高一行物理星运动（二）万有引力定律在天文学上的应用人教版知识精讲（通用）

1、高一高一行行物理物理星运动（二）万有引力定律在天文学上的应用星运动（二）万有引力定律在天文学上的应用人教版人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 行星运动（二）万有引力定律在天文学上的应用 二. 知识要点 （一）万有引力定律在天文学上的应用 1. 求天体质量 M、密度的方法： 通过观测天体卫星运动的周期 T、轨道半径 r，把卫星的运动看成匀速圆周运动，根据向 心力来源于万有引力得：r T m r Mm G 2 2 ) 2 ( 2 32 4 GT r M 如果知天体的半径 R 可得天体的体积为3/4 3 RV 32 3 3 2 32 3 ) 3 4 /( 4 / RGT r R

2、GT r VM （如果卫星在天体表面运行，Rr ， 2 3 GT ） 。 2. 研究天体运动情况的一般方法：把天体运动看成匀速圆周运动，向心力来源于万有引力， 即：rfmr T mrm r mv r Mm G 222 2 2 )2() 2 ( 根据研究的实际情况选用恰当的公式进行分析，必要时还可用到物体在天体表面时受到的 引力等物体的重力。 即：mg R Mm G 2 3. 海王星及冥王星的发现： （二）人造卫星、宇宙速度 1. 第一宇宙速度（环绕速度）：7.9km/s。是地球卫星的最小发射速度。 推导（1）：当卫星在地球附近运行时， 地 rr ，由 地地 r v m r Mm G 2 2 得

3、 地 r GM v )/(109 . 7/ 104 . 6 1098 . 5 1067 . 6 3 6 2411 smsm 推导（2）：当卫星在地球附近运行时，mgF 引 ， 地 rr 。 由 地 r v mmg 2 得)/(109 . 7104 . 68 . 9 36 smgrv 地 2. 第二宇宙速度（脱离速度）：11.2km/s，使物体可以挣脱地球吸引力束缚，成为绕太阳 运行的人造行星（或飞到其他行星上去）的最小发射速度。 3. 第三宇宙速度（逃逸速度）：16.7km/s，使物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外 的宇宙空间去的最小发射速度。 （三）卫星绕行速度、角速度、周期与半径的关系

4、 1. 由 r v m r Mm G 2 2 得： r GM v 即 r v 1 ；（r 越大 v 越小） 可见第一宇宙速度也可以说成是卫星环绕地球的最大速度。 2. 由rm r Mm G 2 2 得： 3 r GM 即 3 1 r ；（r 越大越小） 3. 由r T m r Mm G 2 2 ) 2 ( 得： GM r T 32 4 即 3 rT （r 越大 T 越大） （四）地球同步卫星 运转周期与地球自转周期相同（T=24h） ，所有的地球同步卫星的轨道平面均在赤道平面内， 且轨道半径和环绕速度均相同。 推导：由r T m r Mm G 2 2 ) 2 ( 得： 3 2 2 4 GMT

5、r T 恒定 r 恒定 （五）卫星的运行及规律 一般情况下运行的卫星，其所受万有引力不刚好提供向心力，此时，卫星的运行速率及轨 道半径就要发生变化，万有引力做功，我们将其称为不稳定运行即变轨运动；而当它所受万有 引力刚好提供向心力时，它的运行速率就不再发生变化，轨道半径确定不变从而做匀速圆周运 动，我们称为稳定运行。 对于稳定运行状态的卫星， 运行速率不变； 轨道半径不变； 万有引力提供向心 力，即rmvrGMm/ 22 成立。其运行速度与其运行轨道处于一一对应关系，即每一轨道都 有一确定速度相对应，而不稳定运行的卫星则不具备上述关系，其运行速率和轨道半径都在发 生着变化。 （六）同步卫星的四

6、定 地球同步卫星是相对地球表面静止的稳定运行卫星。 1. 地球同步卫星的轨道平面，非同步人造地球卫星其轨道平面可与地轴有任意夹角。而同 步卫星一定位于赤道的正上方，不可能在与赤道平行的其他平面上。 2. 地球同步卫星的同期：地球同步卫星的运转周期与地球自转周期相同。 3. 地球同步卫星的轨道半径：据牛顿第二定律有rmrGMm 2 0 2 /，得 3 2 0 /GMr ， 0 与地球自转角速度相同，所以地球同步卫星的轨道半径为kmr 4 1024 . 4 其离地面高度 也是一定的。 4. 地球同步卫星的线速度：地球同步卫星的线速度大小为smrv/1008 . 3 3 0 ，为定 值，绕行方向与地

