第二章运动定律与力学中的守恒定律3.ppt

1、26 刚体的定轴转动,一、平动和转动：,在任何力作用下，其大小和形状都不发生变化的物体。是力学中的理想模型。,（二）刚体的运动：,1 平动：,刚体内任意两点的连线在运动中保持其方位不变的运动。,注意：,平动的刚体也可以作曲线运动。,（一）刚体：,特点: 刚体上所有点的 运动轨迹 、 都相同, 可用质点运动来描述。,2.6.1 刚体定轴转动的描述,2 转动：,刚体上各点均绕空间某一直线作圆周运动的刚体运动。,转轴,可变,注意：,转轴未必在刚体内部。,特点：, 刚体上各点在垂直转轴的平面内作半径不同 的圆周运动；在相同时间内转过相同的角度。, 刚体上各点的 均相同。,刚体的转动可分为,定轴转动：,

2、非定轴转动：,3 一般运动：,平动 + 转动,质心的平动,绕质心的转动,二、 刚体定轴转动的描述：,（一） 物理量：,1 角位置、角位移 ：,辅轴ox,oo，,平面pox oo,转动平面,则p点位置可用两种方法表示：,矢径,角度,二者均为时间t的函数,角位置或角坐标,规定：,位矢沿ox 轴 逆时针方向转动时角位置 为正，反之为负。, 此刚体在t 时间内绕oo转过 角，,称 为刚体在t时间内的角位移。, 显然：,角位置 是状态量，,角位移 是过程量，,刚体上不同点的角位置一般不同。,在相同的一段时间间隔内，刚体上各点的角位移相同。,2 角速度：,大小：,方向：与刚体的转向符合右手螺旋关系。,定轴

3、转动可规定一个转轴正方向,拇指指向 转轴正向，, 0,拇指指向转轴正向，, 0,3 角加速度：,大小：,方向：,定轴转动在规定了转轴正方向后：,转轴正向, 0, 0,转轴正向, 0, 0,可见：, 对定轴转动刚体，当规定了转轴正向后，其角速度、 角加速度的方向可用正负号表示，从而使问题简化。, 在同一时间间隔内，刚体上各点的角速度、角加 速度都相同。,显然：,加速运动时，,减速运动时，,（二）运动规律,刚体定轴转动运动学问题：,1 匀速转动：,特点：, = 常量；, = 0 。,其中0 为初始时刻的角位置。,2 匀变速转动：,特点：,=常量,3 角量与线量的关系：,矢量关系：,2.6.2 转动

4、定律 定轴转动动力学问题,一、力矩：,1 平面内力对点的力矩：,设：参考点o至力F的作用线的垂 直距离为d。,力臂,2 力对转轴的力矩：, 转动平面内的力对转轴的力矩：,对定轴转动，类似可有：,，M 0,，M 0, 任意力对转轴的力矩：,F 轴oo，,不能改变刚体绕oo轴运动的状态,故：F 对轴的力矩为零。,F在转动平面内，,其对轴的力矩采用上面的方法计算。,即：任意力对轴的力矩等于其垂直于转轴的分量对轴的力矩。,3 合力的力矩：,合力的力矩=,（定轴转动）,各分力矩的代数和,（非定轴转动）,各分力矩的矢量和,二、定轴转动的转动定律：,质元mi 受力可分解为：,在自然系中：,法向：,对轴不产生

5、力矩,切向：,(3) 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。,将上式对组成刚体的全部质元求和：,由牛三律：,由于Fin 对轴不产生力矩,M 外=,J,刚体的定轴转动定律,转动惯量,代入,转动定律 刚体所受合外力矩 = 刚体转动惯量角加速度。,讨论, J 一定，则 , M 是改变刚体转动状态的原因。, M 一定，则 ，J 是刚体转动惯性大小的量度。,三、转动惯量：, 均对同一转轴, 具有瞬时性，M 指合外力矩。, M = 0，则 = 0， = 常量，刚体保持转动状态不变。, M = 常量，则 = 常量，刚体做匀变速转动。, 质点组, 质量连续分布的刚体,1. J 的定义, 质点,线分布,面分布,体

6、分布, 质量线密度, 质量面密度, 质量体密度, 刚体的总质量；,3. 决定 J 的三个因素,2. J 的单位, 转轴的位置。, 质量分布；,转动惯量大小决定于刚体自身及转轴的位置。,同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡是提到转动惯量，必须指明它是对哪个轴的才有意义。, 结论：,5 转动惯量求法举例：, 实际中多用实验的方法测定。,有些几何形状简单、质量分布均匀的刚体的转动惯量，可用微积分法求得。,例：长为l 质量为m 的均匀分布细杆，绕过质心（即其中心） 且垂直杆的轴转动。J=？,解：,建立图示坐标系。,在距原点为x 处取质元dm，其长为dx,其质量为：,若转轴为AA：,V3.0,4 J

