第05讲代数式w

1、第5讲 代数式知识方法扫描用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或一个字母，像-1，0，a，x 也是代数式，这里“用运算符号连结”一般指加、减、乘、除、乘方。将日常生活的语言转化为数学语言，就是要会列出代数式；另一方面也要理解代数式的含义，会求代数式的值。用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值 经典例题解析例1 (1985年武汉市初中一年级数学通讯赛试题)a,b是有理数, (1) 若a+b=0,则 a,b 互为_.

2、 (2) 若ab=0, 则 a,b 至少_. (3) 若ab=1, 则 a,b _. (4) 若ab0, 则 a,b _. (5) 若a2+b2=0,则 a,b _.解 (1) 若a+b=0,则 a,b 互为相反数；(2) 若ab=0, 则 a,b 至少有一个等于零；(3) 若ab=1, 则 a,b互为倒数；(4) 若ab0, 则 a,b的符号相同；(5) 若a2+b2=0, 则 a,b都等于零。评注 用数学语言代数式和数学符号来表达日常生活语言，是学好数学一项重要的基本功。要培养数学语言和日常生活语言“互译”的能力。例2 （1991年第2届“希望杯”数学邀请赛试题）浓度为p%的盐水m公斤与浓

3、度为q%的盐水n公斤混合后的溶液浓度是（ ）（A）（B）（C）（D）解 浓度为p%的盐水m公斤中含盐mp%公斤，浓度为q%的盐水n公斤中含盐nq%公斤，混合溶液共(m+n)公斤，含盐(mp%+nq%)公斤，所以浓度是。 故选D。例3（1993年第4届“希望杯”数学邀请赛试题）如图是一个长为a，宽为b的矩形两个阴影图形分别是一对长为c的底边在矩形对边上的一个平行四边形和一个矩形则矩形中未涂阴影部分的面积为（ ）（A）ab-(a+b)c（B）ab-(a-b)c（C）(a-c)(b-c)（D）(a-c)(b+c)解：将图形沿左右、上下平移后，可以得到一个长为(a-c)，宽为 (b-c)的长方形，其面

4、积为(a-c) (b-c)，这也就是未涂阴影部分的面积。故选 （C）。例4.（2002年河南省初二数学竞赛试题）a表示一个两位数，b表示一个四位数，把a放在b的左边组成一个六位数，那么这个六位数应表示成（ ）(A)ab (B)10000a+b (C)100a+10000b (D)100a+b解依题意，在这个六位数中，a的个位数字是在万位上，所以这个六位数应表示成10000a+b，选(B)评注：一个n位自然数的十进制表示法一般形式，是其中ai是一位数字. 有时也根据需要写成 100a+b （b是两位数）,1000a+b(b是三位数)等形式例5 (2004年“希望杯”数学邀请赛试题)民航规定：旅客

5、可以免费携带a千克物品，若超过a千克，则要收取一定的费用，当携带物品的质量为b千克(ba)时，所交费用为Q=10b-200(元) (1)小明携带了35千克物品，质量大于a千克，他应交多少费用？ (2)小王交了100元费用，他携带了多少千克物品？ (3)若收费标准以超重部分的质量m（千克）计算，在保证所交费用Q不变的情况下，试用m表示Q解 (1)当携带的物品重量b= 35千克时，应交的费用为（元）所以小明应交159元(2)设小王携带了x千克物品，则 解得因此，小王携带了30千克物品(3)已知最多可以免费携带a千克物品，则解得所以超重部分的质量为即故所交费用为（元）例6. (2005年杭州市江干区

6、数学小能手展示活动7年级试题) 设多项式，已知当0时，；当时，则当时，求的值.12解 由题意，当0时，=5，所以d=5；当时，=7，即，所以，当时，=例7 （第18届“迎春杯”数学竞赛试题） 如果, 那么的值为 . 解法1 a2+a=1, 于是我们有解法2 a2=1-a,于是有评注：解法一是应用拆项法；解法二是应用降次法, 这两种方法在整式恒等变形中常用. 例8 (2006年第二届“希望杯”全国数学大赛8年级试题)如下图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）：先使原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该

7、圆周上，使数轴上1、2、3、4、所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、所对应的点重合。这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系。数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数（用含n的代数式表示）是_。解 3n+2 由题意知，正半轴上的整数与圆周上的数字建立的对应关系是：当正半轴上的整数是3的倍数时，对应着圆周上数字0；当正半轴上的整数被3除余1时，对应着圆周上数字1；当正半轴上的整数被3除余2时，对应着圆周上数字2。所以数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数（用含n的代数式表示）

8、是3n+2。原版赛题传真同步训练一 选择题1（1991年第2届“希望杯”数学邀请赛试题）图中表示阴影部分面积的代数式是（ ）（A）ad+bc（B）c(b-d)+d(a-c)（C）ad+c(b-d)（D）ab-cd1C将图形分割成一个长为a宽为d的矩形，与一个长为c宽为(b-d)的矩形，则阴影部分面积等于ad+c(b-d)2 （1990年汉江杯数学竞赛试题）M表示一个两位数，N表示一个三位数，如果把M放在N的左边组成一个五位数，那么这个五位数应是（ ）(A) M+N (B) MN (C)M+N (D)1000M+N2D3（1993年第4届“希望杯”数学邀请赛试题）。M表示a与b的和的平方，N表示