7、球自转方向相同。 三. 有关行星运动的一些解题方法 1. 距离问题 已知地球半径约为m 6 104 . 6，又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估 算出月球到地心的距离约为 m。 （结果保留一位有效数字） 解：解：月球绕地球运转一周的时间约为 30 天，合s 6 106 . 2。万有引力提供向心力，根据 万有引力定律和牛顿第二定律 2 2 2 4 T mr r Mm G 对地球上质量为 m 的物体有 2 R mM Ggm 联立解得 3 2 22 4 gTR r mm 8 3 2 2626 104 14 . 3 4 )106 . 2(10)104 . 6( 2. 周期问题 组成星球的

8、物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超过了 该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动，由此能得到半径为 r， 密度为，质量为 M 且均匀分布的星球的最小自转周期 T，下列表达式中正确的是： A. GM r T 3 2 B. GM r T 3 3 2 C. G T D. G T 3 解析：解析：万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律 2 2 2 4 T mr r Mm G 解得 GM r T 3 2 又质量 3 3 4 rM ，代入上式得 G T 3 所以正确选项为 A、D 3. 质量问题 为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量 M，

9、已知地球半径mR 6 104 . 6，地球 质量kgm 24 100 . 6，日地中心的距离mr 11 105 . 1，地球表面处的重力加速度 2 /10smg ，1 年约为s 7 102 . 3，试估算目前太阳的质量 M。 解析：解析：地球绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律 有 2 2 2 4 T mr r Mm G 对地球表面处质量为 m 物体有 2 R mm Ggm 联立解得 2 ) 2 ( T mM kg gR r 10)104 . 6( )105 . 1 ( ) 102 . 3 14 . 3 2 (100 . 6 26 311 2 7 24 2 3

10、kg 30 100 . 2 4. 密度问题 中子星是恒星演化过程中一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观察到它的自转 周期为s 30 1 。问该中子星的最小密度应为多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解。 计算时星体可视为均匀球体。 （引力常数 2211 /1067 . 6 kgmNG ） 解析：解析：考虑中子星赤道一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体一起旋 转所需的向心力时，中子星才不会瓦解。设中子星的密度为，质量为 M，半径为 r，周期为 T，位于赤道处的小块物质质量为 m，则有 2 2 2 4 T mr r Mm G ，又因为 3 3 4 rM ，由以上各 式解

11、得 2 3 GT 3 211 / ) 30 1 (1067 . 6 14 . 3 3 mkg 314 /1027 . 1 mkg 5. 速度问题 俄罗斯“和平号”空间站在人类航天史上写下了辉煌的篇章，因不能保障其继续运行，于 2001 年 3 月 20 号坠入太平洋，坠落时地面指挥系统使空间站在极短的时间内向前喷出部分高 速气体，使其速度瞬间变小，在万有引力的作用下坠落。设该空间站在离地面高度为 h 的轨道 上绕地球做匀速圆周运动，地球表面的重力加速度为 g，地球半径为 R。求该空间站做圆周运 动时的速度？ 解析：解析：空间站绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第

12、二定律有 hR v m hR Mm G 2 2 )( 又在地面表面附近质量为 m 物体有 2 R mM Ggm 联立解得 hR gR v 2 6. 加速度问题 经天文学家观察，太阳在绕着银河系中心圆形轨道上运行，轨道半径约为m 20 108 . 2， 转动一周的时间约为s 15 103 . 6。太阳做圆周运动的向心力是来自它轨道内侧的大量星体的引 力，可以把这些星体的全部质量看作集中在银河系中心来处理问题。求：（1）从给出的数据 来计算太阳轨道内侧这些星体的总质量 M。 （2）太阳在圆周运动轨道上的加速度 a。 解析：解析： （1）设太阳质量为 m，轨道半径为 R，周期为 T，由牛顿第二定律有

13、R T m R Mm G 2 2 2 4 所以kg GT R M 41 2 32 103 . 3 4 （2）太阳在圆周运动轨道上的加速度就是太阳的向心加速度，所以有Ra 2 210 2 2 /108 . 2 4 smR T 。 通过以上分析可见，这五种题型表面上看各不相同，每种类型都是一个独立的个体，但在 解法上都用了牛顿第二定律知识，即万有引力提供向心力， 向心力万 FF。 四. 万有引力定律在圆周运动中的应用 高中阶段，万有引力定律主要应用于分析天体运动和人造卫星问题。处理此类问题的基本 方法：（1）将天体运动和人造卫星的运动近似看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力 提供，即r T m

14、rm r v m r Mm G 22 2 2 ) 2 ( ，应用时根据实际情况选择不同的关系式。 （2） 物体在任何天体表面受到的重力近似等于万有引力，即mg R Mm G 2 ，其中 R 是天体半径。在 实际应用中，形形色色的问题又可以演化为下面三个模型。 1. “点”绕“点”的问题。 此类问题中做圆周运动的天体及提供向心力的天体，当两者间距远大于各自形体大小时， 均视为质点。 有r T mrm r v m r Mm G 22 2 ) 2 ( 此时轨道半径 r 等于两天体间距离。 r M m 例 1：已知地球绕太阳的公转轨道半径为m 11 1049. 1，公转周期为s 7 1016 . 3

