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文档简介

1、授课时间第 周 星期 第 节课次18授课方式（请打）理论课 讨论课 实验课 习题课 其他课时安排2授课题目（教学章、节或主题）：第十八讲 化二次型为标准形、规范形，惯性定理教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：了解化二次型为标准形的方法，即：配方法、正交变换法；掌握实二次型的规范形；掌握惯性定理。教学重点及难点：重点： 正交变换法，惯性定理难点： 正交变换的性质教 学 基 本 内 容备注一、配方法（配成完全平方式的方法）1 用配方法化二次型为标准形，并求变换矩阵。解： 令，令，为可逆变换阵。2 化成标准形，并求变换矩阵。解： 令， 又令 ，这时有。先和，再和，依次下去，仅平方项，可二、

2、正交变换法若可逆变换中，是正交阵，称是一个正交变换。正交变换可以保持内积、长度及夹角不变，即定理 正交变换保持向量的内积、长度及向量之间的夹角均不变。证: 若是正交变换，取，则，故内积不变，于是长度及夹角余弦均不变，因此正交变换保持图形的几何性质不变，这正式诸多实际问题采用正交变换化实二次型为标准形的原因。定理 对于任意实二次型总存在正交变换，使得，其中是的全部特征值，的列向量分别为对应于的特征向量。方法：（1）求各特征值；（2）取线性无关的特征向量组； （3）构造正交矩阵。3用正交变换化二次型成标准形.解: , 对时,取 对时,取 令,则正交变换把二次型化为标准形.与例2相比较,稍有异同.4

3、在直角坐标系下,曲面方程为,试确定曲面的类型.解: 由上例,有,知该曲面是单叶旋转双曲面.三、惯性定理及二次型的规范形由上面的例子可见,虽然二次型标准形不唯一,但非零项的项数、正、负项的项数均是不变的,这就是实二次型的惯性定理.定理 设n元实二次型,经两个实可逆线性变换及,化为标准形, 则中正数个数与中正数个数相等,负数个数及零的个数也相等.其中正数个数,称为正惯性指数; 负数个数,称为负惯性指数;正、负惯性指数是唯一确定的,是实二次型的秩.实二次型经可逆线性变换可化为标准形:(其中)再作可逆线性变换,则实二次型可化为,称之为二次型的规范形,它仅含平方项,且系数为或0.易知,实n元二次型的规范形是唯一确定的.综上所述,可得:定理 任一n阶实对称矩阵,必合同于对角阵此阵称为实对称阵的合同规范形.定理 任意两个n阶实对称阵合同的充要条件是他们的秩相等且正惯性指数也相等,即它们有相同的规范形.注:实对称阵是否合同与讨论范围有关,前面均在实数范围内讨论.如:与在实数范围内不合同(惯性指数不同).但在负数范围

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