第11讲非负数及其应用w

1、第11讲 非负数及其应用还会有什么科学比数学更高贵、更杰出、更有用呢？ 富兰克林知识方法扫描所谓非负数，是指零和正实数常见的非负数有绝对值和平方式。非负数有如下的性质：(1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数(2)有限个非负数的和仍为非负数，即若a1，a2，an为非负数，则a1a2an0(3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，an为非负数，且a1a2an=0，则必有a1a2an0在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用得较多(4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数(5)最小非负数为零，没有最大的非负数 htt

2、p:/应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决。其中，配方是一种重要的恒等变形技巧。经典例题解析例1 （1993年郑州市初中数学团体赛题）已知x2+3|y-1|=x-, 求代数式4x2-3y+1之值。解 将已知等式变形得：3|y-1|=x-=-因为-0，即|y-1|0，根据绝对值的意义|y-1|0 由、得，y-1=0，y=1。此时，x=,4x2-3y+1=4-311+1=-1评注 1实数的偶次方和实数的绝对值是常见的非负数2配完全平方是一种极为重要的恒等变形的技巧;由此得

3、到的完全平方数是非负数，从而可用非负数的性质来解题。3若a0, 又a0, 那么a=0. 这种方法通常称为夹逼法。这样由不等关系可以得到等量关系。例2（1994年浙江省初中数学竞赛试题）已知a，b，c为整数，且a2 + b2 + c2 + 484a + 6b + 12c，求 的值。解 由 a2 + b2 + c2 + 484a + 6b + 12c，可得 (a-2)2+(b-3)2+(c-6)21,显然(a-2)2+(b-3)2+(c-6)20，又由a，b，c为整数，得(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2为整数，于是(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2=0。所以 a=2, b=3,c=6

4、.= =1 .例3（1986年北京市中学生数学竞赛初二年级试题）已知a，b，c为实数，设，。证明：A，B，C中至少有一个值大于零证明 由题设有A+B+C=（）+（）+（）=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+-3=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(-3)因为(a-1)20，(b-1)20，(c-1)20，-30，所以A+B+C0若A0，B0，C0，则A+B+C0与A+B+C0不符，所以A，B，C中至少有一个大于零例4(2002年全国初中数学联赛试题) 求实数x,y, 使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2 达到最小值解 原式 = 5x2+6xy

5、+3y2-30x-20y+46 = 5x2+(6y-30)x +3y2-20y+46=5(x+y-3)2+5(y-3)2+3y2-20y+46=5(x+y-3)2+y2-2y+1=5(x+y-3)2+(y-)2+当 x+y-3=0，y-时，即x=,y=时有最小值。例5（2004年第二届创新杯数学邀请赛试题）已知是不等于零的实数，且满足：求证： .证明 由已知条件变形得：1 (1)22222 (2)1 (3)(1)(2)(3)得：()2()2()20，故有0，所以, , , 。例6(2006年第一届“南方杯”数学邀请赛试题)求所有的有理数x,y,z，使得5x2+2y2+2z2+2xy+2yz-4

6、xz-6y-4z+6=0解：由已知等式可化为 (4x2-4xz+z2)+(4x-2z)+1+(x2+2xy+y2)-(4x+4y)+1+(y2+2yz+z2)+(2y+2z)+1=0(2x-z)2+2(2x-z)+1+(x+y)2-4(x+y)+4+(y+z)2-2(y+z)+1=0 (2x-y+1)2+(x+y-2)2+(y+z-1)2=0所以 解得例71（1992年北京中学生数学竞赛初中试题）设x, y, a都是实数，并且|x|=1-a, |y|= (1-a) (a-1-a2).试求|x|+y+a3+1的值等于多少？解 |x|=1-a0，a20, (1-a)20|y|= (1-a) (a-

7、1-a2) =- (1-a)2- (1-a)a2= -(1-a)2+ (1-a)a20又由绝对值的意义得：|y|0既要满足又要满足，只有y=0，即：1-a) (a-1-a2)=0a-1-a2=-(a-)2+0，1-a=0, a=1.故：|x|+y+a3+1=1-1+0+13+1=2.例8 (2004年第9届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛试题)已知 ，,，和a1+a2+a3+a4+a5+ a6+a7+a8+a9+a10=100，求a1，a2，a3，a4，a5， a6，a7，a8，a9，a10的值。解 将已知的10个式子整理得，再将上述10个式子的左边相加，其和为0。因为这10个式子的左边都是非负数

8、，所以这10个式子的左边都等于0。即于是所以a1-a2=2(a2-a3)=22 (a3-a4)=29(a10-a1)=210(a1-a2),于是(210-1)(a1-a2)=0, a1=a2同理可证： a1=a2=a3=a4=a10。 所以a1=a2=a3=a10=10.同步训练一 选择题1 （2007年“创新杯”数学邀请赛初一试题）已知a,b,c都是负数，并且|x-a|+|y-b|+|z-b|=0，则xyz是（ ）（A）负数 （B）非负数 （C） 正数 （D） 非正数2（第六届“希望杯”数学邀请赛初二试题）已知实数a、b满足条件a2+b2+a2b2=4ab-1, 则（A）（B）（C）或（D）

9、3(2004年全国数学竞赛天津地区初赛试题)已知m2+n2+mn+m-n+1=0, 则的值等于( )(A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 24（1999年“五羊杯”初中数学竞赛题）a，b，c，d都是正数，则在以下命题中，错误的是（ ）（A）若a2+b2+c2=ab+bc+ca, 则a=b=c （B）若a3+b3+c3=3abc, 则a=b=c（C）若a4+b4+c4+d4=2 (a2+b2+c2+d2) 则a=b=c=d（D）若a4+b4+c4+d4=4abcd, 则a=b=c=d5（1994年河南初中数学竞赛题）已知a、b、c是实数，x=a2-b, y=b2-c, z=c2-a+1.

