 示，而表示随机变量所取的值时，一般采用小写字母x, y, z等,这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗,2）随机变量的取值具有随机性，它随试验结果的不同而取不同的值，试验之前仅知道它可能取值的范围，而不能预知它取什么值。它与普通函数的区别在于随机变量取某一个值或在某个区间内取值均为随机事件,1）随机变量是定义在样本空间S上的实值单值函数，S中的元素不一定是实数，而普通函数只是定义在实数轴上,3）随机变量的取值具有统计规律性。由于试验结果的出现有一定的概率，因而随机变量取各个值也有一定的概率,例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身

4、高,我们可以把可能的身高看作随机变量X，然后可以提出关于X的各种问题,如 PX1.7=？ PX1.5=,P1.5X1.7=,例：引入适当的随机变量描述下列事件,将3个球随机地放入三个格子中，事件A=有1个空格，B=有2个空格，C=全有球 X：空格的个数,进行5次试验，事件D=试验成功一次，F=试验至少成功一次，G=至多成功3次 X：试验成功的次数,随机变量概念的引入是概率论走向成熟的一个标志，它弥补了随机试验下的随机事件种类繁多，不易一一总结它们取值规律的缺陷，因为如果知道随机变量的分布， 随机试验下任一随机事件的概率也随之可以得到；另外引入随机变量后，可以使用高等数学的方法来研究随机试验,二

5、、引入随机变量的意义,事件及 事件概率,随机变量及其 取值规律,思考 将一枚硬币抛掷3次，用X表示3次抛掷出现H的总次数，那么对样本空间S中的每一个样本点，X都有一个数与之对应，即,那么 PX=1=? PX2=,一般，若L是一个实数集合，将X在L上取值写成XL。它表示事件B=e| X(e)L，此时有PXL=P(B)=Pe| X(e)L,上例 PX=1=P(A), A=HTT, THT, TTH PX2=P(B), B=HTT, THT, TTH, TTT,三、事件和随机变量之间的关系,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,非离散型随机变量,奇异型随机变量,所有取值可以逐个 一一列举,全部可

6、能取值不仅 无穷多，而且还不能 一一列举，而是充满 一个区间,四、随机变量的分类,离散型随机变量：随机变量所有可能取的值是有限个或可列无限多个,为了掌握随机变量X的统计规律性，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率,2.2 离散型随机变量及其分布率,如X：取到次品的个数，Y：收到的呼叫数等都是离散型随机变量，但Z：电视机的寿命 不是离散型随机变量,这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律,从中任取3个球,取到的白球数X是一个随机变量,X可能取的值是0,1,2,取每个值的概率为,例2.1,且,1、定义 设离散型随机变量X的所有可能取值为xk（k=1, 2, ），称X

7、取各个可能值的概率，即事件X=xk的概率， PX=xk=pk, （k=1, 2, ） 为X的分布律或概率分布（Probability distribution）。也可以表示为,一、离散型随机变量概率分布的定义,用这两条性质判断 一个函数是否是 概率分布,1） pk 0, k1, 2, ; （2,2. 分布律的性质,解: 依据概率分布的性质,a0,从中解得,欲使上述函数为概率分布,这里用到了幂级数展开式,k =0,1,2,3. 利用分布律求事件概率,离散型随机变量的分布律不仅给出了X=xk 的概率，而且通过它可以求事件 发生的概率,由概率的有限可加性有,例2.3 设袋中有5只球，其中有2只白3只

8、红。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率,解：k可取值0，1，2,求抽得白球数至少为的概率,例2.4 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的分布律,解：X可取0、1、2为值,PX =0=(0.1)(0.1)=0.01,PX =1= 2 (0.9)(0.1) =0.18,PX =2=(0.9)(0.9)=0.81,且 PX =0+ PX =1+ PX =2=1,1. （0-1）分布 若随机变量X只取0和1，其分布律为 PXkpk(1p)1k, k0,1 (0p1) 则称X服从参数为p的（0-1）分布(贝努利分布或两点分布) （Two-point dist

9、ribution,二、常见的离散型随机变量的概率分布,其分布律也可以写成,凡是随机试验只有两个可能的结果，常用0 - 1分布描述，如产品是否格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等,应用场合,则 PX=1=196/200=0.98，PX=0=4/200=0.02， 故X服从参数为0.98的两点分布,若以X表示n重伯努利试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n, p的二项分布（binomial distribution）。记作Xb（n, p), 其分布律为,2. 伯努利试验、二项分布,设将试验独立重复进行n次，每次试验都只有两种可能的结果A和 ，设事件A发生的概率为p，则称这n次试

