第6章 符号运算功能1

1、第6章 符号运算功能6.1 符号表达式的生成符号表达式包括符号函数和符号方程，两者的区别前者不包括等号，后者必须带等号。l 创建符号函数 f=log(x)l 创建符号方程equation=a*x2+b*x+c=0l 创建符号微分方程diffeq=Dy-y=xl sym命令创建f=sym(sin(x) %符号函数f=sym(sin(x)2=0) %符号方程l syms命令syms x %定义符号变量f=sin(x)+cos(x)6.2 符号和数值之间的转换l digits函数digits(D) 函数设置为有效数字个数为D的近似精度l vpa函数格式1：r=vpa(S) 符号表达式S在digits

2、函数设置下的精度的数值解。格式2：r=vpa(S,D) 符号表达式S在digits(D)函数设置下的精度的数值解。S=solve(3*x2-exp(x)解为： -2*lambertw(-1/6*3(1/2) -2*lambertw(-1,-1/6*3(1/2) -2*lambertw(1/6*3(1/2)执行：vpa(S)结果为：（数值解） .91000767248870906066733829676944 %32位小数位数 3.7330790286328142006199640298434 -.46896226763694861469867243243408执行digits(4)vpa(S)

3、结果为：（数值解，精度为4位） .9100 3.734 -.4690l numeric 将不含自由变量的符号表达式转换为数值形式。6.3 符号函数的运算一、复合函数compose(f,g)：返回当f=f(x)和g=g(y)时的符合函数f(g(y)，其中x和 y均为符号变量。compose(f,g,z)：返回复合函数以z为自变量。compose(f,g,x,z)：返回复合函数f(g(z)，且使x为f的独立变量。compose(f,g,x,y,z)：返回复合函数f(g(z)，且使x为f的独立变量，y为g的独立变量。举例：syms x y z t u 定义符号变量f=1/(1+x2) 定义符号函数g

4、=sin(y) 定义符号函数h=xt 定义符号函数p=exp(-y/u) 定义符号函数compose(f,g) 用sin(y)代替x，结果为1/(1+sin(y)2)compose(f,g,t) 用sin(y)代替x，t代替y，结果为1/(1+sin(t)2)compose(f,g,x,z) 返回复合函数f(g(z)，结果为sin(z)tcompose(h,g,t,z) 结果为xsin(z)compose(h,p,x,y,z) 结果为exp(-z/u)tcompose(h,p,t,u,z) 结果为xexp(-y/z)二、反函数finverse(f) finverse(f,v)举例：syms x

5、 yf=x2+yfinverse(f,y) 结果为：-x2+y6.4 符号矩阵的创立1使用sym函数直接创建2用创建子阵的方法创建符号矩阵3将数值矩阵转化为符号矩阵6.6 符号矩阵的运算一、基本运算1 符号矩阵的四则运算（加、减、乘、除）2 符号矩阵的行列式运算3 符号矩阵的逆4 符号矩阵的秩5 符号矩阵的指数运算二、矩阵分解1 特征值函数x,y=eig(b)2 奇异值分解函数svd(b)3 约当标准型符号矩阵的约当标准型由函数jordan计算得到。4 三角抽取函数diag： 对角线 tril： 上三角 triu： 下三角5 符号矩阵的列空间 符号矩阵的列空间由函数colspace计算得到。6

6、. 符号矩阵的零空间 符号矩阵的零空间由函数null计算得到。三、符号矩阵的简化1 因式分解fact(S)syms xf=x9-1factor(f) 结果为：(x-1)*(x2+x+1)*(x6+x3+1)2 符号矩阵的展开expand(S)举例：expand(x+1)3) 得到： x3+3*x2+3*x+13 同类式合并collect(S，v) 将符号矩阵S中的各元素的V的同幂项系数合并。collect(S) 将符号矩阵S中的各元素的默认变量进行同类项合并。举例：collect(x2*y+y*x-x2-2*x) 合并x的同类项， 得到：(y-1)*x2+(y-2)*x4 符号简化simple

7、(x)simplify(x)5 分式通分：numden 求解符号表达式的分子和分母，格式： N,D= numden（A） 把A的各元素转换为分子和分母都是整数的最佳多项式型6 “秦九卲型”重写horner(P) 将多项式转换为嵌套形式的表达式四、符号极限、微分、积分与差分1 符号极限limit(F,x,a)：计算符号表达式F在xa条件下的极限值。limit(F,a)： 计算符号表达式中的独立变量趋向于a的极限值。limit(F) 计算在a=0时的极限。limit(F,x,a,right)：计算符号表达式F在xa时的极限值。limit(F,x,a,left)：计算符号表达式F在xa 时的极限值。

