第10章静电场习题解

1、第10章 静电场习题解10.1 四个点电荷到坐标原点的距离均为d，如题10.1图所示，求点O的电场强度的大小和方向 。 题图10.1 解：由图所示x轴上两点电荷在O点产生场强为 y轴上两点电荷在点O产生场强为 所以，点O处总场强为 大小为,方向与x轴正向成角。10.2 电量为的两个点电荷相距20 cm，求离它们都是20 cm处的电场强度。()解：如图，方向如图。 （a） (b)题图 10.2由， 其中 得 10.3 一细棒被弯成半径为R的半圆形，其上部均匀分布有电荷+Q，下部均匀分布有电荷-Q，如题10.3图示，求圆心点O的电场强度。 题图10.3 解：由图可知，由于正、负电荷在圆环上对称分布

2、，总场强一定沿-y方向。在圆环上取电荷元，在点产生的场强方向如图示。正电荷在点产生场强的分量为由对称性可知，负电荷在点产生场强的分量与正电荷在点产生场强的分量大小相等，方向相同10.4 正方形的边长为a，四个顶点都放有电荷，求如题10.4图所示的4种情况下，其中心处的电场强度。题图10.4 解：在四种情况下，均以中心O为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立坐标系，则有（a）根据对称性，四个顶点处的电荷在中心处产生的场强两两相互抵消。所以 (b) 根据对称性，电荷在中心处产生的场强在x轴上抵消，只有y轴上的分量，所以 (c) 根据对称性，对角线上的电荷在中心处的场强可以相互抵

3、消，所以 (d) 根据对称性，电荷在中心处产生的场强在y轴上抵消，只有x轴上的分量，所以 10.9 有一非均匀电场，其场强为，求通过如题图10.9所示的边长为0.53 m的立方体的电场强度通量。（式中k为一常量）题图10.9 解：由于只有x方向的分量，故电场线只穿过垂直于x轴，且位于x1=0和x2=0.53m处的两个立方体面S1和S2。考虑到这两个面的外法线方向相反，故有 10.10设匀强电场的电场强度与半径为R的半球面的轴平行，求通过此半球面的电场强度通量。题图 10.10解：作半径为R的大圆平面与半球面S一起构成闭合曲面，由于闭合曲面内无电荷，由高斯定理，有所以，通过半球面S的电场强度通量

4、为10.11 两个带有等量异号的无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2 （R1 R2）,单位长度上的带电量为，求离轴线为r处的电场强度：（1）r R1；(2) R1 r R2 。题图 10.11解：(1) 作高为的同轴圆柱面（如题图10.11）为高斯面。由于两带电圆柱面的电场为柱对称，所以，通过此高斯面的电场强度通量为其中第一、第三项积分分别为通过圆柱面上、下底面的电场强度通量。由于垂直于轴线，故在底平面内，第一、第三项的积分均为零。第二项积分为根据高斯定理，有所以 (2) 同理时，有 即 所以 (3) 时，有 所以 由上述结果可知，两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面所形成的电场只存在于两

5、柱面之间。10.12 如题图10.12所示，一半径为R的均匀带电无限长直圆柱体，电荷体密度为+，求带电圆柱体内、外的电场分布。题图 10.12解：此圆柱体的电场分布具有轴对称性，距轴线等距离各点的电场强度值相同，方向均垂直轴，沿径向，因此，可用高斯定理求解。1.圆柱体内的电场强度分布（）设点P为圆柱体内任意一点，它到轴线的距离为，在圆柱体内，以为半径作一与圆柱体同轴，高为的闭合圆柱面为高斯面（如题图10.12）。由于高斯面上、下底面的法线均与面上各点的电场强度方向垂直，故通过上、下底面的电场强度通量为零，侧面上任一点的法线方向，均与该处电场强度方向一致，故通过整个高斯面的电场强度通量为，高斯面

6、内包围的总电荷为，由高斯定理得 2.圆柱体外的场强分布（）设为圆柱体外任一点，类似上面的讨论，以为半径作高斯面（如题图10.12），由高斯定理有由此得10.13 两个均匀带电的金属同心球面，半径分别为0.10 m和0.30 m ,小球面带电1.0108 C,大球面带电1.5108 C 。求离球心为（1）0.05 m；（2）0.20 m；（3）0.50 m处的电场强度。解：由于电荷在球面上对称分布，所以两球面电荷的电场也具有球对称性，场强方向沿径向向外。(1)以球心O为中心，m为半径作一同心球面，并以此为高斯面，其内部电量为零，面上各点的场强大小均相同。由高斯定理有(2)同理以m为半径作高斯面，

7、面内包含小带电球面上的所有电荷C。由高斯定理有(3)同理，可以得到点C处的电场强度大小为 10.16 两平行无限大均匀带电平面上的面电荷密度分别为+s和-2s，求图示中3个区域的场强。题图10.16解：对左极板作水平高斯柱面，且该高斯面相对于左极板对称，高斯面的两底面面积均为S，其上场强的大小相等，方向均与两相同，由高斯定理，并注意高斯面的侧表面无电场强度通量。有，即左极板在空间产生的场强为，其方向为：在该极板左边，方向水平向左；在该极板右边，方向水平向右。同理，对右极板作相似处理，可得，右极板在空间产生的场强为，其方向为：在该极板左边，方向水平向右；在该极板左边，方向水平向左。因此，根据场强

8、迭加原理，可得上图中各个区域中的场强分别为： 10.17 如题图10.17所示，AB两点相距2， 是以B为圆心，为半径的半圆。A点有正电荷，B点有负电荷。求（1）把单位正电荷从O点沿移到D点时电场力对它做的功？（2）把单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远时电场力对它做的功？ 题图10.17解：(1) , (2) 设无穷远处电势为零，则10.19 一均匀带电半圆环，半径为R，带电量为Q，求环心处的电势。解：在带电圆环上取一电荷元dq，根据点电荷的电势公式，其在环心处的电势为然后对整个带电体积分，可得环心处的总电势为10.20 电量均匀分布在长为的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为a的点P的

9、电势（设无穷远处为电势零点）。题解图 10.20解：设坐标原点位于杆中心点O，x轴沿杆的方向，如图所示。细杆的电荷线密度，在x处取电荷元，它在点P产生的电势为整个杆上电荷对点P产生的电势为10.21一段半径为a的细圆弧，对圆心的张角为q0 ，其上均匀分布正电荷q，如题图10.21所示，求圆心O点的电场强度和电势。 (a) (b)题图10.21解：(1) 建立如题图（b）所示坐标系，以圆心O为坐标原点，水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向。根据对称性可知，电荷在点O处产生的场强沿y轴负向，在x轴的场强相互抵消，即。取电荷元dq，其在点O处产生的场强在y轴的分量为对整个带电圆弧积分 (2) 设无穷远处为电势零点，则点O处的电势为10.22 如题图10.22所示，两个同心球面，半径分别为R1和R2，内球面带电-q，外球面带电+Q，求距球心（1）r R1 (2)R1 r 处一点的电势。题图 10.22解法一: 利用场强和电势的积分关系计算。在小球面内、两球面间和大球面外分别以点O为球心做高斯面，应用高斯定理可求得选无穷远处电势为零，由于