10、则下列说法正确的是（A）x，y，z三个数中至少有一个是零（B）x，y，z三个数中至少有一个是正数（C）x，y，z三个数中至少有一个是负数（D）x，y，z三个数中必为两正一负，或者必为两负一正二 填空题6（第15届“迎春杯”数学竞赛试题） 已知, 那么, 代数式的值为 . 7（2000年“我爱数学”夏令营数学竞赛试题）满足方程11x2+2xy+9y2+8x-12y+6=0的实数解（x, y）的个数等于 8（2000年天津市初中数学竞赛试题）已知a, b 满足a3-3a5+5a=1, b3-3b2+5b=5, 则a+b= . 9（2000年全国初中数学联赛试题）实数x、y满足xy1和2x2-xy-

11、5x+y+4=0, 则x+y= .10（2007年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题）已知实数a,b,c满足a-b+c=7, ab+bc+b+c2=16, 则的值等于 .三 解答题11（第14届江苏省初中数学竞赛试题）如果三个非负数a,b,c满足3a+2b+c=5和2a+b-3c=1，若m=3a+b-7c,求m的最大值和最小值。12（重庆市初中数学竞赛题）设z，y，z为实数，且求的值。13设a,b,c都是正实数，p,q,r都是实数。p,q,r满足何种关系时，等式 (a+b+c)(ap2+bq2+cr2) = (ap+bq+cr)2成立？14(四川省初中数学联赛试题)解关于实数x、y、z的方程：(

12、8zx227y29yz2)2(3y2yz2z28x)296xx215（1994年山东荷泽市初中数学竞赛试题）已知为实数，且。求证：同步训练题参考答案1D2Ba2+b2+a2b2=4ab-1, a2-2ab+b2+ (ab)2-2ab+1=0, 即 (a-b)2+ (ab-1)2=0, a=b, ab=1，故有(ab)2-2ab+1=0, 即 (a-b)2+ (ab-1)2=0, a=b, ab=1，故有a2=1, a=1. 。3B由已知得2m2+2n2+2mn+2m-2n+2=0, 即(m+n)2+(m+1)2+(n-1)2=0, m=-1,n=1.于是=0.4C对于命题（A），由已知等式得：

13、a (a-b)2+ (a-c)2+(b-c)2+ (b-c)2=0 a=b=c, 故（A）为真。 对于命题（B），a3+b3+c3-3abc= (a+b+c) (a2+b2+c2-ab-ab-bc) 由题设条件a3+b3+c3=3abc, 故有a2+b2+c2-ab-ac-bc=0, a=b=c，故（B）为真。 对于命题（D），由已知等式得：a4-2a2b2+b4+c4-ac2d2+d4+2 (a2b2-2abcd+c2d2), 即 (a2-b2)2+ (c2-d2)2+2 (ab-cd)2=0a=b=c=d.对于命题（C），由已知等式得：a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4=0，故

14、有(a2-b2) 2 (c2-d2)2=0，a=b, c=d.原结论为a=b=c=d，所以，C为错误的命题5Bx+y+z=a2-a+b2-b+c2-c+1= (a-)2+ (b-)2+ (c-)2+0，x、y、z中至少有一个是正数。671因为11x2+ (2y+8)x+9y2-12y+6=0,所以11(x+)2+(9y2-12y+6)-.即11(x+)2+=0从而, 解得 (x, y) = (-)82由a3-3a2+5a-1=0, 得 (a-1)3 +2 (a-1)+2=0. 由b3-3b2+5b-5=0, 得 (b-1)3+2 (b-1)-2=0 +, 得 (a-1)3+ (b-1)3+2

15、(a+b-2)=0而 (a-1)3+ (b-1)3+ 2(a+b-2) = (a+b-2) (a-1-)2+2+2=0.所以a+b-2=0，即a+b=2.94 由题设等式，知2x2-5x+4=y (x-1) x (x-1).从而x2-4x+40, 即（x-2）20, 所以x=2.代入已知等式，得y=2, 所以x+y=4.故应填4.10由a-b+c=7, 得a =7+b-c，代入ab+bc+b+c2=16, 得(7+b-c) b+bc+b+c2=16整理，得 (b+4)2+c2=0, 于是b=-4,c=0,从而a =7+b-c=7+（-4）-0=3所以 =11. 由已知条件可得 a=7c-30, b=7-11c0, c0. 于是。m=3a+b-7c=3c-2, 当c=时，m有最大值；当c=时，m有最小值.12 即将已知等式化简成故原式的值为113. 将(a+b+c)(ap2+bq2+cr2) = (ap+bq+cr)2两边展开，消去相同的项，得： abp2+acp2+abq2+bcq2+acr2+bcr2 = 2abpq+2acpr+2bcqr即 ab(p-q) 2 +bc(q-r) 2 +ca(r-p) 2 =0.因a,b,c都是正实数，p,q,r都是实数，所以ab(p-q) 2 =bc(q-r) 2 =ca(r-p) 2 =0从而p-q= q-r= r-