第07讲简单体系势垒贯穿

1、第07讲 简单体系势垒贯穿前面讨论了束缚态.现在开始讨论散射态。首先讨论一维空间中势垒贯穿问题.以方势垒为；例，设势场为 （2.8.1） （2.8.1）式中，.正在经典力学中，若粒子能量EU。,则粒子可能越过势场，不受势场影响，完全透射。若粒子能量EU。，则粒子完全不可能越过势场，被全部反射.但量子力学的情况却完全不同，我们将证明，无论还是，反射和透射波都会同时存在。先讨论情况。相应于各区的薛定谔方程是 （2.8.2）在各个不同区域的解是 （x0） (0xa)其中是在x0区中的入射波和反射波和反射波，和是在区中的右行的左行的波，是在区的透射波。由于在区中无反射，因此不出现项。利用在和处波函数连

2、续和波函数微商连续条件，得 (2.8.4) (2.8.4)式中有四个方程式，但有五个未知数，因此利用简单的代数运算，总可将表示为的函数，于是得 (2.8.5) (2.8.6) 利用概率流公式（2.3.17）式，可算出相应于入射波的入射概率流密度为 = (2.8.7) 相应于透射波的透射概率流密度是 = (2.8.8)相应于反射波的反射概率流密度是 (2.8.9)定义透射系数或称贯穿系数为 (2.8.10)反射系数为 (2.8.11)（2810）及（2.8.11）式表明，即使，在量子情况下，也不是所有粒子均能通过势垒的（图2.8.1）。能贯穿势垒的只是入射粒子流中的一部分，只有百分比为D的粒子可

3、贯穿势垒，而有百分比为R的粒子被势垒反射。而由（2.8.10）及（2.8.11）式可证实 (2.8.12)再讨论情况，由（2.8.2）式可见，这时是虚数，令， (2.8.13)重复上述计算后可以证明，这时有 (2.8.14)IIIIII图2.8.1 势垒贯穿 （2.8.15）因此，当时，也是既有反射波，又有透射波。对于低能粒子入射的情况，由于较小，因此较大，设可取为，由(2.8.14)式，注意到 得 (2.8.16) 势垒越高，U。越大，D越小；势垒越宽，a越大，D也越小，因此势垒越高，越宽，越难穿透，若，,在非相对论量子力学中，粒子不可能穿透无限高的势垒。对于透射波，由于在时不为零，它的归一

4、化要另外讨论。如果我们讨论的不是方势垒，而是方势阱，则显然，只是将上面的结果作代换-，即将 (2.8.17)仍然可由(2.8.10)式给出方势阱的透射系数。现在讨论在何种情况下D=1，粒子完全透射。显然，若=0, ，R=0,D=1,但这只是个平庸的情况，相当于粒子完全不受势场散射。除此之外，若 (n=1,2) (2.8.18)D也等于1。这时的透射称为共振透射，相应的共振能量 (2.8.19)问题1 若定义共振宽度为D从1降到1/2时，所对应共振能级的宽度为E，试证明当能量E增加时，E增加问题2 设粒子连续穿过两个高度均为，宽度均为a的方势垒，求透射系数。例1 求势垒的贯穿系数。解：对势垒，势场为 ( (2.8.20)薛定谔方程是 (2.8.21)对上述方程两边作积分,得 （2.8.22）令 ， （2.8.23）代入（2.8.22）式得 （2.8.24）由在x=0处的连续条件又可得1