9、a与b的平方的和，则当a=7，b=-5时，M-N的值是（ ）（A）-28（B）-70（C）42（D）03BM = (a+b)2=(7-5)2=4; N=a2+b2=77+(-5)2=74, M-N=-704（2003年第1届创新杯数学邀请赛试题）已知 y=ax3+bx-5中，当 x=-3时，y=7, 那么当x=3时，y的值是（ ）. (A) (B) (C) 17 (D) 74. C 将x=-3，y=7代入y=ax3+bx-5, 得7=-27a-b-5, 于是27a+b=-12当x=3时，y=27a+3b-5=-12-5=-17. 5（2004年第15届“希望杯”数学邀请赛试题）当x1时，代数式

10、2ax33bx8的值为18，这时，代数式9b6a2（）（A）28（B）28（C）32（D）325C 将x1代入代数式，有-2a+3b+8=18,3b-2a=10, 于是9b6a2=3(3b-2a)+2=310+2=32二填空题6（第14届“迎春杯”数学竞赛试题） 当x=m时, 多项式x2+998x999的值等于零, 那么多项多m2+998m+999的值等于 . 6. 1998 当x=m时, 多项式x2+998x-999的值为零,即m2+998m-999=0,m2+998m=999. m2+998m+999=999+999=1998. 7（第16届“迎春杯”数学竞赛试题） 已知当x=1时, 代数

11、式的值为8, 代数式的值为14, 那么当x1时, 代数式的值为 . 7. 20由已知, 得解得 当a=2, b=1, x1时, 8（2003年 第1届 创新杯数学邀请赛试题）某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在出租的头三天每天收0.8元,从第四天起每天收0.4元，那么一张光盘租出了n天应收租金 元.80.8n (1n3) 或 0.4n+1.2 (n3).当n=1,2,3 时，租金为0.8n（元）；当n3时，租金为0.83 + 0.4(n-3) = 0.4n+1.2（元）9（2000年第十五届江苏省初中数学竞赛试题）若（m+n）人完成一项工程需要m天，则n个人完成这项工程需要_天。（假定

12、每个人的工作效率相同）9每人每天完成工程的，n个人每天完成工程的，n个人完成这项工程需要1=天10（第13届“希望杯”邀请赛试题）对于整式给定x的一个数值后，如果李平按四则运算的规则计算该整式的值，需算15次乘法和5次加法小梅同学说：“有另外一种算法，只要适当添加括号，可以做到加法次数不变，而乘法只算5次”，小妹同学的说法是 的（填“对”或“错”）.10对。因为又等式右边的式子只需计算5次乘法和5次加法故小梅同学的说法是对的三解答题11. (第1届莫斯科数学奥林匹克试题)火车通过观察者身边需要t1秒钟，通过l米长的桥需要t2秒钟，火车通过桥梁的时间从车头进入桥梁算起至车尾离开桥梁为止试求火车的

13、长度和速度11. 长度米，速度米秒12（2004年学习报第九届数学公开赛试题）某同学解一道代数题：求代数式当时的值由于将式中某一项前的“+”号错看为“-”号，误得代数式的值为7，那么这位同学看错了几次项前的符号?12. 当时，正确的答案是-10+9-8+7-6+5-4+3-2+1=-5， 比错误的答案小7-（-5）=12，可见看错符号的一项当时的值本应得-6的，错算为6了，所以这一项是6x5,即这位同学看错了5次项前的符号。13（2004年全国初中数学竞赛湖北预赛）如图，正方形表示一张纸片，根据要求需多次分割，把它分割成若干个直角三角形。操作过程如下：第一次分割，将正方形纸片分成4个全等的直角

14、三角形，第二次分割将上次得到的直角三角形中一个再分成4个全等的直角三角形；以后按每二次分割的作法进行下去。（1）请你设计出两种符合题意的分割方案图；（2）设正方形的边长为a，请你就其中一种方案通过操作和观察将第二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积（S）填入下表：分割次数（n）123最小直角三角形的面积（S）（3）在条件（2）下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S与分割次数n有什么关系？用数学表达式表示出来。13.（1）方案1 方案2 （2）。（3）（N1，且n为整数）14（2007年浙江省初中数学竞赛试题）现在a根长度相同的火柴棒，按如图1摆放时可摆成m个正方形，按如图2摆放时可

15、摆成2n个正方形。用含n的代数式表示m；当这a根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时，求a的最小值。14(1)图1中火柴棒的总数是(3m+1)根，图2中火柴棒的总数是(5n+2)根，火柴棒的总数相同，(2)设图3中有3p个正方形，那么火柴棒的总数是（7p+3）根，由题意，得 m、n、p均为正整数， 当m=17，n=l0时，p=7，此时a有最小值317+1=510+2=77+3=52。15. （2002年 广西初中数学竞赛试题） 甲、乙两同学是邻居，在某个季度里他们相约到一家商店去买若干次白糖，两人买糖的方式不同：甲每次总是买1千克白糖，乙每次总是买1元钱白糖而白糖的价格是变动的，试问这两位同学买白糖的方哪一种比较合算？ 先弄清楚什么叫“合算”，单看这个季度里谁买的白糖多或谁花的钱少都不对，应计算各人平均每千克白糖花多少钱（单价），单价低的就合算按下列过