实变函数试题集锦new

1、实变函数测试题集锦一、填空题设, , 则.,因为存在两个集合之间的一一映射为.设是中函数的图形上的点所组成的 集合，则，.若集合满足, 则为集.若是直线上开集的一个构成区间, 则满足:, .设使闭区间中的全体无理数集, 则.若, 则说在上.设, ,若,则称是的聚点.设是上几乎处处有限的可测函数列, 是上 几乎处处有限的可测函数, 若, 有, 则称在上依测度收敛于.设, 则的子列, 使得.11. = . 12.= . 13. 到的双射是 . 14. 的全体聚点所组成的集合包含于的充要条件是 .15. 中无理数集的外测度为 .16. 中所有开集生成的代数记为B，称B中的集合为 .17. 若，则对任

2、意的点集，必有 . 18. 当为闭区间时， . 19. 设函数在可测集上几乎处处有限，若对任意给定的，存在中的一个闭集，使，且在上连续，则是可测集上的 . 20. 是否存在开集使其余集仍为开集（是或不是选其一填写） .21如果 则称是自密集，如果 则称是开集，如 果则称是 .22设表示为一列开集之交集：，则称为 . 23. 若表示为一列闭集之并集：，则称为 . 24. ()，在上可测，则= . 25. Cantor集的外测度为 .26(Fatou引理)设是可测集上一列非负可测函数，则 .二、判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 若可测, 且,则.设为点集, , 则是的外点. 点集的闭集.任意

3、多个闭集的并集是闭集.若,满足, 则为无限集合.6. 若与它的真子集对等，则一定是有限集 7. 凡非负可测函数都是可积的 8.设为空间中一非空集，若则 9.设为可测集，则存在型集，使得，且 10.在上可积，则在可积且 三、 计算证明题1. 证明:2. 设是空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明为可数集. 3. 设,且为可测集, .根据题意, 若有 , 证明是可测集.设是集, .求.设函数在集中点上取值为, 而在的余集中长为的构成区间上取值为, , 求.求极限: .7.开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集8.上全体有理数点集的外测度为零9.设函数

4、列在上依测度收敛，且于，则于 10.设在上可积，则11. .12、证明 。证明：设，则，使一切，所以,则可知。设，则有,使，所以。 因此，=。13、设。求在内的，。 解：， ， 。14、若，对，存在开集, 使得且满足 ，证明是可测集。证明：对任何正整数， 由条件存在开集，使得。令,则是可测集，又因，对一切正整数成立，因而=0，即是一零测度集，故可测。由知可测。证毕。15、试构造一个闭的疏朗的集合，。解：在中去掉一个长度为的开区间，接下来在剩下的两个闭区间分别对称挖掉长度为的两个开区间，以此类推，一般进行到第次时，一共去掉个各自长度为的开区间，剩下的个闭区间，如此重复下去，这样就可以得到一个闭的

5、疏朗集，去掉的部分的测度为。所以最后所得集合的测度为，即。16、设在上，且几乎处处成立，, 则有a.e.收敛于。证明 因为，则存在，使在上a.e.收敛到。设是不收敛到的点集。，则。因此。在上，收敛到， 且是单调的。因此收敛到（单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。即除去一个零集外，收敛于，就是 a.e. 收敛到。17、设,是上有限的可测函数。证明存在定义于上的一列连续函数，使得 于。证明： 因为在上可测，由鲁津定理，对任何正整数,存在的可测子集，使得，同时存在定义在上的连续函数，使得当时有=。 所以对任意的，成立， 由此可得 。 因此 ，即，由黎斯定理存在的子列，使得 a.e于. 证毕。18、设为a.e有限可测函数列，证明：的充要条件是。证明：若0，由于,则。又，,常函数1在上可积分，由勒贝格控制收敛定理得。反之，若（），而且，对，令,由于函数,当时是严格增加函数，因此。 所以，即。19、试求 。解 令，则为非负连续函数，从而非负可积。根据积分逐项积分定理，于是，。20、设，a.e.有限的可测函数列和，分别依测度收敛于和，证明 。证明：因为于是，成立，所以即21、试从求证。证明：在时，由L逐项积分定理，另一方面因此可得：。22.23. 设是一个集合，、是两个集列，证明：.24. 设是上一列几乎处处有限的可测函数，证明：