全国1卷理科数学试题及详解

1、2019 年全国 1 卷理科数学试题及详解一、选择题：本题共 12小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合2M x 4 x 2 , N x x x 6 0 ，则 M N （ ）A x 4 x 3 B x 4 x 2 C x 2 x 2 D x 2 x 3【答案 】C。【解析】 由2 6 0x x 可得 x 3 x 2 0 2 x 3 ，故 N 2 x 3 。故而可得 M N2 x 2 ，故选 C。2设复数 z i 1， z 在复平面内对应的点为 x, y ，则（ ）A2 2x 1 y 1 B2 2x 1 y 1 C22 1 1x y D

2、22 1 1x y【答案 】C。【解析】 由 z 在复平面内对应的点为 x, y 可得 z x yi ，故而22z i x y 1 i x y 1 1，化简可得22 1 1x y 。故选 C。3已知0.2 0.3a log 0.2，b 2 ，c 0.2 ，则（ ）2A a b c B a c b Cc a b Db c a【答案 】B。【解析】 取中间值。 a log 2 0.2 log2 1 0 a 0 ，0.2 0b 2 2 1 b 1，0.3 0c 0.2 0.2 1 0 c 1，故而可得 a c b ，故选 B。4 古 希腊 时 期， 人们认 为最美 人体的 头顶到 肚脐的 长度 与肚

3、脐 至足底 的长 度 之比 为5 12（5 120.618，称为黄金分割比例） ，著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5 1 2。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26cm，则其身高可能是（ ）A165 cm B175 cm C185 cm D190 cm【答案 】B。【解析 】 不妨 设头顶、 咽喉、 肚脐、 足底分 别为点 A，B，C，D ， 故可得 5 1 AB BC ，25 1AC CD ，假设身高为 x ，可解得25 1CD x ，23 5AC x，27 3 5AB x ，2由题意可得 7

4、 3 5AB x 2 5 1CD x 226106，化简可得xx52x 1787 3 5212 x 1715 1。故选 B。sin x xf x5函数 2cos x x在 , 上的图像大致为（ ）A BC D【答案 】D。【解析】 取特值。sin x xf x f x2cos x x，故函数为奇函数；又1 4 22f 0, f 1，故选 D。2 2 21 246我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，右图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是（ ）A516B1132C2132D1116【答

5、案 】A。【解析】 一共可能有62 64 种可能，其中满足恰有 3 个阳爻的有3C6 20 种，故概率为20 564 16，故选A。7已知非零向量 a ， b 满足 a 2 b ，且 a b b ，则 a 和b 的夹角为（ ）A B C6 323D56【答案 】B。【解析】2 2a b b, a b b a b b a b cos b 0，将 a 2 b 带入可得cos12，即夹角为。故选 B。 38右图是求212112的程序框图，图中空白框中应填入（ ）1A A2ABA 21ACA11 2ADA 112A【答案 】A。【解析】 运行程序框图。 A第一步： 1 , 1A k ，是；第二步：21

6、A k ，否，输出，故 A 正确。故选 A。, 312 1 221A ,k 2 ，是；第三步： 1229记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和。已知 S4 0，a5 5 ，则（ ）A an 2n 5 B an 3n 10 C2S 2n 8n Dn12S n 2nn2【答案 】A。【解析】 由等差数列性质可得S 4a 6d 04 1a a 4d 55 1，解得da123，故2 4S n nna 2n 5n。故选 A。10已知椭圆 C 的焦点为 F1 1, 0 ，F2 1, 0 ，过点 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点，若 AF2 2 F2B ，AB BF1 ，则 C 的方程为（ ）A2

7、x22 1y B2 2x y3 21C2 2x y4 31D2 2x y5 41【答案 】B。【 解 析 】 不 妨 设F B m ， 故 F1B AB AF2 F2B 3 F2B 3m ， 由 椭 圆 定 义 可 得21 3F1B F2B 2a 4m ， 故 F2B a, BF1 a, AF2 a, AF1 2a AF2 a ， 在 AF1F2 和2 2BF F 中，分别可得：1 2coscosAF F2 1BF F2 12 2 2a 4c a 12 a 2c a1 92 2 2 a 4c a 2 a4 421a2 a 2c 2，由二角互补可得22 a 1a a，解得2 3a ，故2 2b

8、，方程为2 2x y3 21。故选 B。11关于函数 f x sin x sin x 有下述四个结论： f x 是偶函数 f x 在区间 ,2单调递增 f x 在 , 有 4 个零点 f x 的最大值为 2其中所有正确结论的编号是A B C D【答案 】C。【解析】 分段函数讨论。由 f x sin x sin x sin x sin x f x ，故 正确； x , 时， f x sin x sin x 2sin x ，函数递减，故 错误；2 x 0, 时， f x sin x sin x 2sin x ，函数有两个零点， f 0 f 0 ，故 x ,0 时，f 0 f 0，故函数有且只有三