15、，万有引 力恒量 2211 /1067 . 6 kgmNG 。试估算太阳的质量是多少？ 解析：解析：设太阳质量为 M，地球质量为 m，地球到太阳的距离为 r，公转周期为 T。 由万有引力提供向心力，对地球r T m r Mm G 2 2 ) 2 ( 解得kg GT r M 30 2 32 1096 . 1 4 2. “点”绕“球”的问题。 此类问题中做圆周运动的物体可视为质点，而提供向心力的天体不能视为质点。有 r T mrm r v m r Mm G 22 2 2 ) 2 ( ，此时轨道半径hRr，当物体在天体近表面飞行时， 有0h，Rr 。 例 2：已知一颗近地卫星的周期约为 5100s。

16、今要发射一颗地球同步卫星，它离地面高度 约为地球半径的多少倍？ 解析：解析：设地球质量为 M，卫星质量为 m，地球半径为 R，同步卫星离地面高度为 h，近地卫 星、同步卫星的周期分别为 T1、T2。 由万有引力提供向心力有 对近地卫星R T m R Mm G 2 1 2 ) 2 ( （1） 对同步卫星)() 2 ( )( 2 2 2 hR T m hR Mm G （2） 由 )2( ) 1 ( 得 2 2 2 1 3 3 )(T T hR R ，代入数据可得Rh6 . 5 3.“点”在“球”上的问题 此类问题中物体处于天体表面，随天体而同步转动。有 R v mF R Mm G N 2 2 R

17、T mRm 22 ) 2 ( ，此时轨道半径Rr ，并且两者具有相同的周期。 M r R m 例 3：某行星一昼夜运动时间hT6 0 ，若用一弹簧秤去测量同一物体的重力，结果在行 星赤道上是在两极处的 90%。已知万有引力恒量 2211 /1067 . 6 kgmNG ，若行星能看做 球体，则它的平均密度为多少？ 解析：解析：设行星质量为 M，物体质量为 m，行星半径为 R。 在两极对物体有： 2 R Mm GFN 在赤道对物体有：R T mF R Mm G N 2 0 2 ) 2 ( 其中 NN FF%90 解得： 2 0 32 40 GT R M ，又有行星的体积 3 3 4 RV 所以密

18、度 33 2 0 /1003 . 3 30 mkg GTV M 【模拟试题模拟试题】 1. 设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球 仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比（ ） A. 地球与月球间的万有引力将变大 B. 地球与月球间的万有引力将变小 C. 月球绕地球运动的周期将变长 D. 月球绕地球运动的周期将变短 2. 地球同步卫星到地心的距离 r 可由 2 222 3 4 cba r 求出。已知式中 a 的单位是 m，b 的单位 是 s，c 的单位是 m/s2，则（ ） A. a 是地球半径，b 是地球自转的周期，c 是地球

19、表面处的重力加速度 B. a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是同步卫星的加速度 C. a 是赤道周长，b 是地球自转的周期，c 是同步卫星的加速度 D. a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是地球表面处的重力加速度 3. 用 m 表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，h 表示它离地面的高度，R0表示地球的半径， g0表示地球表面处的重力加速度， 0 表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受地球对它的万 有引力的大小（ ） A. 等于 0 B. 等于 2 0 0 2 0 )(hR gR m C. 等于 3 4 00 2 0 gRm D. 以上结果都不对 4. 中子星是

20、由密集的中子组成的星体，具有极大的密度。通过观察已知某中子星的自转速 度srad /60，该中子星并没有因为自转而解体，根据这些事实人们可以推知中子星的密 度。试写出中子星的密度最小值的表达式为 ，计算出该中子星的密度至少为 kg/m3。 （假设中子通过万有引力结合成球状星体，保留 2 位有效数字） 5. 假设站在赤道某地的人，恰能在日落后 4 小时的时候，观察到一颗自己头顶上空被阳光 照亮的人造地球卫星，若该卫星是在赤道所在平面内做匀速圆周运动，又已知地球的同步卫星 绕地球运行的轨道半径约为地球半径的 6.6 倍，试估算此人造地球卫星绕地球运行的周期为 s。 6. 三颗人造地球卫星 A、B、C 绕地球作匀速圆周运动，如图所示：已知 CBA mmm， 则三个卫星（ ） A. 线速度关系： CBA vvv B. 周期关系： CBA TTT C. 向心力大小： CBA FFF D. 半径与周期关系： 2 3 2 3 2 3 C C B B A A T R T R T R 地球 A B C 7. 宇航员在一行星上以速度为 v0竖直