理论力学第七章题解

1、理论力学题解第七章 思考题7.1. 建立适当的坐标系，单摆悬挂点A始终在轴上，摆锤为B，摆长，则摆锤的约束方程为：，。可见，摆锤受完整、双侧、非稳定约束。是否受理想约束，要视悬挂点的约束情况而定。7.2. 轮I、II、III的转角可唯一确定力学系统的位置，被确定后，轮I及绳的位置被确定，确定后，轮II轮III的位置随之确定。为系统的广义坐标。系统的自由度为3。7.3. 由于约束方程可积，积分为：（为积分常数），所以该约束属于完整约束。7.4. 7.5. 7.6. （1）由于已知平板的运动规律，所以圆轮与平板的接触点的虚位移（相对固定平面）（相对平板）（平板牵连运动引起的）中的。又因圆轮作无滑滚

2、动，因此。于是圆轮所受约束力的虚功之和，圆轮受理想约束。（2）由于平板运动规律没有预先给定，圆轮受到非理想约束。如果以圆轮和平板作为一个系统，约束力的虚功之和为零，系统受理想约束。7.7. 7.8. 7.9. 因（是质点1相对质点2的相对虚位移）。所以或，都会导致两约束力的虚功之和为零。7.10. 7.11. 第七章 习题7.1. 杆的自由度为1，以杆与水平方向的夹角作为广义坐标，根据虚功原理，（y轴沿碗对称轴铅垂向下，原点在碗口中心，是杆质心的坐标）而，因 的任意性，使，即，得，。7.2. 系统自由度为1，建立坐标系。选择曲柄与水平轴轴得夹角为广义坐标。虚功原理写成，是点的弧坐标，正方向沿逆

3、时针方向，坐标变换方程为：，将虚功原理的方程写成,由于是任意的，所以得广义平衡方程，。7.3. 系统自由度为1，以手柄的角坐标为广义坐标（逆时针方向为正方向），由虚功原理得（轴竖直向上），而，得。7.4. 弹簧圈自由度为1，选取弹簧圈面到圆锥体顶点的距离为广义坐标，弹簧圈势能。通过，得，故弹簧圈平衡时。7.5. ，以 为广义坐标，水平面为重力势能零点，系统势能，约束方程为，根据虚功原理，得。7.6. 将约束释放并以六个约束力、代替，将其作为主动力处理，选择一足与竖直直线的夹角为广义坐标，由于系统结构与对称性，虚功原理写成，其中为点在对称轴上的坐标，是两足端点距离，系统的约束方程，最后得到绳子的

4、张力为。7.7. 解除约束并代以约束力、，取、点连线和杆的夹角为广义坐标，建立原点在杆中点的直角坐标系，根据虚功原理，由坐标变换方程得，考虑到 的任意性，最后得。7.8. 解除绳子的约束，将绳子张力、当作主动力处理，选择杆和竖直对称轴的夹角为广义坐标，以两钉的中间固定点为坐标原点，建立轴水平向右、轴竖直向下的直角坐标系，由虚功原理，根据坐标变换方程，并考虑到的任意性，得到广义平衡方程，进而得到绳子的张力。7.9. 用虚功原理，可求出质点的平衡位置为，。利用不定乘子法，将约束方程求变分，并乘以不定乘子， ，与相加，得，求出，用，即可求出：大小，方向从所在处指向圆环中心。7.10. 以滑轮、绳子、重物为系统，选择滑轮的角坐标为广义坐标，系统的拉格朗日函数为，为重物的初始未知坐标，作用量的变分，应用分部积分和的条件，对于真实运动，且是任意的，因此，重物的加速度为。7.11. ，进行分部积分并利用，且考虑到是任意的