指数函数教学案例

1、实用标准文案 指数函数教学案例 象山中学 杨祎珍 一、教材分析 (一)单元的地位和作用 指数函数是在学习了指数一节内容之后编排的。通过本节课的学习，既可以对指数和函数的概念等知识进一步巩固和深化，又可为后面进一步学习对数、对数函数尤其是利用互为反函数的图象间的关系来研究对数函数的性质打下坚实的概念和图象基础。又因指数函数是学生进入高中以后遇到的第一个系统研究的函数，对高中阶段研究对数函数、三角函数等完整的函数知识，初步培养函数的应用意识打下了良好的学习基础。另外，指数函数的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这

2、部分知识有着广泛的现实意义。本节内容的特点之一是概念性强，特点之二是凸显了数学图形在研究函数性质时的重要作用。 (二)教学目标、重点和难点 (1)教学目标分析 新课标指出教学目标应包括知识与技能目标、过程与方法目标和情感、态度、价值观目标这三个方面，而这三维目标又应是紧密联系的一个有机整体，学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确的价值观的过程。以此为指导制定以下的教学目标： 1)知识与技能目标(直接性目标)：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用。 2)过程与方法目标(发展性目标)：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论思想以及从

3、特殊到一般等学习数学的方法，增强识图用图的能力，加强学生使用数学软件做图像以及使用信息技术解决问题的意识和能力。 3)情感、态度、价值观目标(可持续性目标)：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。 (2)教学重点与难点 根据这一节课的内容特点以及学生的实际情况，学生对抽象的指数函数及其图象缺乏感性认识。为此，在教学过程中让学生自己去感受指数函数的生成过程以及图象和性质是这一堂课的突破口。因此，指数函数的图像、性质及其运用作为教学重点，本节课的难点是指数函数图像和性质的发现过程，及指数函数图像与底的关系。 三、教学过程

4、1、学生活动1：指数函数概念形成 通过以下两个问题，来研究问题中两个变量之间的依赖关系。 x次,一个这样的细胞分裂个,1个分裂成2个,2个分裂成4某种细胞分裂时问题1.,由xy有怎样的关系得到的细胞个数. 与以后,问题2.有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长的一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,xxyy之间的关系. 次后绳子剩余的长度为与米,剪去试写出请同学写出上面两个例子中由x计算y的过程，并总结写出x和y的关系式。 xy之间有怎样的关系的分析同学们得出1,2? 与师:通过问题232?284所以,个细胞分裂两次得到(,)个细胞分裂三次得到),21:生分裂一次得到xxxx2?2yy. 即,次以后得

5、到的细胞为分裂个与之间为 精彩文档实用标准文案 1111?),第二次剩下绳子的第三次剩下绳子的( 生2:第一次剩下绳子的 28242x111?yxx?y?. 米,所以绳长(之间的关系为),那么剪了与次以后剩下的绳长为? x3222?（学生说完后在屏幕上展示这两个式子） 师:这两个关系式能否都构成函数呢? xy与之对应,因此按照函数的定义这两个关系都可以构成函数:每一个. 都有唯一的生2x?y那么同学们观察我们得到的这两个函数:（接着把,打出来）既然这两个都是函数师x1?2xxy?y2?y). 引导学生从自变量的位置观察在形式上与函数有什么区别,.(? 2?2xy?. 的自变量在底上,而生:前两

6、个函数的自变量都在指数的位置上x1?xxay?y2?y? ,与函数有什么相同点师:那么再观察一下? 2?. 而且他们的底都是常数:他们的自变量都在指数的位置,生xay?（在屏幕上给师:由此我们可以抽象出一个数学模型就是我们今天要讲的指数函数. 出定义） 一般地,函数定义:xay?1?a0,a) (R. 叫做指数函数,它的定义域是 1: 概念解析xay?1?0,a?aR的角度引导学生从定义域为中规定?(师:同学们思考一下为什么1?0aa?0a? ，考虑).（先把显示出来，学生每分析一个就显示出一个结果）x00a?0?0x?a. ,则当, 若生:没有意义时1 ?2(?2)x0a?2. 例如没有意义