10、验为n重伯努利试验,例2.6 从某大学到火车站途中有6个交通岗，假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立，并且遇到红灯的概率都是1/3。 （1）设X为汽车行驶途中遇到的红灯数，求X的分布律。 （2）求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率,解:（1）由题意， X b(6,1/3), 于是X的分布律为,例2.7 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率,解：设X表示400次独立射击中命中的次数,则Xb(400, 0.02)， 故, PX2=1-PX=0-PX=1 =1-0.98400-(400)(0.02)(0.98399)=0.9972,例2.8，见P35例2,注:

11、 伯努利概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求,1）每次试验条件相同,二项分布描述的是n重伯努利试验中出现“成功”次数X的概率分布,3）各次试验相互独立,二项分布 b(n,p) 和0-1分布之间的关系,1.若X服从0-1分布，则X b(1, p) ； 2. 把试验E在相同条件下，相互独立地进行n次，记X为n次独立试验中结果A出现的次数，Xi为第i次试验中结果A出现的次数，则Xi b(1, p)，且,X= X1+X2+Xn b(n, p,3. 泊松(Poisson)分布,定义 若离散型随机变量X的分布律为 PXk , k0, 1, 2, (0,则称X服从参数为的泊松分布，记为X(,易见,例

12、2.9 某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数X服从参数 =3 的泊松分布。 求：（1）一分钟内恰好收到3次寻呼的概率。 （2）一分钟内收到2至5次寻呼的概率,解：因为 X (3)，所以X的分布律为 PX=k=(3k/k!)e-3 , k0, 1, 2, . 则，（1） PX=3=(33/3!)e-30.2240 （2） P2X5 =PX=2+PX=3+PX=4+PX=5 =(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)e-3 0.7169,解,例2.10 某一城市每天发生火灾的次数X服从参数为0.8的泊松分布。求该城市一天内发生3次以上火灾的概率,PX3=1- PX3 =1-P

13、X=0+ PX=1+PX=2 =1-(0.8 0/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!)e-0.8 0.0474,泊松分布的图形特点,Xp(l,历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的,泊松定理：对于二项分布b(n,p)，当n充分大，p又很小时，则对任意固定的非负整数k，有近似公式 PX=k= pk(1-p)n-k 其中,对例2.用泊松定理，取 =np(400)(0.02)8，故近似地有,PX21 PX0P X1 1(18)e80.996981,由泊松定理，n重伯努利试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布,我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有

14、事件，如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等,对于离散型随机变量，如果知道了它的概率分布,也就知道了该随机变量取值的概率规律。在这个意义上，我们说,离散型随机变量由它的概率分布唯一确定,两点分布、二项分布、泊松分布,作业 P55：2、4、6、12,对非离散型随机变量，其取值不是离散的，有时可以充满整个区间，对于这种更一般的随机变量， 我们感兴趣的就不是它取到某个具体的数的概率，而是它的取值落在某一个区间上的概率，比如：Px1a,Px1X x2=PX x2-PX x1,PXa=1-PX a,2.3 随机变量的分布函数,设X是随机变量，对任意实数x，事件Xx的概率PXx称为随机变量X的分布函数（

15、 Distribution function），记为F(x)，即 F(x)PXx,易知，对任意实数a, b (ab)， PaXbPXbPXa F(b)F(a,一、分布函数的概念,1. 这里分布函数的定义对任何随机变量都适用,2. 分布函数F(x)P Xx 是一个普通的函数，它的自变量是全体实数。掌握了X的分布函数就掌握了X在(, +)上的概率分布情况,注,1、单调不减性： 若x1x2，则F(x1)F(x2,3、右连续性：对任意实数x,二、分布函数的性质,2、归一 性： 对任意实数x，0F(x)1，且,这三个性质是 分布函数的充分必要性质,例2.11 设随机变量X具分布律如右表，试求出X的分布函

16、数及PX1, P0.5X1.5, P1X2,解,PX1=F(1)=0.7,P0.5X 1.5=F(1.5)-F(0.5)=0.7-0.1=0.6,P1 X 2,F(2)-F(1)+PX=1 =1-0.7+0.6=0.9,一般地，对离散型随机变量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函数为,例2.12 向0,1区间随机抛一质点，以X表示质点坐标。假定质点落在0,1区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数,当x0时，Xx=，故F(x)=0,当0 x1时,特别, F(1)=P0X1=k=1,解： F(x)=PXx,当x1时，Xx=S, 故F(x)=1,用分布函数描述随机变量不如分

