第17讲多边形的概念及内角和w

1、第17讲 多边形的概念知识方法扫描在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。如果延长多边形的任一条边，整个多边形都在这条延长边的一侧，那么这样的多边形就叫做凸多边形。下面所说的多边形一般指凸多边形。n边形的内角和是（n-2）180，任意多边形的外角和等于360。 n边形的两个不相邻的顶点的连线叫做n边形的对角线，n边形有n(n-3)条对角线.经典例题解析 例1（1986年北京市初中数学竞赛试题）长为4的线段分成4小线段，以这四小线段为边可以作成一个四边形，则其中每一小段必须满足的条件是（A）不大于1

2、 （B） 大于或小于1 （C） 小于2 （D）大于且小于1解 设x为四小线段中的任意一段，则为4-x其余三段之和，由于两点之间，线段最短，有4-xx，解得：x2, 故应选C例2 （第13届“五羊杯”初中数学邀请赛试题）一个多边形一共有14条对角线，则它的内角和为_.解 一个n边形，从一个顶点出发，有(n-3)条对角线，共有n(n-3)条对角线(因为每条对角线被计算了两次)，于是有n(n-3)=14，从而n(n-3)=28，因为 74=28， 故n=7. 所以，这个三角形的内角和为 (7-2)180=900.例3 （2001年山东省初中数学竞赛试题）在凸n边形中，小于108的角最多可以有（ ）

3、(A) 3个 (B) 4个 (C ) 5个 (D) 6个解：设凸n边形中，小于108的角有x个。当多边形的一个内角小于108时，它的外角大于72，而任意多边形的外角和等于360， 故有72x360,解得 x5,故小于108的角最多可以有4个。故选B。评注 利用多边形外角和为360的结论来解题，是处理与多边形有关的问题的常用的思路和方法。例4 （杭州市第三届“求是杯”初二学生数学竞赛试题）一凸n边形最小的内角为95,其它内角的度数依次增加10,则n= .解 这个凸n边形的内角由小到大依次为95, 105,115,125，于是它的外角由大到小依次为85, 75,65,55,45,35.而这六个外角

4、之和 85+75+65+55+45+35=360.所以n=6.例5（2004年浙江富阳市初一数学竞赛试题）如图，已知ABED，C，ABCDEF，D，F，求E的大小。解：延长DC、AB交于GEDAB，DG又BCD，BCDGCBGCBGABC即E例6 (1991年南京市初中二年级数学竞赛试题)如图, A+B+C+D+E+F+G = ( ). (A) 100 (B) 120 (C) 150 (D) 180解 连接AC，FE。则有G+D=CAD+GCA，EFC+AEF = EAC+ACF =（EAD+CAD）+（GCF+GCA）=（EAD+GCF）+（CAD +GCA）=（EAD+GCF）+（G+D

5、）。A+B+C+D+E+F+G =（EAD+GCF）+（G+D）+B+（AEB+CFB）= （EFC+AEF）+B+（AEB+CFB）= （EFC+CFB）+（AEB+AEF）+B= EFB+FEB+B= 180 故选（D）例7 （2002年第13届“希望杯”数学邀请赛试题）如图，在四边形ABCD中，E,F分别是两组对边延长线的交点，EG,FG分别平分BEC,DFC，若ADC=60,ABC=80，则EGF的的大小是（ ）(A) 140 (B) 130 (C) 120 (D) 110因为是的外角，所以同理又所以设EB与FG相交于N，则在ENG中，又所以即。故选（D）。于是例8（1996年第7届“

6、希望杯”数学邀请赛培训题）有一个凸11边形，它是由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠，无间隙拼成的。求此凸11边形的各内角的大小，并画出一个这样的凸11边形的草图。思路 设凸十一边形的内角中有60,90,120,150的个数分别为x, y, z, s. 列出它们满足的关系式，并求出x, y, z, s的值。解 设此凸十一边形的各个内角中有 x个60,y个90,z个120,s个150，依题意有由(1)得s=11-x-y-z 代入(2)化简得 3x+2y+z=1因为x,y,z均为非负整数，所以x=y=0,z=1故s=10.则这个凸十一边形有一个角是120,有十个内角都是150. 草

7、图如下： 原版赛题传真同步训练一 选择题1( 1993年武汉市初二数学竞赛试题)一个凸n边形的n个内角中，锐角的个数最多有（ ）。(A) 3个 (B) 4个 (C) 5个 (D) 不能确定1A如果多边形有4个锐角，则它们的外角都是钝角，其和大于360，与多边形外角和为360矛盾。2（2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题）如下图所示，A+B+C+D+E+F+G=（ ）. (A)360 (B) 450 (C) 540 (D) 7202. C如图所示，B+BMN+E+G=360，FNM+F+A+C=360，而BMN +FNM =D180,故A+B+C+D+E+F+G=540.3 （19