7、若.:,则当取分母为偶数的分数时,x1a?1a?. 没有研究的价值了,则若这时函数就为一个常数1,1aa?0,?. 我们规定指数函数的底所以,: 我们既然知道了底的取值范围,那么看这样一个问题,:师很好请坐.x2)a(3?ya 为指数函数，求问题已知函数 的取值范围（屏幕上给出问题）2a3? 由于:生作为指数函数的底因此必须满足： 精彩文档实用标准文案 2?3a?2?0a?2? 0a?|a?且a?3即 ? 312?3a?0a?: 概念解析xa?y1?0,aa ）的函数称为指数函数通过观察我们发现：师:我们知道形如（xxa?a1 ；前没有系数，或者说系数为既x 指数上只有唯一的自变量；1?a?0

8、,a 底是一个常数且必须满足： 那么，根据分析同学们判断下列表达式是否为指数函数？（在屏幕上给出问题）1xxxx2)?y?(eyy?(0.2)?)y?( ，问题2， 32xx?xx?x3y?2?3?y1y?2?y ， :（答）为指数函数不是生x1?x?3y 生: 我不同意，应该是指数函数，因为? 3?很好，我们发现有些函数表面上不是指数函数，其实经过化简以后就变成了指数函:师 数所以不要仅从表面上观察，要抓住事物的本质 ：指数函数图像与性质探究、学生活动22 下面研究指数函数的图像和性质。x)R?1,x?0,y?a(a?a的图像，在作图过程指导同学利用几何画板软件画出指数函数多个不同的值，通过

9、观察，讨论能得到几类不同的指数函数图像，因此可以将指a中，赋予? 数函数按照什么标准分为几类1?a?a?1和0 的范围分为两类，即通过画图像和观察图像，可将指数函数按照底数a。 请同学利用几何画板在同一坐标系中画出函数11xxxx10y?y?2)?(?y(y ，1所示：的图像。如图， 102 精彩文档实用标准文案 1 图x1?xx10?2yy?y，：好，下面我请两个同学用几何画板分别作出和 师? 2?x1?y 的函数图象? 10?1) (填表师:通过这四个指数函数的图象，你能观察出指数函数具有哪些性质？R ，而且函数的图象都位于生:函数的定义域都是一切实数轴上方x的取值函数值的图象与有没有交点

10、？随着自变量:师函数的图象都位于轴上方与xxx 轴是什么关系？x 轴无限靠近生:没有随着自变量的取值函数的图象与xx)?(0, 即函数的值域是：那么还有没有别的性质？师:xx11?xx102y?y?y?y 是减函数，函数生:函数、是减函数? 102?同学们觉的他这种说法有没有问题啊？（有）函数的单调性是在某个区间上的，因此有师:1110?,2,10?1 ，那么上述的结论可以归纳为：说明是在哪个范围内又 102xxa?yy?a10?a?a1RR上是时，函数时，函数上是减函数，当在在:生当 增函数 （提问生很好，请坐！）你观察我们在作图时的取值，能发现什么性质？师:xa?y取当自变量生:当自变量取

11、值为时，所对的函数值为一般地指数函数x 时，函数值恒等于a(0,1)那么你能否结合函数的单和底的取值没有关系也就是说指数函数恒过点师:，x 调性观察函数值和自变量之间有什么关系？ 精彩文档实用标准文案 生3:由图象可以发现： 0?f(x)?11?f(x)00?a?1x?0x?. ，则时，若；若，则当f(x)?10?f(x)?10?0xa?1x. ，则时，若，则当；若师:刚才是我们通过每个函数的图象得到共同的性质,那么同学们在观察函数图象之间有没有什么联系? xx11?xx10y?y?2y?y?y的图象函数的图象关于函数与轴对称与,生4: ? 102?y. 所以是偶函数关于轴对称,? 同学们说后