17、布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法,a,b,2.4 连续型随机变量,1. 定义 对于随机变量X，若存在非负函数f(x) (-x+)，使对任意实数x，都有,则称X为连续型随机变量， f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数（ probability density function or probability density,一、概率密度,注：连续型随机变量的分布函数是连续函数,1） 非负性 f(x)0，(-x)； （2）归一性,EX,设随机变量X的概率密度为,求常数a,答,2. 密度函数的性质,这两条性质是 密度函数的 充要性质,3）若x是f(x)的连续点，则,

18、EX,设随机变量X的分布函数为,求f(x,故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限,对 f(x)的进一步理解: 若x是 f(x)的连续点，则,若不计高阶无穷小，有,它表示随机变量 X 取值于(x , x+x的概率近似等于 f(x)x,f(x)x在连续型r.v理论中所起的作用与PX=xk,在离散型r.v理论中所起的作用相类似,4）对任意实数a, 若连续型 随机变量X具有概率密度 f(x) (-x)， 则 PX=a0。于是,可见,由P(A)=0, 不能推出,由P(B)=1, 不能推出 B=S,令x0，由于X是连续型r.v，所以它的分布函数 连续，从而

19、PX=a=0,推导,密度函数的几何意义为,例2.13 已知随机变量X的概率密度为,1) 确定常数k。 2) 求X的分布函数F(x)。 3) 求PX(0.5,1.5,解:1,2,所以, k=1,3) PX(0.5,1.5),或 =F(1.5)-F(0.5)=,作业 P57：20、21、23,若 r.v. X的概率密度为,则称X在区间( a, b)上服从均匀分布,记作： X U(a, b,1. 均匀分布（Uniform distribution,三种常见连续型随机变量,均匀分布常见于下列情形,如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五 入时，那么一

20、般认为误差服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布,若X U(a, b)，则对于满足acd b,的c, d, 总有,例2.14 长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率,15,45,解：设A：乘客候车时间超过10分钟 X：乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60,2. 指数分布（ Exponential distribution,则称X服从参数为(0)的指数分布,若 X,其分布函数为,三种常见连续型随机变量,例2.15 电子元件的寿命X（年）服从参数为3的指数分布。 （1）求该电子元件寿命超过2年的概率

21、。 （2）已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用至少两年的概率为多少,解,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布,正态分布在十九世纪前叶由高斯（Gauss）加以推广，所以通常称为高斯分布,德莫佛,德莫佛（De Moivre）最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面,3. 正态分布（Normal distribution,三种常见连续型随机变量,高斯,I）. 正态分布的定义,若r.v. X 的概率密度为,记作,f (x)所确定的曲线叫作正态曲线,其中m和s都是常数, m任意, s 0, 则称X服从参数为 m和s的正态分

22、布,II）. 正态分布N(,2) 的图形特点,图形关于直线x= 对称： f ( + x) = f ( - x),在 x = 时, f (x) 取得最大值,在 x = 时, 曲线 y = f(x) 在对应的点处有拐点,曲线 y = f (x) 以x轴为渐近线,曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状,f (x) 的两个参数,位置参数,即固定 ，对于不同的 ，对应的 f (x)的形状不变化，只是位置不同,形状参数,固定 ，对于不同的 ，f (x) 的形状不同,由于 f (m) 所以 越小，f(x)变得越尖,而X落在附近的概率越大,下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图,红线是拟合的正

23、态密度曲线,可见，某大学大学生的身高应服从正态分布,人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点,除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外，在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布,应用场合,若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因素的影响, 而每一个别因素的影响都是微小的, 且这些影响可以叠加, 则 X 服从正态分布,可用正态变量描述的实例非常之多,各种测量的误差； 人的生

24、理特征,工厂产品的尺寸； 农作物的收获量,海洋波浪的高度； 金属线的抗拉强度,热噪声电流强度； 学生们的考试成绩,III）. 设X,X的分布函数是,IV）. 标准正态分布,的正态分布称为标准正态分布,其密度函数和分布函数常用 j(x) 和 F(x) 表示,它的依据是下面的定理,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布,根据定理1，只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题,定理1,书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表,V）. 正态分布表,表中给的是x0时, (x)的值,当-x0时,1

25、. 若 XN(0,1,由标准正态分布的查表计算可以求得,这说明，X的取值几乎全部集中在-3, 3 区间内，超出这个范围的可能性仅占不到 0.3,当XN(0,1)时,P|X|1 = 2F (1) -1 = 0.6826,P|X|2 = 2F (2) -1 = 0.9544,P|X|3 = 2F (3) -1 = 0.9974,VI）. 3s 原则,将上述结论推广到一般的正态分布,时,可以认为，Y 的取值几乎全部集中在,m-3s, m+3s,区间内。这在统计学上称作“3s原则”（三倍标准差原则,在工程应用中，通常认为P|Y-m|3s1, 忽略|Y-m|3s的值。 如在质量控制中，常用标准指标值m3