7、的意义：刚体转动惯性大小的量度。, 平行轴定理：,J AA ：刚体绕过AA轴的转动惯量,JC ：刚体绕过质心且平行于AA轴 的转动惯量,d ：两平行轴间的垂直距离。,m：刚体的总质量。,可见：,对同一刚体而言，绕过质心的轴的转动惯量最小。, 力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。 选定转轴正方向, 以确定力矩、角加速度、角速度的正负。 当系统中既有转动物体，又有平动物体时, 用隔离法解题。 对转动物体用转动定律建立方程, 对平动物体则用牛顿定律 建立方程。, 注意：,四、转动定律的应用（重点）,1. 隔离法分析研究对象，建立坐标系。,2. 对刚体列转动定律方程，对质点列牛顿定律方程。,3. 列出辅

8、助方程。,例：图示的阿特武德机中，已知两物块质量m1、m2，滑轮绕 中心轴的转动惯量J，滑轮半径R 。设：绳为不可伸缩的 轻绳；绳与滑轮间无滑动；且滑轮轮轴处的摩擦可忽略。 求：绳两端的张力T1、T2 ；两物块的加速度a1、a2 以及 滑轮的角加速度 。,解：,作如图受力分析：,设转轴正方向垂直纸面向外,相应的加速度、角加速度正方向如图。,牛二律：,转动定律：,连带条件：,联立可解。,例2：如图，一质量为m 长为L 的匀质细杆，在水平面上绕其端 点 o 转动。若初始角速度为 0 ，细杆与水平面的滑动摩 擦系数为 。 求： 细杆所受摩擦力矩； 若细杆只受此摩擦力矩作用，它转动多少圈停止？,解：

9、,在距轴为l 处取一微元dl,则其质量为：,dm = m/L dl,分析此微元受力情况。,此微元所受的摩擦力矩元为：,作用在细杆上的总摩擦力矩为：,方向：,竖直向下。,若设初始角速度方向为正，则Mf 0,转动定律：,匀变速转动规律：,当细杆停止转动时，角位移为：,故：当细杆停止转动时，一共转过的圈数为：,一、力矩的功：, 法向力Fn不作功, 当t0时有：,力矩的功, 当恒力矩作用时：,A=M , 合外力矩的功 = 各分外力矩功的代数和。,（定轴转动）,2.6.3 定轴转动中的功能关系,力矩作功是力作功的角量表达式,(3) 合内力矩的功 = 0。,可见：, 本质上讲，力矩的功是力对转动刚体所作功

10、。, 力矩的功反映了力矩对空间的积累。,2 力矩的功率：,力矩的功率表示力矩作功的快慢。,当恒力矩作用时：,二、刚体的转动动能：,将刚体看作由许多质点组成的质点系。,则其中任一质点i 的动能有：,因此，刚体的动能为：,刚体绕定轴转动的转动动能,三、定轴转动动能定理：,刚体的转动动能定理,合外力矩所作的总功=刚体转动动能的增量,即：力矩对空间的积累=刚体动能的增量,刚体定轴转动的动能变化的原因可以用力矩做功的效果来解释。,四、刚体的重力势能,一个质元：,整个刚体：,一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。,对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保守内力作功,则此

11、系统的机械能守恒。,刚体质心高度：,例：冲床上配一质量为 5000kg 的飞轮。飞轮的内外半径分别为 r1=0.3m ，r2=0.2m 。今用转速为900r/min 的电动机借皮带 传动来驱动飞轮。已知电机传动轴直径 d=10cm 。 求飞轮的转动动能； 若冲床冲断 0.5mm 厚的刚片需冲力 9.80104N ，所耗能量 全由飞轮提供，冲断刚片后飞轮的转速是多少？,解：,飞轮的转动惯量：,由传动关系有：,飞轮角速度：,飞轮的转动动能：, 若冲床冲断 0.5mm 厚的刚片需冲力 9.80104N ，所耗能量 全由飞轮提供，冲断刚片后飞轮的转速是多少？,转动动能定理：,飞轮的末速度：,在转动平面

12、内，质元mi 对回转中心的角动量为：,2.6.4 定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律,一、角动量：,1 质点的角动量：,定义：质点A 的动量对参考点o 的动量矩为,称：质点A 对o 的角动量。,大小：,方向：,2 刚体的角动量：,由所取质元的任意性可知，在定轴转动中，组成刚体的所有质元对其回转中心的角动量的方向都相同。,则：此刚体对固定转轴oo的角动量为：,定轴转动，当规定了转轴的正方向后：,二、角动量定理：,1、质点系对固定点的角动量定理,设有一质点系，共有n个质点，其第i个质点受力为,则i质点对固定点o的角动量定理为,由于内力成对出现，每对内力对O的力矩之和为零，因此内力矩之总和为零