8、举例：syms x a t hlimit(sin(x)/x)结果为：ans =1limit(sin(x)/x,a)结果为：ans =sin(a)/alimit(cos(x)/x,a)结果为：ans =cos(a)/a limit(sin(x)/x,x,0,left)结果为：ans =1 limit(sin(x)/x,x,0,right)结果为：ans =12 符号积分int(x)（1）不定积分在MATLAB中，求不定积分的函数是int，其调用格式为：int(f,x)int函数：求函数f对变量x的不定积分。参数x可以缺省，缺省原则与diff函数相同。int(s)：int(s,v)：计算符号表达式

9、s对符号自变量v的不定积分。v是一数量符号量。举例1：求不定积分int(sin(x)/x,a)举例2 求不定积分 int(cos(2*x)*cos(3*x) ans =1/2*sin(x)+1/10*sin(5*x)（2）符号函数的定积分定积分在实际工作中有广泛的应用。在MATLAB中，定积分的计算使用函数：int(f,x,a,b)int(s,a,b)：计算符号表达式S对默认符号变量从a到b的定积分。a和b为双精度或符号数量。int(s,v,a,b)：计算符号表达式对变量v从a到b的定积分。举例1：命令如下：x=sym(x);t=sym(t);int(abs(1-x),1,2) %求定积分(1

10、)f=1/(1+x2);int(f,-inf,inf) %求定积分(2)int(4*t*x,x,2,sin(t) %求定积分(3)f=x3/(x-1)100;I=int(f,2,3) %用符号积分的方法求定积分(4)double(I) %将上述符号结果转换为数值例2 求定积分 eval(int(x2*log(x),1,exp(1)使用函数trapzx=1:0.01:exp(1);y=x.2.*log(x);trapz(x,y)ans = 4.5137例3 求二重积分 使用符号积分 syms x y;f=y2/x2;int(int(f,x,1/2,2),y,1,2)结果： ans =7/2使用数

11、值计算f=(y.2)./(x.2);dblquad(f,1/2,2,1,2)结果：ans = 3.50003 符号微分和差分diff微分和差分函数u diff(s) 对符号表达式S求自变量的微分u diff(s，v) 或diff(s，sym(v) 对以V为自变量的符号S求微分u diff(s,n) n为正整数，对函数表达式求n阶微分u diff(s,v，n) 或diff(s，sym(v),n) 对以V为自变量的符号S求n阶微分举例1syms a b t x y z;f=sqrt(1+exp(x);diff(f) %求(1)。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理f=x*cos(x);diff(f

12、,x,2) %求(2)。求f对x的二阶导数diff(f,x,3) %求(2)。求f对x的三阶导数f1=a*cos(t);f2=b*sin(t);diff(f2)/diff(f1) %求(3)。按参数方程求导公式求y对x的导数(diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/(diff(f1)3 %求(3)。求y对x的二阶导数f=x*exp(y)/y2;diff(f,x) %求(4)。z对x的偏导数diff(f,y) %求(4)。z对y的偏导数f=x2+y2+z2-a2;zx=-diff(f,x)/diff(f,z) %求(5)。按隐函数求导公式求z对x的偏导数z

13、y=-diff(f,y)/diff(f,z) %求(5)。按隐函数求导公式求z对y的偏导数举例2：在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平行。命令如下：x=sym(x); y=x3+3*x-2; %定义曲线函数f=diff(y); %对曲线求导数g=f-4;solve(g) %求方程f-4=0的根，即求曲线何处的导数为46.7 符号代数方程求解1、线性代数方程式的符号解法linsolve可得到方程组的精确解，得到的解析解可由函数vpa转换成浮点近似数值。 x=linsolve(a,b) 只给出特解 例1：对数值方程组用符号函数求解a=sym(10 -1 0;-1 10 -2;

14、0 -2 10) b=sym(9;7;6)linsolve(a,b) 473/476 91/96 376/476vpa(ans)例2：求给定线性方程组的解a=sym(1,1/2,1/3;3 1 1;1 2 1) b=sym(1,2;1/3,1;1,1/7)linsolve(a,b) 例3：求欠定方程组的解a=sym(1 1/2 1/3;3 1 1) b=sym(1;1) x=linsolve(a,b)例4：求符号特征多项式的根 a=sym(1,2,1/3;0 6 0;7 0 a) ca=poly(a)x3-x2*a-6*x2+6*x*a+8/3*x-6*a+36/3ra=solve(ca)ra