12、面那句话对吗师:前面的结论是正确的,. 所以没有这个性质,因为函数的奇偶性是对一个函数的,不对生:(共同回答)x?xayy?a?y. :师由此我们得到一般的结论, 函数与的图象关于轴对称 师:在作图的过程中，你还发现了指数函数的其它性质吗？ 生1:底数越大，函数翘起的一边越接近轴。y 很好，大家说对吗？师:1a?0a?1? 时，正确。当2:不对，当时，相反。生 对，我们可以把它们归纳为在第一象限内，沿逆时针方向底数变大。师: 师:很好,那么我们把同学们刚才归纳的指数函数的性质综合起来,放到一张表格内. 0?a?1 a?1 图 象 定义性 RR 质域 精彩文档 实用标准文案 值域?0,? ?0,

13、 定点?0,1 ?0,1 单调 性?,?在上是减函数 ?,? 在上是增函数 取值 情况f?(x)?10x?0若 ，则(1?fx)x?0，则若 1)?f(x0x? ，则若1)?f(x0?0x? ，则若对称 性xx?a?yy?ay 的图象关于函数与轴对称其它 在第一象限内，沿逆时针方向底数变大。1 表 、巩固与练习3 （在屏幕上给出练习，让学生口答）根据指数函数的性质，利用不等号填空4?3?0?154492750000 ， ， ， ， 42?312?97236101111 ， ， 1?0?a 这部分知识主要考察了指数函数的值域和对性质：当时，若注：1)?)xf(x1f0?(x)?1?f(0x?a?

14、1x0?x0? ，则若时若，则，则；当1?x)f0?(0x?的应用这个知识点是比较重要的部分在后面的比较大小中常常若，则 用到，所以在这个地方给出这样的一个巩固练习还是很有必要的 4、数学运用 1.比较大小例1.23.20.32.51.5?1.2?,0.81.51.5,1.5,0.50.5 精彩文档实用标准文案 ：前面我们讲了指数函数，好象和这个比大小没有关系这几个也不是函数那怎分析：师 么比较大小呢？先不考虑这个上面讲的性质哪个可以和大小联系起来呢？：单调性和大小有关，我们可以借助于指数函数的单调性老考虑，要比较大小的两个数生xx1.5)?1.5f(xf(x)x2.5,3.2在应的函以可看成

15、指数函数数值，再根当据取时对?, 是单调增的就可以比较大小了即：x1.5(x)?f .解: 考虑指数函数因为1?1.5 x1.5x)?f(R .在所以因为上是增函数3.22.5? 所以3.22.51.5?1.5 ：很好，充分运用了指数函数的性质下面的两个小题请两个同学上来板书也是利用师 指数函数的性质x0.5?f(x) .考虑指数函数因为1?0?0.5 x1.5x)?f(R .在因为所以上是减函数1.5?1.2 所以1.5?1.20.5?0.5 00.31?1.5?1.5 由指数函数的性质知，而01.21?0.80.8? 所以 精彩文档实用标准文案 0.31.20.81.5? 师：第小题和一样

16、直接借助单调性即可解题，第小题在考虑是就发现单调性不能直接应用，两个底不一样但是借助一个中间变量就可以把问题解决了 x0.533?x ，求实数2已知的取值范围；例x250.2?x 已知，求实数的取值范围 1?3 解：因为，x3f(x)?R 上是增函数在所以指数函数?0.5x?0.5,x3?30.5?x 由的取值范围为，即，可得0?0.2?1 因为x0.2)?f(xR 上是减函数，因为所以指数函数在?21?2?0.2?25? ? 5? 所以x?20.2?0.2 ?2,x2?x的取值范围为 由此可得，即五.回顾小结 xay?a?0,a?1x?R）要能根据概念判断一个函数是否为指数函数）（， 指数函数的性质（定义域、值域、定点、单调性） 利用函数图象研究函数的性质是一种直观而形象的方法，因此记忆指数函数性质时可以联想它的图象 教学反思： 本节课较好地体现了以教师为主导，学生为主体，以知识为载体和以培养学生的思维能力，特别是研究问题能力为重点的教学思想。教学情景的设置，让学生体验到