第 五 节 隐函数的求导公式_第1页
第 五 节 隐函数的求导公式_第2页
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文档简介

1、第 五 节 隐函数的求导公式教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法教学难点：隐函数的高阶导函数的计算教学内容：一、一个方程的情形在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程 =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式隐函数存在定理1 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有 (2) 公式（2）就是隐函数的求导公式仅就公式(2)作如下推

2、导将方程(1)所确定的函数代入，得恒等式 ,其左端可以看作是的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得 由于连续，且，所以存在的一个邻域，在这个邻域内，于是得 如果的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作的复合函数而再一次求导，即得 例1 验证方程在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当=0时，的隐函数，并求这函数的一阶和二阶导数在=0的值解 设，则,.因此由定理1可知，方程在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当=0时，的隐函数 =， ； 隐函数存在定理还可以推广到多元函数既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函

3、数，那末一个三元方程 (3)就有可能确定一个二元隐函数隐函数存在定理2 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有 =，= (4)与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导由于 ,将上式两端分别对和求导，应用复合函数求导法则得 +=0, +=0因为连续，且,所以存在点的一个邻域，在这个邻域内0，于是得 =,= 例2 设，求解 设，则=2, =应用公式(4)，得 =再一次对求偏导数，得二、方程组的情形下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广我们不仅增加方程中变量的个数考虑方程组 (5)在四个变量中，一般只能有两个

4、变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数在这种情形下，我们可以由函数、的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质隐函数存在定理3 设函数、在点的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又，且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式)： 在点不等于零，则方程组，在点的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有 (6) 例3 设，求,和解 此题可直接利用公式(6)，但也可依照推导公式(6)的方法来求解下面我们利用后一种方法来做将所给方程的两边对求导并移项，得 在的条件下， ， 将所给方程的两边对求导，用同样方法在的条件下可得 小结与思考：本节根据多元复合函数的求导法导出隐函数的求导公

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