直线与圆的方程的应用第一课时教案-数学高一必修2第四章直线与圆4.2.3人教A版

1、第四章 直线与圆4.2.3 直线与圆的方程的应用一、学习目标1.知识与技能（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题2.过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论3.情感、态度与价值观、通过启发引导、自主探究、合作交流，改进学生的学习方式，激发学生的兴趣，唤起他们的好奇心与求知欲，使学生积极思维，积极参与，勇于探索，主动地去获取知识。、让学生

2、在猜想与探究、分析与判断的过程中，体验成功的快乐，培养他们主动参与、合作的意识，勇于创新和实践的科学精神。二、教学重点难点重点:直线与圆的方程的应用难点:直线与圆的方程的应用时，坐标系的建立、方程的确定。三、专家建议建立直角坐标系应遵循的一般原则：(1)原点取在定点,坐标轴取定直线或定线段所在的直线或图形的对称轴；(2)尽量利用图形的对称性；(3)设出所需点的坐标时,能使所用的字母尽量少.用坐标法证题时,不能把一般情况视为特殊情况.科,网Z,X,X,K四、教学方法自学-训练-点拨-练习-总结五、教学过程问题提出通过直线与圆的方程，可以确定直线与圆、圆和圆的位置关系，对于生产、生活实践以及平面几

3、何中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决.对此，我们必须掌握解决问题的基本思想和方法.课堂探究知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用 问题:一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处， 受影响的范围是半径长为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？思考1:解决这个问题的本质是什么？思考2:你有什么办法判断轮船航线是否经过台风圆域？思考3:如图所示建立直角坐标系，取10km为长度单位，那么轮船航线所在直线和台风圆域边界所在圆

4、的方程分别是什么？思考4:直线4x7y280与圆x2y29的位置关系如何？对问题应作怎样的回答？解：如图所示，以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的坐标系，其中，取10 km为1个长度单位，这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=9.轮船航线所在直线l的方程为4x+7y-28=0，问题转化为圆O与直线l有无公共点问题，由于 所以这艘轮船不改变航线时，不会受到台风的影响.问题：如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m）思考1:你能用几何法求支柱A2P2的

5、高度吗？ABA1A2A3A4OPP2思考2:如图所示建立直角坐标系，那么求支柱A2P2的高度，化归为求一个什么问题？思考3:取1m为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程？x2+(y+10.5)2=14.52 思考4:利用这个圆的方程可求得点P2的纵坐标是多少？问题的答案如何？解：建立如图所示的坐标系,设圆心坐标是(0,b),圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组：解得，b= -10.5 ,r2=14.52所以圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=

6、14.52因为y0,所以y14.36-10.5=3.86(m)。答：支柱A2P2的长度约为3.86m.【技法点拨】求解直线与圆的方程的实际应用问题的一般解题步骤(1)认真审题,明确题意.(2)建立平面直角坐标系,用方程表示直线和圆,从而在实际问题中建立直线与圆的方程.(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题.(4)把代数结果还原为实际问题的解.提醒：直线与圆的方程应用的关注点建立不同的坐标系,对解决问题有直接影响.建系时一般将圆心放在坐标原点或坐标轴上,方程较简单.【变式训练】(2013成都高一检测)如图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面

7、宽为m.【解析】如图所示,以圆拱拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建立直角坐标系,设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知得A(6,-2),B(-6,-2).设圆的半径为r,则C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.将点A的坐标(6,-2)代入方程,解得r=10.所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.当水面下降1m后,可设点A的坐标为(x0,-3)(x00),将A的坐标(x0,-3)代入方程,求得x0=.所以,水面下降1m后,水面宽为2x0=2 (m).答案：2知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用 问题:已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到

8、一边的距离等于这条边所对边长的一半.思考1:许多平面几何问题常利用“坐标法”来解决，首先要做的工作是建立适当的直角坐标系，在本题中应如何选取坐标系？思考2：如图所示建立直角坐标系，设四边形的四个顶点分别为点A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(0，d)，那么BC边的长为多少？思考3:四边形ABCD的外接圆圆心M的坐标如何？思考4:如何计算圆心M到直线AD的距离|MN|？思考5:由上述计算可得|BC|=2|MN|，从而命题成立.你能用平面几何知识证明这个命题吗？解:以四边形ABCD互相垂直的对角线作为x轴y轴,建立直角坐标系,设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d)过四边

