河南省郑州市2012届高三第一次质量预测数学(理)试题

1、2012年高中毕业年级第一次质量预测理科数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分第I卷1至2页，第II卷3至4页，考试时间为120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上答题无效第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于A. B. C. D.22.函数定义域为A. B. C. D. 3.在二项式（）的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为A. 32 B. -32 C. 0 D. 1

2、4.已知点F、A分别为双曲线的左焦点、右顶点，点B（0，b）满足，则双曲线的离心率为A. B. C. D. 5.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为A B. C. D. 6.若实数的最小值是A0 B. 1 C. D. 97. 给出30个数：1，2，4，7，11，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如下图所示，那么框图中判断处和执行框处应分别填入A和B和C和D和8.已知曲线与直线相交，若在轴右侧的交点自左向右依次记为P1, P2, P3，则|等于A B. 2 C. 3 D. 49.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形

3、AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是A B. C. D. 10.若ab0,则代数式的最小值为A2 B. 3 C. 4 D. 511.如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若BC=2BF，且AF=3，则此抛物线方程为A B. C. D. 12.定义在 上的函数 ；当若；则P，Q，R的大小关系为ARQP B. RPQ C. PRQ D. QPR第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13.若直线平行，则实数的值为 .14. 在ABC中，已知a,b,c分别为A，B，C所对的边，S为ABC的面积.若向量p=q

4、=满足pq,则C= .15. 定义在R上的函数在0，)是增函数，则方程的所有实数根的和为 .16.在三棱锥A-BCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，则该三棱锥的外接球的表面积为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）已知等差数列满足：.（）求的通项公式；（）若()，求数列的前n项和.18. （本小题满分12分）第30届夏季奥运会将于2012年7月27日在伦敦举行，当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者。将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）：若身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”，身高在180cm以下

5、（不包括180cm）定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”。（I）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望。19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥S-ABCD中，ABAD，ABCD，CD=3AB=3，平面SAD平面ABCD，E是线段AD上一点，AE=ED=，SEAD. （）证明：平面SBE平面SEC;（）若SE=1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值.20. （本小题满分12

6、分）在ABC中，顶点A，B，动点D，E满足：；，共线. （）求ABC顶点C的轨迹方程；（）是否存在圆心在原点的圆，只要该圆的切线与顶点C的轨迹有两个不同交点M，N，就一定有，若存在，求该圆的方程；若不存在，请说明理由.21. （本小题满分12分）设函数.（）当时，求函数的单调区间；（）设函数对任意都有成立，求的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。（22） （本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，锐角ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为内切圆I与边CA的切点. （）求证：四点，共圆；（）若C=，求I

7、EH的度数.（23） （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为.（）求圆C在直角坐标系中的方程；（）若圆C与直线相切，求实数a的值.(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数.（）当a=3时，求函数的最大值；（）解关于x的不等式.2012年高中毕业年级第一次质量预测理科数学 参考答案一、选择题 1-12 ADCDD BDBDC CB二、填空题 13. 2或； 14.； 15.4； 16.三、解答题 17.解：（I）设的首项为，公差

8、为，则由得 2分解得所以的通项公式 5分（II）由得. 7分 当时，；10分 当时，得；所以数列的前n项和12分18.解：（）根据茎叶图，有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是， 所以选中的“高个子”有人，“非高个子”有人3分用事件表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件表示“没有一名“高个子”被选中”，则 因此，至少有一人是“高个子”的概率是6分（）依题意，所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数X的取值分别为， ， 因此，X的分布列如下：X10分所以X的数学期望 12分19.解：（）平面平面,平面平面,平面， 平面, 2分平面 ，=3, AE=E

9、D=，所以即4分结合得BE平面SEC，平面， 平面SBE平面SEC. 6分（）由（）知，直线ES,EB,EC两两垂直.如图，以EB为x轴, 以EC为y轴,以ES为z轴,建立空间直角坐标系.则ESDCABxzy，.设平面SBC的法向量为，则解得一个法向量，9分设直线CE与平面SBC所成角为，则又所以直线CE与平面SBC所成角的正弦值12分 20.解：(I)设C（x,y）,由得，动点的坐标为；由得，动点E在y轴上，再结合与共线，得，动点E的坐标为; 2分由的，整理得，.因为的三个顶点不共线，所以，故顶点C的轨迹方程为.5分(II)假设存在这样的圆，其方程为，当直线MN的斜率存在时，设其方程为，代入

10、椭圆的方程，得，设M，N，则，所以 (*)7分由，得0，即，将式子(*)代入上式，得.9分又直线MN：与圆相切知：.所以，即存在圆满足题意；当直线MN的斜率不存在时，可得，满足.综上所述：存在圆满足题意. 12分21.解：（I）当p =1时，其定义域为.所以.2分由得，所以的单调增区间为；单调减区间为.5分（II）由函数,得.由（I）知，当p =1时，即不等式成立. 7分 当时，即g(x)在上单调递减，从而满足题意； 9分 当时，存在使得，从而，即g(x)在上单调递增，从而存在使得不满足题意；当时，由知恒成立，此时不满足题意.综上所述，实数p的取值范围为. 12分22.证明：（）由圆I与边AC相切于点E，得IEAE; 分结合IHAH,得所以，四点A,I,H,E共圆. 分（）由（）知四点A,I,H,E共圆，得，;分在中,结合IHAH,得；所以.由得 10分23.解（