9、个零点，故 错误； 函数为偶函数， 故只需讨论正数的情况。 x 2k , 2k k N 时，f x sin x sin x 2sin x ，最大值为 2； x 2k ,2 2k k N ， f x sin x sin x 0。故函数最大值为 2.故选 C。12已知三棱锥 P ABC 的四个顶点在球 O 的球面上， PA PB PC ， ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点， CEF 90 ，则球 O 的体积为（ ）A 8 6 B 4 6 C2 6 D 6【答案 】D。【解析】 如图所示， 三棱锥 P ABC 为正三棱锥， 不妨设 PA PB PC 2a ，底面外

10、接圆半径为 r 。由题意可得 EF a ， CF 3 ，在 PAC 中，由余弦定理可得cos PAC2 24a 4 4a 12 2 2a 2a，故EAC 中 ， 2 2 1 2EC a 4 2 a 2 a 2 2a， 又 CEF 90 ， 故 根 据 勾 股 定 理 可 得2 2 2EC EF CF 即2 22 2 3a a ，即 PC 2 。在直角 POC 中，22OC r 3 ，32 2 6OP PC r 。由正三棱锥外接球半径公式可得：3R22 2 2 6r OPr h2h 2 OP 2，故体积为433R 6 。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13曲线2 xy

11、 3 x x e 在点 0,0 处的切线方程为 。【答案 】 y 3x 。【解析】 求导可得2 xy 3 x 3x 1 e ，故切线斜率为 y x 0 3，故切线方程为 y 3x 。114记 Sn 为等比数列 an 的前 n项和。若 a1 ，32a a ，则4 6S 。5【答案 】1213。【解析】 由2a a 可得4 62 6 5a q a q ，解得 a1q 1 ，即 q 3 。故1 1S55a q1 12111 q 3。15甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束） 。根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主” 。设甲队主场取胜的概

12、率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4:1 获胜的概率是 。【答案 】950。【解析】 欲使甲队 4:1 获胜，则第五场甲胜，前四场甲胜三场负一场。可能情况为： 1 负或 2 负或 3 负或4 负，即两主场负一场或两客场负一场，故概率为91 2 2 1 3 2P C 0.6 0.4 0.5 C 0.6 0.5 。2 25016已知双曲线2 2x yC : 1 a b 02 2a b的左右焦点分别为 F1，F2 ，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点。若F A AB ， F1B F2B 0 ，则 C 的离心率为 。1【答案 】2。b【解

13、析】不妨设点 , 0B m m ma，故 b bB F1 c m, m , BF2 c m, m a a，由F1B F2B 0可得2b 2 2 2m c 2 m 0 a a c b，解得 m a 。故 B a,b ，又 F1A AB ，故 A , ，带入直线 2 2by xa可得b b a c2 a 2，解得 c 2a ，故离心率为 2。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，设2 2s

14、in B sin C sin A sin B sinC 。（1）求 A ；（2）若 2a b 2c ，求 sin C 。【答案 】（1）A （2）36 2sinC 。4【解析】（1）由正弦定理可将2 2sin B sin C sin A sin B sin C 化简为2 2b c a bc ，整理可得：2 2 2bc b c a ，由余弦定理可得cos A2 2 2 1b c a2bc 2，故A 。3（2）由（1）得2 2 2a b c bc ，又 2a b 2c ，即 2a 2c b ，平方可得2 2 22a 4c 4bc b ，将2 2 2a b c bc 代入2 2 22a 4c 4bc

15、 b 可得2 2 2 22b 2c 2bc 4c 4bc b ，整理可得2 2 2 2b bc c ，即 b 3 1 c 。代入2 2 2a b c bc 中可得22 3 1 2 2 3 1 2 3 2 3 2a c c c c ，即2 3 22a 3 1 c26a 3 1 c2即6 3sin A 3 1 sin C ，解得2 21 6 2sinC 。42 3 118如图，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 底面是菱形， A A1 4 ， AB 2 ， BAD 60 ，E，M ，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点。（1）证明： MN / / 平面C DE ； （2）求二面角1A MA