13、。,质点系对固定点的角动量定理,2 质点系对轴的角动量定理：,质点系对z轴的角动量定理为,质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度作圆周运动，则这时,式中LzJ，即为质点系在此特殊情况下对z轴的角动量的表示式.,3 刚体绕定轴转动的角动量定理：,刚体无变形，内力矩之和为零。, 此式并非转动定律的变形，其应用范围更广。,定轴转动刚体的角动量定理,反映了：力矩对时间的累积结果= 动量矩的增量,三、角动量守恒定律(重点） ：,质点系的角动量定理,定轴转动刚体的角动量定理,当合外力矩为零时，角动量的增量也为零。即：角动量守恒。,质点：,刚体：,注意：目前而言，此定律适用于所有的物理领域。, 一个刚体：

14、M外=0，则角动量守恒，,即dL=0,刚体作定轴匀速转动, 刚体系：角动量守恒时，,但组成系统的各刚体各自的内力矩未必为零。, 非刚体也适用。,V3.0,常矢量。,例、 刚体定轴转动时角动量守恒的两种情况：, 如果 J 不变，则 不变；, 如果 改变, 则 也改变， = 常量；,花样滑冰运动员通过 改变身体姿态即改变转动 惯量来改变转速。,人和转盘的转动,遵守的定律与（2）相同。,四、碰撞,指相互作用时间极短，,1. 完全弹性碰撞,质点系： 动量守恒，机械能守恒,刚体： 角动量守恒，机械能守恒,系统： 角动量守恒，机械能守恒,2. 非完全弹性碰撞,质点系： 动量守恒,刚体： 角动量守恒,系统：

15、 角动量守恒,3. 完全非弹性碰撞 碰后系统获同一速度或角速度,机械能不守恒！,例1：恒星晚期在一定条件下会产生超新星爆发。这时星体中有 大量物质喷入星际空间，同时星的内核向内塌缩，成为体积很 小的中子星。中子星是一种异常致密的星体，一汤匙中子星物 质就有几亿吨质量。设某恒星绕自转轴每45天转一周，它的内 核半径R0约为2108m，塌缩成半径R=6103m 的中子星。设 塌缩前后的星体内核均可看作匀质圆球；且塌缩前后质量近似 相等。求：中子星的角速度。,解：,在星际空间，恒星不会受到显著的外力矩，其角动量守恒。,例2: 定轴转动圆盘质量 M ，半径 R ，初角速 0 。一个质量为m 的子弹以速

16、度 v水平射入盘边缘并嵌入盘中，求：(1) 盘获得的角速度；(2) 系统动能的改变；(3) 盘获得的冲量矩。,(1) 系统角动量守恒，设逆时针为正：,(2),(3),解：,例题3. 工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，A轮的转动惯量为JA=10kgm2，B的转动惯量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为600r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？,解: 以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，

17、后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得,为两轮啮合后共同转动的角速度，于是,以各量的数值代入得,或共同转速为,在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失的机械能为,质点运动（刚体平动）与刚体定轴转动比较,速度：,角速度：,加速度：,角加速度：,匀直：,匀角速转动：,匀变直：,匀变速转动：,牛二律：,转动定律：,动量定理：,动量守恒：,角动量定理：,角动量守恒：,平动动能：,力的功：,动能定理：,转动动能：,力矩的功：,动能定理：,功能原理：,机械能守恒：,注意：,1. 对于刚体，做功的还应有外力矩的

18、功,2. 机械能应为势能+平动动能+转动动能,例 1 质量为M ，长 l 的匀质细杆一端悬挂于光滑的O点，质量为 m 的子弹以水平速度 v 从 A 点射入杆并陷入其中，使杆转动的最大角度为 30。已知 OA = l，求：子弹入射速度。,解： 两个物理过程, 子弹以 v 射入杆内与杆获得共同角速度 的过程，系统角动量守恒：, 杆摆动过程仅重力矩做功，系统机械能守恒：,联立 解得：,例2：一匀质细棒长度为l ，质量为m ，可绕过 o 的水平轴转动。 当棒从水平位置自由释放后，在竖直位置与地面上的物块 相撞。该物质量也为m ，与地面的摩擦系数为。撞后， 物块沿水平地面滑行 s 后停止。 求：碰撞后棒的质心 c 离水平地面的最大高度 h； 说明碰撞后棒向左或向右摆动的条件。,解：,过程：自由摆落。,机械能守恒。,取图示势能零点位置。,为碰撞前瞬时棒的角速度。,过程：碰撞过程。,角动量守恒,设碰撞后