第18讲任意角的三角函数

1、三角函数【整体感知】：三角函数是高中数学中比较重要的一种函数，充分体现了函数的数形结合的思想运用。经常渗透知识点间的交汇。三角函数是高考必考内容和考试热点，三角函数的概念、公式、性质试题多以选择题出现。一般地，三角函数与向量，解三角形的综合试题，成为了高考中的一个重点题型。【热点点击】：三角函数的同角公式和三角函数的性质是高考考查的热点,同时三角函数图像的变换也是我们必须要熟练掌握的。【本章考点】:三角函数的有关概念、三角函数的图像、三角函的性质、诱导公式和同角公式、是本章考点.【高考命题趋势】：1.考查三角函数的同角公式的运用，多数以选择题形式出现；2考查三角函数的图像与性质的综合运用，多数

2、有选择题，填空题以及大题来考查；3.考查三角函数的图像的变换，多数以选择题形式出现；4.考查三角函数性质及其应用的题目可能以各种形式出现.考查三角函数的问题选择题或填空题多是中档题，解答题数中档题目.对三角函数的考查形式有稳重求变、求活，以“能力立意”的命题趋势.【高考复习建议】：1.三角函数渗透着函数基本思想，因此掌握常见的正弦函数、余弦函数、正切函数图像以及性质，使我们学习的重点；2。同时我们要把三角函数与向量的综合试题，以及三角函数与解三角形的综合试题要熟练，体会它们间的关系，尤其是数形结合思想使我们学习三角函数最常用和重要的方法之一。.第 18讲 任意角的三角函数【考点解读】1. 角的

3、概念的推广和象限角的概念以及终边相同的角的集合的表示；2. 弧度制与角度制的换算公式；3. 掌握任意角的三角函数定义及三角函数的符号与角所在象限的关系；4. 认识三角函数线。【知识扫描】一、角的概念的推广1与角终边相同的角的集合为 2与角终边互为反向延长线的角的集合为 3轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x轴上的角的集合为 ，终边在y轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 4象限角是指： 5区间角是指： 6弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系7弧度与角度互化：180 弧度，1 弧度，1弧度 8弧长公式：

4、；扇形面积公式：S .二、任意角的三角函数9定义：设P(x, y)是角终边上任意一点，且 |PO| r，则sin ； cos ；tan ；+cosx, sinx, tanx, xyOxyOxyO10三角函数的符号与角所在象限的关系：12、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域：解析式ysinxycosxytanx定义域值 域13三角函数线：在图中作出角的正弦线、余弦线、正切线xyO 【考计点拨】牛刀小试1(2008年高考全国卷)若sin0，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：选C.2若tan2，则的值为()A0 B.C1 D.解析：选B .3记,那么A. B.

5、- C. D. -【答案】B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析】,所以4若函数f(x)则f()的值为_解析：由已知得：f()f()1f()2cos2.答案：5若f(cosx)cos2x，则f(sin15)的值为_解析：f(sin15)f(cos75)cos150cos30.答案：典例分析考点一：判断象限角例1. 若是第二象限的角，试分别确定2, ,的终边所在位置.解： 是第二象限的角，k360+90k360+180（kZ）.（1）2k360+18022k360+360（kZ），2是第三或第四象限的角，或角的终边在y

6、轴的非正半轴上.（2）k180+45 k180+90（kZ），当k=2n（nZ）时，n360+45n360+90；当k=2n+1（nZ）时，n360+225n360+270.是第一或第三象限的角.（3）k120+30k120+60（kZ），当k=3n（nZ）时，n360+30n360+60；当k=3n+1（nZ）时，n360+150n360+180；当k=3n+2（nZ）时，n360+270n360+300.是第一或第二或第四象限的角.变式训练：已知是第三象限角，问是哪个象限的角？解： 是第三象限角，180+k360270+k360（kZ），60+k12090+k120.当k=3m(mZ)时，

7、可得60+m36090+m360（mZ）.故的终边在第一象限.当k=3m+1 (mZ)时，可得180+m360210+m360（mZ).故的终边在第三象限.当k=3m+2 （mZ）时，可得300+m360330+m360（mZ）.故的终边在第四象限.综上可知，是第一、第三或第四象限的角. 规律小结：首先根据象限角，写出角的范围，再视情况得出相应的不等式。考点二：根据三角函数值，求角例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:(1)sin; (2)cos.解：（1）作直线y=交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角的终边的范围，故满足条件的角

8、的集合为|2k+2k+，kZ .（2）作直线x=交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为 .变式训练：求下列函数的定义域：（1）y=；（2）y=lg(3-4sin2x）.解：（1）2cosx-10，cosx.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).x（kZ）.（2）3-4sin2x0,sin2x,-sinx.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影),x（k-,k+）（kZ).规律小结：根据三角函数值求角，可借肋三角函数图象或三角函数线，并注意角的范围，此题型常见于求定义域，是常考题型，必须熟练

9、掌握。考点三：化简与求值例3. 已知f()=;（1）化简f();（2）若是第三象限角，且cos，求f()的值.解 ：（1）f（）=-cos. （2）cos=-sin,sin=-,cos=-,f()=.变式训练：已知角的终边经过点P，试判断角所在的象限，并求的值解：由题意，得 故角是第二或第三象限角当，点P的坐标为，当，点P的坐标为，例4求值：(1) 已知，求的值2) 已知，求下列各式的值；解：（1）；（2）变式训练：化简： ， 解：原式sin 原式0例5. 已知，sin xcos x（1）求sin xcos x的值（2）求的值解：( 1 ) ，( 2 ) 变式训练：已知sin +cos=,(0,).求值：（1）tan;（2）sin-cos;（3）sin3+cos3.解 方法一 sin+cos=,(0,),(sin+cos)2=1+2sincos，sincos=-0.由根与系数的关系知，sin,cos是方程x2-x-=0的两根，解方程得x1=,x2=-.sin0,cos0,sin=,cos =-.（1）tan=-.（2）sin-cos=.（3）sin3+cos3=.方法二 （1）同方法一.（2）（sin-cos）2=1-2sincos=1-2=.sin0,cos0,sin-cos0,