26、作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常,例2.16 已知XN(d,0.52)，问d至少为多少时,解：由题意，d需满足,因为,所以,例2.17 一种电子元件的使用寿命(小时)服从正态分布(100,152)，某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的。求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率,解：设A为使用的最初90小时内元件损坏；Y为A发生的元件数,故,则Yb(3,p,其中,例2.18 （1）假设某地区成年男性的身高(单位：cm) XN(170,7.692)，求该地区成年男性的身高超过175cm的概率,解: （1）根据假设XN(170,7.692)

27、，则,故事件X175的概率为,P X175,0.2578,解: （2）设车门高度为h cm，按设计要求,PX h0.01,或 PX h 0.99,下面我们来求满足上式的最小的h,2）公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的，问车门高度应如何确定,因为XN(170,7.692,故 PX h,0.99,查表得F(2.33)=0.99010.99,所以 =2.33,即 h=170+17.92188,设计车门高度为 188厘米时，可使 男子与车门碰头 机会不超过0.01,PX h 0.99,求满足,的最小的h,VII）. 标准正态分布的上 分位点z,设 X N (0，1)

28、 ，0 1，称满足,的点 z 为X的上 分位点,常用的几个数据,z1-= -z,作业 P58：25、26、30,一、问题的提出,在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣,求截面面积 A= pd2/4的分布,4.5 随机变量的函数的分布,例如，已知圆轴截面直径 d 的分布,又如：已知t=t0 时刻噪声电压 V的分布,求功率 W=V2/R (R为电阻）的分布等,一般地、设随机变量X 的分布已知, Y=g (X) (设g是连续函数), 如何由 X 的分布求出 Y 的分布,这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的,二、离散型随机变量函数的分布,例2.19 已知,X,Pk,1 0 1,求: Y=X2

29、的分布律,Y,Pk,0 1,解：Y的所有可能取值为0，1。由 PY=0=PX2=0=PX=0=1/3 PY=1=PX2=1=PX=1+PX=-1=1/3+1/3=2/3 得Y的分布律为,如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可,一般，若X是离散型 r.v ，X的分布律为,三、连续型随机变量函数的分布,解：设X、Y的分布函数为FX(x)、 FY(y)，则,例2.20,设 X,求 Y=2X+8 的概率密度,FY(y)=PYy = P2X+8 y,将FY(y)关于y求导数, 可得Y=2X+8的密度函数,故,知当,即8 y 16 时,由,及,当y取其它值时,例2.21,设 X 具有概率密度

30、 fX (x), 求Y=X2的概率密度,求导可得,当 y0 时,注意到 Y=X2 0，故当 y0时,解: 设Y和X的分布函数分别为FY (y) 和FX (x,若,则 Y=X2 的概率密度为,称Y服从自由度为1的c2分布,从上述两例中可以看到，在求PYy 的过程中，关键的一步是设法从 g(X) y 中解出X，从而得到与 g(X) y 等价的X的不等式,例如，用 X 代替 2X+8 y,用 代替 X2 y,这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率,这种方法叫分布函数法，是求r.v的函数的分布的一种常用方法,下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度,定理 设

31、r.v X具有概率密度 fX(x), -0或恒有 g (x)0 , 则Y=g(X)是一个连续型r.v, 它的概率密度为,其中， x=h(y)是y=g(x)的反函数,2. 若 f(x) 在有限区间a, b以外等于零，则只需假设在a, b区间上恒有g (x)0 或 g (x)0，此时,1. 只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上 公式推求Y的密度函数,注,例2.22 已知XN(, 2), 求,解,的概率密度,且,故,即YN(0, 1),例2.23 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求 Y=-2lnX的概率密度,解,在区间(0,1)上,y= g(x)=-2lnx0,且有反函数,由前述定

32、理得,注意 取绝对值,已知X在(0,1)上服从均匀分布,代入 fY (y)的表达式中,得,即Y服从参数为2的指数分布,对于连续型随机变量，在求Y=g(X) 的分布时，关键的一步是把事件 g(X) y 转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用 X 的分布来求 P g(X) y,这一讲我们介绍了随机变量函数的分布,作业 P59：35(1)(2)、36,小结,1、不论是离散型的或非离散型的随机变量X,都可以借助分布函数 F(x)=PXy, -x来描述。 若已知X的分布函数, 就能知道X落在任一区间(a, b上的概率： PaXb=F(b)-F(a), 这样分布函数可以完整地描述随机变量取值的统计规律性,2、对于离散型随机变量，需要掌握