15、 = 6 1/2*a+1/2+1/6*(9*a2-18*a+93)(1/2) 1/2*a+1/2-1/6*(9*a2-18*a+93)(1/2)例6：求三元非线性方程组的解s1=x2+sqrt(2)*x+1=0s2=x+3*z=4s3=y*z=-1x,y,z=solve(s1,s2,s3)例6：求解超越方程组 （等号两边至少有一个含有未知数的初等超越函数式的方程。如指数方程、对数方程、三角方程、反三角方程等）x,y=solve(xx=1/7,x/y=3)得到： x =-log(7)/lambertw(-log(7) y =-1/3*log(7)/lambertw(-log(7)lambertw

16、是一个函数，lambertw（x）表示方程wxexp(x)=x的解w例7：求线性方程组AX=b的解。解方程组(1)的命令如下：A=34,8,4;3,34,3;3,6,8;b=4;6;2;X=linsolve(A,b) %调用linsolve函数求(1)的解Ab %用另一种方法求(1)的解解方程组(2)的命令如下：syms a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 b1 b2 b3;A=a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33;b=b1;b2;b3;X=linsolve(A,b) %调用linsolve函数求(2)的解XX=Ab %用左

17、除运算求(2)的解2、非线性代数方程式的符号解法（1）求解非线性方程（组）的符号解析解的函数是solve，调用格式为：solve(eqn1,eqn2,eqnN,var1,var2,varN)举例1：解方程。命令如下：x=solve(1/(x+2)+4*x/(x2-4)=1+2/(x-2),x) %解方程(1)f=sym(x-(x3-4*x-7)(1/3)=1);x=solve(f) %解方程(2)x=solve(2*sin(3*x-pi/4)=1) %解方程(3)x=solve(x+x*exp(x)-10,x) %解方程(4)。仅标出方程的左端格式2 x=fsolve(fun,x0)例2：x1

18、-0.7sinx1-0.2cosx2=0 x2-0.7cosx1+0.2cosx2=0 function y=fc(x) y(1) = x(1) - 0.7 * Sin(x(1) - 0.2 * Cos(x(2); y(2) = x(2) - 0.7 * Sin(x(2) - 0.2 * Cos(x(2); y = y(1) y(2); 在命令窗口中输入： x0=0.5 0.5 fsolve(fun,x0)6.8 符号微分方程求解MATLAB的符号运算工具箱中提供了功能强大的求解常微分方程的函数dsolve。该函数的调用格式为：dsolve(eqn1,condition,var)该函数求解微分

19、方程eqn1在初值条件condition下的特解。参数var描述方程中的自变量符号，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件condition，则求方程的通解。dsolve在求微分方程组时的调用格式为：dsolve(eqn1,eqn2,eqnN,condition1,conditionN,var1,varN)函数求解微分方程组eqn1、eqnN在初值条件conditoion1、conditionN下的解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，var1、varN给出求解变量。或者可以表达为：y1,y2,.=dsolve(a1,a2,a12) 说明：(1) a1,a2,a12为输入变量，输入变量包括

20、三部分内容：微分方程、初始条件和指定独立变量，其中微分方程是必不可少的输入内容，后两个内容视具体需要而定。(2) 关于指定独立变量的规定：若指定独立变量，则总是由全部输入变量a1,a2,a12中的最后一个变量定义。若不对独立变量加以专门的定义，则默认为小写的英文字母x或t为独立变量名。(3) 微分方程的记述规定：当y是因变量，用Dny表示“y的n阶导数”，如Dy 表示“y的1阶导数”，D2表示“y的2导数”，默认的变量为x或t。(4) 关于初始条件的规定：初始条件要写成y(a)=b，Dy(c)=d等。(6) 输出变量可有可无(7) 输入变量个数不超过12个。3常微分方程求解举例1：求通解x,y

21、=dsolve(Dx=y,Dy=-x) x =cos(t)*C1+sin(t)*C2 y =-sin(t)*C1+cos(t)*C2其中：t是默认的独立变量；C1和C2为任意常数y=dsolve(Dy-(x2+y2)/x2/2,x) %解(1)。方程的右端为0时可以不写y=dsolve(Dy*x2+2*x*y-exp(x),x) %解(2)y=dsolve(Dy-x/y/sqrt(1-x2),x) %解(3)举例2：求特解f,g=dsolve(Df=3*f+4*g,Dg=-4*f+3*g,f(0)=0,g(0)=1)得到： f =exp(3*t)*sin(4*t)g =exp(3*t)*cos

22、(4*t)y=dsolve(Dy=2*x*y2,y(0)=1,x) y=dsolve(Dy-x2/(1+y2),y(2)=1,x) 举例3：指定变量y=dsolve(D3y=-y,y(0)=1,Dy(0)=0,D2y(0)=0,t)得到：y =1/3*exp(-t)+2/3*exp(1/2*t)*cos(1/2*3(1/2)*t)举例4：计算初值问题：dsolve(Dy=x+y,y(0)=1,x)结果：ans =-x-1+2*exp(x)举例5：常微分方程组求解命令如下：x,y=dsolve(Dx=4*x-2*y,Dy=2*x-y,t) %解方程组(1)x,y=dsolve(D2x-y,D2y

