石家庄学院计算机系2011届期中考试线性代数

1、石家庄学院计算机系2011届期中考试线性代数第一部分 选择题 (共30分)一、 单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式=m，=n，则行列式等于（ ） A. m+nB. -(m+n) C. n-mD. m-n2.设矩阵A=，则A-1等于（ ） A. B. C. D. 3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ） A. 6B. 6 C. 2D. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ） A. A =0B. BC时A=0 C. A0时

2、B=CD. |A|0时B=C5.已知34矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ） A. 1B. 2 C. 3D. 46.设两个向量组1，2，s和1，2，s均线性相关，则（ ） A.有不全为0的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=0 B.有不全为0的数1，2，s使1（1+1）+2（2+2）+s（s+s）=0 C.有不全为0的数1，2，s使1（1-1）+2（2-2）+s（s-s）=0 D.有不全为0的数1，2，s和不全为0的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.设矩阵A的秩为r，则A中（ ） A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0 C

3、.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.根据秩的定义，下列说法不正确的是（ ） A. 设A是一个mn型的矩阵，P、Q分别是m阶和n阶可逆矩阵，则有r(PAQ)=r(A) B. 设A、B为n阶方阵，则r(AB)=r(BA) C.若A的所有r阶子式都为零，则A的所有r+1阶子式都为零D.凡是秩相等的同阶矩阵一定是等价的矩阵9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） A.秩(A)=2），A 不是零矩阵，则存在非零矩阵B使得AB=0的充要条件 .18.设矩阵A=，则A的逆矩阵为 .三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）19.设A=，B=.求（1）ABT；（2）|4A|.20.试计

4、算行列式. 21.设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.22.给定向量组1=，2=，3=，4=.试判断4是否为1，2，3的线性组合；若是，则求出组合公式。23.设矩阵A=.求：（1）秩（A）；（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。四、证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）24.设方阵A满足A3=0，试证明I-A可逆，且（I-A）-1=I+A+A2.25.设A、B为n阶方阵，若AB=A+B,证明A-I可逆且AB=BA答案：一、单项(本大题共14小题，每小题2分，共28分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.B9.A10.C二、填空题（本大题共10空，每空2分，共

5、20分）11. 612. 13. 414. 1015. 416. 81 917. A不可逆18.三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）19.解（1）ABT=.（2）|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=.所以|4A|=64（-2）=-12820.解 =21.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而（A-2E）-1=所以 B=(A-2E)-1A=22.解一 所以4=21+2+3.解二 考虑4=x11+x22+x33，即 方程组有唯一解（2，1，1）T，组合公式4=21+2+3.23.解 对矩阵A施行初等行变换A=B.（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）（也可取T=.）四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）24.证 由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1= E+A+A2 .25.证 由于AB=A+B，所以AB-A-B+I=I，即（A-I）（B-I）=I。根据可逆矩阵的判