直线的斜截式方程“y=kx+b”在定点问题中的应用

1、21直线的斜截式方程“y=kx+b”在定点问题中的应用 定点问题是解析几何研究的重要问题之一，是动中有静的辩证思想在数学中的重要体现，也是高考数学科解析几何命题的重要内容之一，也无疑是高中数学教学的难点所在.为此，寻求对此类问题有效的解法势在必然.诚然,解决此类具体问题的解法多样灵活,但在的教学实践中，多样的解法时常带给学生的困惑是如何作出切实可行的选择?笔者认为,直线的斜截式方程“y=kx+b”能有效地解决这一类问题，达到多题一解之目的.以下例析，供参考.原理分析：利用“y=kx+b”研究定点问题的关键在于k,b线性关系的寻求,通常将b表示成k的线性关系即可，如b=pk+q（其中p，q为常数

2、），由此可得直线y=kx+b必过定点（-p，q）.例1：已知C(x0, y0) 为抛物线y2=2px(p0)上的一个定点, A(x1, y1)、B(x2, y2)为其上的的任意两点,CACB.求证:直线AB过定点(2p+ x0,- y0).证明：（1）当ABx轴时，A(2p+ x0, )，B (2p+ x0, -)，此时，=(2p, - y0)，=(2p, - y0)，=,所以，CACB.反之亦然；（2）当AB与x轴不垂直时，设AB的方程为y=kx+b(k0)，则消去y，得,消去x，得，在直线y=kx+b与抛物线相交的前提下，则，由，=0，化简并整理，得，以b为主元整理，得，配方，得，又因为，

3、所以，则，当时，此时，不合题意；当时，此时，即，所以直线AB过点(2p+ x0,- y0).综上，直线AB过定点(2p+ x0,- y0).解题感悟：客观的讲，进行至式，对k, b关系的揭示有些看不清，没有好的思路，一时不知如何因式分解？想到了主元思想，先以k为主元尝试，感觉复杂就放弃了，再以 b为主元进行尝试，结果较顺利，取得了成功！因此，在复杂多变量的多项式面前，要突出以某个变量为主线的主元思想，往往能使分解变形顺利实现，突破解题瓶颈.例2：设椭圆的右顶点为，A(x1, y1)、B(x2, y2)为其上的任意两点,且QAQB.求证:直线AB过定点.证明：（1）当ABx轴时，由消去y，得,显

4、然,解得,故AB过点.（2）当AB与x轴不垂直时，设AB的方程为y=kx+m(k0)，则消去y，得,消去x，得，在直线y=kx+m与抛物线相交的前提下，则，由，= =.化简并整理，得，即，解得，即，或，当，y=kx+m= y=(kx-a),不合题意；当时，=，即直线AB的方程为，所以直线AB经过定点.综上, 直线AB恒过定点.解题感悟：对于方程根的求解，没有一味的拘泥于十字相乘法,而是选择先求判别式,在用求根公式求解,收到了很好的效果.由此可见,平时教学中一味强调十字相乘法的重要性不能过于绝对,数学解题方法的优劣之分往往取决于它的应用时机是否合适. 例3：已知椭圆C: 的右焦点为F，M, N为

5、椭圆C上的两个动点，且MNx轴，直线MF与椭圆的另一个交点为Q.求证：直线NQ恒过x轴上一定点.证明:F(1,0)，设,NQ：, 由，消去y，得，, ,由M，F，Q三点共线，得，两边平方，得，即，将，代入上式并化简，得，再将,代入，得，整理，得，即，解得或，当时，不合题意；当时，故直线NQ过x轴上的定点(2,0).解题感悟：对于三点共线所得关系“”的平方转化是利用椭圆方程等价转化的关键，进而消元得到关于“”与“”的关系后整体突破. 例4:【2011山东文】在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.（）求的最小值；（）

6、若.（i）求证：直线过定点；（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.【解析】（）(略)；（）（i）由题意:设直线,由消y得:,设A、B,AB的中点E,则由韦达定理,得 =,即,所以中点E的坐标为E,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即，解得，由，得，将代入化简并整理，得，即，所以，k=n,故直线的方程为y=kx+k,即有y=k(x+1),令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).（ii）(略).解题感悟：对于条件“”的应用要通过“化曲为直”来实现对的求解，进而利用其在椭圆上的关系求解. 例5:【2007年全国卷】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标解：（）由题意设椭圆的标准方程为， （）设，由得，.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，解得，且满足.当时，直线过定点与已知矛盾；当时，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为 由此可见，直线的斜截式方程“y=kx+b”在研究直线过定点的问题中有着十分