8、91年第一届长江杯数学通讯赛试题）凸八边形的内角中, 钝角个数为 m, 锐角个数为 n, 则 ( ).(A) mn (C) m=n (D) mn, mn. 4(全英中级数学竞赛IMC试题)如图所示，若干全等正五边形排成环状，图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需要多少个五边形？（A） 6 （B）7 （C）8 （D）9 (E) 104B 正五边形的内角是108，因此由五边形内角所构成的正多边形的内角是 360-2108=144。这个正多边形的外角是180- 144= 36，因此它有36036= 10 条边。故还需要7个五边形。5（2008年武汉市初中数学竞赛试题）如图，将六边形ABCDEF

9、沿直线GH折叠，使点A,B落在六边形CDEFGH的内部，则下列结论一定正确的是( )（A）1+2=900-2(C+D+E+F)（B）1+2=1080-2(C+D+E+F)（C）1+2=720-(C+D+E+F)（D）1+2=360-(C+D+E+F)5. B设FA的延长线与CB的延长线相交于P,GA的延长线与HB的延长线相交于P,由对称性知，1=2APP,2=2BPP,1+2=2APB又APB=540-(C+D+E+F)1+2=1080-2(C+D+E+F)二 填空题6（2005年天津市初中数学竞赛试题）如果一个凸n边形恰有4个内角是钝角，那么这个多边形的边数n最多为 67因为凸行边形恰有4个

10、内角是钝角，所以这4个内角之和大于360，且小于720而另外的n-4个内角是直角或锐角，则这n-4个内角之和不大于（n-4）90，且大于O，于是有不等式解得 4n8。 故边数n最多为77（1999年江苏省第14届初中数学竞赛试题）一束光线经三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中，的字母表示相应的度数，若c=60（度），则d+e的值为 （度），x的值为 （度）7220，20从已知条件可得: c=60, 2a+d=180,2b+e=180, a+b=70, 2f+x=180, c+d+e+f=360,d+e=220, f=80,x=20.8（2008年第6届创新杯全国数学邀请赛7年级试题）如图，

11、A+B+C+D+E+F=n90, 则n= 84连接EF易知A+D=DFE+AEF， A+B+C+D+E+F等于四边形BCEF的内角和，为360, 所以n=4。9（1988 年天津市第二届中华少年杯初二数学邀请赛试题）一个凸 n边形的 n个内角与某一个外角的总和为1988，则 n=_.9. 13.设这个外角为x度，180(n-2)+x=1988, x= 2348 180n, 注意到 0x180, 于是 0 2348 180n, 180, 解得 因n为整数，故 n=13。10（1991年南京市初中二年级数学竞赛试题）若凸 4n+2 边形 A1A2.A4n+2 ( n 为 自然数 )的每个锐角都是

12、30的整数倍, 且 A1 = A2 = A3 = 90, 则 n 所有可能的值是 _.101除了3个直角外，其余4n-1个角每个最大为150,最小为30，它们的外角和 390+(4n-1)300与390+(4n-1)15之间，所以390+(4n-1)30360390+(4n-1)150解得 0.4n1, 但n是整数, 所以n=1三 解答题11（1994年北京市初二数学竞赛试题）如图，A1=A2=A3=A4=A5=135,A6=A8=90,如果我们称大于180的角为“优角”，试确定优角A7的度数.11设A7=x度， 5135+290+x=(8-2)180, x=225. 即A7=225。12（1

13、997-1998学年度天津市初二数学竞赛预赛试题）如图，ABCD是凸四边形，AB=2,BC=4,CD=7, 求线段AD的取值范围。12 设AD=x, 则有7-(4+2)x7+4+2, 解得1x13。13（1988 年天津市第2届“中华少年杯”初二数学竞赛试题）对角互补的四边形ABCD中, 两组对延长后分别交于P,Q两点,P,Q的平分线交于M,求证:PMQM.13设=x, 则=(180-x),因为是的外角，所以同理又, 所以设QB与PM相交于N，则在QNM中，又所以即。于是故PMQM.。14（1999年北京市初二数学竞赛试题）如图，已知CDAF，CDEBAF，ABBC， C124，E80，求F的

14、大小。14如图，延长CD与FE的延长线交于H，延长CB与FA的延长线交于G， ， 由已知， ， 。15（1998年日本第7届算数奥林匹克试题）把一个多边形沿着几条直线剪开，分割成若干个多边形。分割后的多边形的边数总和比原多边形的边数多13条，内角和是原多边形内角和的1.3倍。请问：原来的多边形是几边形？把原来的多边形分割成了多少个多边形？15把多边形沿直线剪开，每增加一个多边形，边数的增加会出现以下三种情况：当直线经过两个顶点时，增加两条边；当直线经过一个顶点时，增加三条边；当直线不经过顶点时，增加四条边。于是，当将原多边形分割成4个小多边形，最多可以增加43=12条边，当将原多边形分割成8个小