23、+x,t) %解方程组(2)参考网站：/view/0b297800bed5b9f3f90f1c36.html6.9级数展开1、泰勒级数MATLAB中提供了将函数展开为幂级数的函数taylor格式1： taylor（f），taylor（f，n）返回n-1次幂多项式taylor（f，a）返回a点附近的幂多项式近似值taylor（f，x）使用独立变量代替函数findsym(f)例1：求函数 的泰勒展开式，并计算该函数在x=3.42时的近似值。syms x;taylor(sin(x)/x,x,10)ans = 1-1/6*x2+1/120*x4-1/5040*

24、x6+1/362880*x8 x=3.42;eval(ans)ans = -0.0753调用格式2：taylor(f,v,n,a)举例2：求函数在指定点的泰勒展开式。命令如下：x=sym(x);f1=(1+x+x2)/(1-x+x2);f2=sqrt(1-2*x+x3)-(1-3*x+x2)(1/3);taylor(f1,x,5) %求(1)。展开到x的4次幂时，应选择n=5taylor(f2,6) %求(2)。举例3：将多项式表示成x+1的幂的多项式。命令如下：x=sym(x);p=1+3*x+5*x2-2*x3;f=taylor(p,x,-1,4)举例4：应用泰勒公式近似计算 。命令如下：

25、x=sym(x);f=(1-x)(1/12); %定义函数，4000(1/12)=2f(96/212)g=taylor(f,4) %求f的泰勒展开式g，有4000(1/12)2g(96/212)b=96/212;a=1-b/12-11/288*b2-253/10368*b3 %计算g(b)2*a %求4000(1/12)的结果4000(1/12) %用MATLAB的乘方运算直接计算2、傅立叶级数MATLAB 5.x版中，尚未提供求函数傅立叶级数的内部函数。下面提供一个简化的求任意函数的傅立叶级数的函数文件。function mfourier=mfourier(f,n)syms x a b c;

26、mfourier=int(f,-pi,pi)/2; %计算a0for i=1:n a(i)=int(f*cos(i*x),-pi,pi); b(i)=int(f*sin(i*x),-pi,pi); mfourier=mfourier+a(i)*cos(i*x)+b(i)*sin(i*x);endreturn调用该函数时，需给出被展开的符号函数f和展开项数n，不可缺省。应用举例：在-，区间展开函数为傅立叶级数。命令如下：x=sym(x);a=sym(a);f=x;mfourier(f,5) %求f(x)=x的傅立叶级数的前5项f=abs(x);mfourier(f,5) %求f(x)=|x|的傅

27、立叶级数的前5项syms a;f=cos(a*x);mfourier(f,6) %求f(x)=cos(ax)的傅立叶级数的前6项f=sin(a*x);mfourier(f,4) %求f(x)=sin(ax)的傅立叶级数的前4项3、级数的符号求和函数symsum，调用格式为：symsum (s,t,a,b) 功能：求表达式s中的符号变量t从第a项到第b项的级数和 举例：求级数之和。命令如下：n=sym(n);s1=symsum(1/n2,n,1,inf) %求s1s2=symsum(-1)(n+1)/n,1,inf) %求s2。未指定求和变量，缺省为ns3=symsum(n*xn,n,1,inf

28、) %求s3。此处的求和变量n不能省略。s4=symsum(n2,1,100) %求s4。计算有限级数的和6.10傅立叶(Fourier)变换在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是：fourier(fx,x,t) 求函数f(x)的傅立叶像函数F(t)。ifourier(Fw,t,x) 求傅立叶像函数F(t)的原函数f(x)。举例：求函数的傅立叶变换及其逆变换。命令如下：syms x t;y=abs(x);Ft=fourier(y,x,t) %求y的傅立叶变换fx=ifourier(Ft,t,x) %求Ft的傅立叶逆变换6.11 拉普拉斯(Laplace)变换在MATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是：（1）laplace(fx,x,t) 求函数f(x)的拉普拉斯像函数F(t)。（2）ilaplace(Fw,t,x) 求拉普拉斯像函数F(t)的原函数f(x)。举例：计算y=x2的拉普拉斯变换及其逆变换.命令如下：x=sym(x);y=x2;Ft=laplace(y,x,t) %对函数y进行拉普拉斯变换fx=ilaplace(Ft,t,x) %对函数Ft进行拉普拉斯逆变换6.12 Z变换对数列f(n)进行z变换的MATLAB函数是：ztrans(fn,n,z) 求fn的Z变换像函数F(z)iztran