16、N 的正弦值。1sin A MA N【答案 】（1）略。（2） 12 1055【解析】（1）如图，连接B C ， ME。11E，M 分别是 BC，BB1的中点， EM 是 BB1C 的中位线， EM / / B1C，EM B1C2在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， A1D / / B1C ， N 分别是 A1D 的中点，1 1DN / /B C，DN A D B C ， DN / /ME 四边形 MNDE 是平行四边形， MN / /DE1 1 12 2MN / / 平面 C1DE（2）过 A作 AO CD 于点 O ，以 O为坐标原点， OA为 x 轴， OC 为 y 轴建立空间直角

17、坐标系。BAD ， AB 2 ， A A1 4 ，底面为菱形。故 A 3,0,0 ， B 3,2,0 ， B1 3, 2,4 ，60A1 3,0, 4 ， D 0,1,0 ，又 M，N 分别是 B B1，A1D 的中点，故： 3 1M 3, 2,2 ，N , ,2 。 2 2不妨设半平面 AMA1 和 M A1N 的法向量分别为n1 x1, y1, z1 , n2 x2 , y2 ,z2 ，可得：x y z, , 0,2, 2 0 0n AM y z1 1 1 1 1 1n AA1 1x , y ,z 0,0, 4 01 1 1z10，令 x1 1，故 n1 1,0,0 ；n A M2 1n

18、A N2 1x , y , z 0,2, 2 0 y z 02 2 22 23 1 3 1x , y , z , , 2 0 x y 2z 02 2 2 2 2 22 2 2 2，令 y2 z2 1，故 n2 3,1,1 ；故cos A MA N cos n ,n1 1 2n n1 2n n1 235，故sin2 10A MA N 。1 5519已知抛物线2C : y 3x 的焦点为 F ，斜率为32的直线 l 与C 的交点分别为 A，B ，与 x 轴的交点为 P。（1）若 AF BF 4 ，求直线 l 的方程； （2）若 AP 3PB，求 AB 。【答案 】（1） 3 7y x （2） 2

19、8AB4 103【解析】（1）设直线 l 的方程为：3y x m ，与抛物线方程联立可得：22y 3x3y x m 2942 2x 3m 3 x m 0，设4A x1, y1 ，B x2 , y2 ，故 x1 x2 m13由抛物线定义可得：4 3AF BF x x p 1 m 4，解得1 23 27m 。8故直线方程为：3 7y x2 8（2）设直线 l 的方程为：3 2y x m x y m ，与抛物线方程联立可得： 2 32y 3x2x y m32y 2y 2m 0，设A x1, y1 ，B x2 , y2 ，P x0,0 ，故y y21 2y y 2m1 2由 AP 3PB可得0 y 3

20、 y 0 ，可得1 2y 3y 31 2，带入上式可得y 123m ，2故直线方程为 3 3y x 。 2 2解得：5A 3,3 ，B , 1 ，故34 10AB 。320已知函数 f x sin x ln x 1 ， f x 为 f x 的导数。证明：（1） f x 在区间 1,存在唯一极大值点；2（2） f x 有且仅有 2 个零点。【答案 】略【解析】证明：（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分， pi i 0,1, ,8 表示“甲药的累计得分为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0 0，p8 1，pi api 1 bpi cpi 1 i 1,2, ,7 ，其中 a p

21、 X 1 ，b p X 0 ，c p X 1 。假设 0.5、 0.8。（）证明：p 1 p i 0,1, ,7 为等比数列；i i（）求 p4 ，并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理性。【答案 】（1）【解析】解：（1）由题意可列分布列：X 1 0 1P 1 1 2 1（2）（ ）由题意可得 a p X 1 1 0.4 ，b p X 0 1 2 0.5，c p X 1 1 0.1此时 X 的分布列为：X 1 0 1P2512110故2 1 1 2 2 1 1p p p p i 1,2, ,7 ，即 p p 1 p 1 p ii i 1 i i 1 i i i i5 2 10 5 5 10

22、 101,2, ,7化简可得：p 1 p 4 p p 1 i 1,2, ,7 即i i i ip pi 1 ip pi i14 i 1,2, ,7，又2 1 1p p p p ii i 1 i i 15 2 101,2, ,7故数列p 1 p i 0,1, ,7 为公比为 4 的等比数列。i i（ ）由等比数列求和公式可得：p p p p p p p p8 0 1 0 2 1 8 78p p1 41 01 4即184 1 3p p ，1 1 83 4 1又p p p p p p4 0 1 0 4 34p p1 41 01 4即344 1814 1p4 43 4 1此时说明，甲累计得 4 分，乙累计得 0 分，概率极小，符合甲乙两种药物都有效用的说法。（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为xy22 1 t1 t4t 2t1（ t 为参数）。以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2 cos 3 sin 11 0 。（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值。【答案 】（1）2y2C : x 1， l : 2x 3y 11 0 ；