第10讲平面图形的几何性质(Ⅰ_第1页
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文档简介

1、第10讲 教学方案平面图形的几何性质（）基本内容静矩和形心；惯性矩、惯性积和惯性半径。教学目的1、 掌握静矩和形心的概念和计算方法。2、 掌握惯性矩、极惯性矩、惯性半径和惯性积的概念和计算方法。3、 掌握惯性矩和极惯性矩的关系。4、 了解当坐标轴为形心轴或对称轴时静矩或惯性积的特点。5、 熟知某些简单图形的惯性矩、极惯性矩。重点、难点本节重点：描述平面图形几何性质的各种几何量的定义及计算。本节难点：某些平面图形几何性质的计算。附录 平面图形的几何性质-1 静矩和形心静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图-1所示。定义式：， （-1）量纲为长度的三次方。由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相

2、同的坐标和。则由此可得薄板重心的坐标 为同理有 所以形心坐标， （-2）或，由式（-2）得知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即 ， ； ，则 ；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。设第 I 块分图形的面积为 ，形心坐标为 ，则其静矩和形心坐标分别为， （-3）， （-4）例-1 求图-2所示半圆形的 及形心位置解：由对称性， ， 。现取平行于 轴的狭长条作为微面积 所以 读者自己也可用极坐标求解。例-2 确定形心位置，如图-3所示。解：将图形看作由两个

3、矩形和组成，在图示坐标下每个矩形的面积及形心位置分别为矩形：mm2 mm， mm矩形：mm2 mm， mm整个图形形心的坐标为 -2 惯性矩、惯性积和惯性半径惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩，如图-4所示。， （-5）量纲为长度的四次方，恒为正。相应定义， （-6）为图形对 轴和对 轴的惯性半径。组合图形的惯性矩。设 为分图形的惯性矩，则总图形对同一轴惯性矩为， （-7）若以 表示微面积 到坐标原点 的距离,则定义图形对坐标原点 的极惯性矩 （-8）因为所以极惯性矩与（轴）惯性矩有关系 （-9）式（-9）表明，图形对任意两个互相垂直轴的（轴）惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。下式 （-10）定义为图形对一对正交轴 、 轴的惯性积。量纲是长度的四次方。 可能为正，为负或为零。若 y ，z 轴中有一根为对称轴则其惯性积为零。例-3 求如图-5所示圆形截面的 。解：如图所示取dA，根据定义，由于轴对称性，则有 （I-10a） 由公式（-9） （I-10b） 对于空心圆截面，外径为 ，内径为 ，则 （-12a） （I-

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