9、形的外接圆圆心O作AC、BD、AD边的垂线,垂足为M、N、E,则M、N、E分别为AC、BD、AD边的中点.由线段的中点坐标公式有:,【技法点拨】用坐标法解决平面几何问题的基本思想及首要任务(1)用坐标法解决平面几何问题的基本思想就是用代数的方法解决几何问题,而建立它们联系的主要工具就是平面直角坐标系.(2)首要任务是：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示相应的几何元素将平面几何问题转化为代数问题.变式训练如图所示,在圆O上任取C点为圆心,作一圆与圆O的直径AB相切于点D,圆C与圆O交于点E,F,求证：EF平分CD.【解析】由题意建立平面直角坐标系,将平面几何问题转化为解析几何知识求解.【

10、证明】1.取圆O的直径AB所在直线为x轴,圆心O为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示,设圆O的方程为x2+y2=1,EF与CD相交于H，令C(x1,y1),则可得圆C的方程(x-x1)2+(y-y1)2=，即=0,-得，式就是直线EF的方程，设CD的中点为H,其坐标为 (x1, ),将H代入式，得即H在直线EF上，所以EF平分CD.类型三 与圆有关的最值问题 例3.（1）已知点A(3,0)及圆x2+y2=4,则圆上一点P到点A距离的最大值是,最小值是.（2）已知实数x,y满足x2+y2-4x+1=0,则x-y的最大值和最小值分别是_和_. 的最大值和最小值分别是_和_.x2+y2的最大值和

11、最小值分别是_和_.【解析】1.方法一(几何法):圆的半径为2,圆心到点A的距离为3,结合图形可知,圆上一点P到点A距离的最大值是3+2=5,最小值是3-2=1.方法二(代数法):设P(x,y)是圆上任意一点,则|PA|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+4-x2=13-6x,因为-2x2,所以当x=-2时,|PA|max2=25,则|PA|max=5;当x=2时,|PA|min2=1,则|PA|min=1.答案:512.(1)设x-yb，则yx-b与圆x2y2-4x10有公共点,即所以故x-y最大值为2,最小值为2-.(2)设k,则ykx与x2y2-4x10有公共点,即所以,故最大值为,最

12、小值为-.(3)圆心(2,0)到原点距离为2,半径r故(2- )2x2y2(2 )2.由此x2y2最大值为74 ,最小值为7-4 .答案：2【拓展提升】利用直线与圆的方程解决最值问题的方法(1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题,常涉及的几何量有斜率、截距、距离等.(2)转化成函数解析式,利用函数的性质解决.课堂小结1.直线与圆的方程应用的关注点建立不同的坐标系,对解决问题有直接影响.建系时一般将圆心放在坐标原点或坐标轴上,方程较简单.2.坐标法是解决平面几何问题的基本思想3.利用直线与圆的方程解决最值问题一般转化成

13、函数解析式,利用函数的性质解决，常涉及的几何量有斜率、截距、距离等六、板书设计 直线与圆的方程的应用小结：作业当堂检测反馈典例分析例1例2例3学生练习探究点注意事项：1234.学习目标（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题倍角公式 七当堂检测1.已知点P为圆x2+y2-4x-4y+7=0上一点，且点P到直线x-y+m=0距离的最小值为则m的值为( )【解析】选C.圆心到直线的距离.所以m=2.2.集合A=(x,y)|x2+y2=4,B=(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=r2,其中r0,若AB中有且仅有一个元素,则r的值是.【解析】因为AB中有且仅有一个元素,所以圆x2+y2=4与圆(x-3)2+(y-4)2=r2相切.当内切时, =|2-r|,解得r=7.当外切时, =2+r,解得r=3.答案：3或73.设村庄外围所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示，村外一小路方程可用x-y+2=0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为_.【解析】因为圆心到直线的距离为 ，从村庄外围到小路的最短距离为-2.答案： -24.用坐标法证明：若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,则该四边形的对角线互相垂直.