高等数学(函数极限连续1).ppt

1、第一讲,函数、极限与连续1,一、 集合及其运算（自己复习）,二、实数的完备性和确界存在定理 （去掉，可以不看）,实数集 R 和实数轴上的所有点一一对应,设 X , Y 是两个非空集合,若存在一个对应规,则 f ,使得,有唯一确定的,与之对应,则称,f 为从 X 到 Y 的映射,记作,y 称为 x 在映射 f 下的像,记作,x 称为 y 在映射 f 下的原像 .,集合 X 称为映射 f 的定义域 ;,Y 的子集,称为 f 的 值域 .,注:,元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一.,1、定义4.,三、 映射和函数,对映射,若, 则称 f 为满射;,若,有,则称 f 为单射;,若

2、 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射 或一一映射.,定义域,定义5. 设数集,则称映射,为定义在,D 上的函数 ,记为,称为值域 .,自变量,因变量,定义域,使表达式或实际问题有意义的自变量集合.,对实际问题, 书写函数时必须写出定义域；,基本初等函数：常数, 幂函数, 指数函数, 对数函数,三角函数，反三角函数.,非基本初等函数：分段函数等.,1、狄利克雷函数,例如：,x 为有理数,x 为无理数,3、符号函数,2、取整函数,当,2. 函数的几种特性,(1) 有界性,(2) 单调性,(3) 奇偶性,(4) 周期性,注: 周期函数不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函数,则,设有函数链,称

3、为由, 确定的复合函数 ,u 称为中间变量.,注意: 构成复合函数的条件,不可少.,例如, 函数链 :,可定义复合函数,3. 复合函数,约定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域, 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.,若函数,为单射,则存在一新映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为 f 的反函数 .,其反函数,(减),(减) .,1) （反函数存在定理） yf (x) 严格单调递增,且也严格单调递增,性质:,使,其中,4. 反函数,2) 函数,与其反函数,的图形关于直线,对称 .,常数及基本初等函数,的函数 ,经过有限次四则运算和复合运,算所构成,称为初等函数.,5. 初

4、等函数,1. 集合及其运算,3. 函数及其特性,有界性, 单调性,奇偶性, 周期性, 反函数, 复合函数.,4. 初等函数.,2. 实数的完备性和确界存在定理,第二节,内容小结,如果按照某一法则,对每一,对应着一个,确定的实数,则得到一个序列,这一序列称为数列,记为,叫做数列的通项,数列举例:,注：,数列 可以看作自变量为正整数 的函数:,四、数列的极限,数列的极限,数列的极限,数列的极限,数列的极限,数列的极限,数列的极限,数列的极限,数列的极限,数列的极限,数列的极限,通过演示实验的观察:,数列的极限,例如,数列极限的通俗定义,问题:,如何用数学语言刻画它？,接近于常数,或者称,记为,趋势

5、不定,数列极限的精确定义,如果存在常数,对于任意给定,总存在正整数,使得当 时,总有,成立,或者称数列,收敛于,记为,极限定义的简记形式,或,当 时,的正数,当 时,例1 证明：,证明：,要使,只需要,于是，,即,取,当 时,收敛数列的性质,定理 2.1 收敛数列的极限唯一.,定理 2.2 收敛数列一定有界.,注：,1.有界的数列是否一定收敛?,2 数列 的有界性与收敛如何？,则,定理 2.3,设,例.求,解：由于,根据有理运算法则得,32,例.求,解： 因为,根据有理运算法则得,定理 2.4 收敛数列具有保号性.,若,且,有,推论:,若数列从某项起,推论 (保序性),设,若,使得,恒有,则,

6、定理2.5 (夹逼性),设,若,使得,恒有,则,单调增加,单调减少,单调数列,数列收敛性的判别准则,单调递增有上界的数列收敛于其上确界；,单调递减有下界的数列收敛于其下确界。,注：,1 如果数列的两个子数列存在极限,但其极限不同, 那么原数列的极限是否存在?,注：,2 现在又如何判断数列 发散？,定理2.7（归并原理 ）,的充要条件是,的每个子列,都有,数列的任一收敛子列的极限称为该数列的极限点， 极限点又称聚点。,定理2.8（Weierstrass定理-聚点定理）,有界数列必有收敛子列。,定理2.9（Cauchy收敛原理） 数列,极限存在的充要条件是:,存在正整数 N ,使当,时,有,这种数

7、列称为Cauchy列或基本数列。 该条件称为Cauchy条件。,内容小结,1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用,2. 收敛数列的性质:,唯一性 ; 有界性 ; 保号性;,任一子数列收敛于同一极限,3. 极限存在准则:,夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则,39,P39 10偶数题, 11(1)(2),作 业,五、函数的极限,是当,它与函数满足下列关系：,如果存在常数,设,是任一函数,那么称,恒有,使得,极限存在或有极限.,时,的极限, 记作,或,时,此时又称当,时, 函数,当,的极限,可类似的定义.,与当,时, 函数,的极限,当,当,当,时, 有,时, 有,时, 有,不难证明,几何解释

8、:,例 证明,证:,故,取,当,时 , 就有,因此,定义3.2 设函数,在点,的某去心邻域内有定义 ,当,时, 有,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,若,记作,几何解释:,自变量趋于有限时函数的极限,例 证明,证:,欲使,取,则当,时, 就有,因此,只要,定义 设函数,是常数），若,时,为当,或,它与,满足下列关系：,使得,则称,的左极限，记作：,存在常数,恒有,单侧极限,类似地定义：,的右极限.,时函数,显然，,使得当,恒有,的极限为无穷大，,记作,如果,类似的可以定义,及,时的无穷大。,函数极限的归并原理,定理3.1 Heine定理,注: 此定理只能用来证明极限不存在。,当,时，,注

9、: 此定理只能用来证明极限不存在。 当证明极限存在时，此定理绝对不能用。因 为 有无穷多个，我们 无法验证所有的数列都满足此定理。,例 证明： 不存在。,函数极限的性质,定理3.2 设,则,(1) 唯一性.,时，,当,处是局部有界的，即,在,的极限是唯一的.,(2) 局部有界性.,使得,恒有,定理3.3 若,(2) 局部保序性.,都与a 同号.,若,则,恒有,使得,都有,且a b, 则,定理 3.4 (有理运算法则),其中,设,定理 3.5 (复合运算法则),设,则,(3),(1),(2),是由,复合而成，,与,复合函数,中，若,定义在,都有,并且,则,使得,例 求,解:,例 求,解:,例 求,解:,六、两个重要极限,注,2.,例 求,解:,例 求,解: 原式=,例 求,解:,例 求,解：令,则当,故,时，,注. 两个重要极限,或,思考与练习,例 求,解: 原式 =,函数极限的存在准则,确界定义,设有函数,若其值域,上的上(下)确界，记作,有上,是,的上(下)界,(下)界，则称 f在A上有上(下)界，并称,在A上的上(下)界，,称,的上