第1讲-无穷积分

1、第1讲 无穷限反常积分敛散性及审敛法则授课题目无穷限反常积分敛散性及审敛法则教学内容1. 无穷限反常积分的定义与计算方法；2. 无穷限反常积分的性质；3. 无穷限反常积分的比较审敛法则； 4. 条件收敛与绝对收敛.教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能较好掌握无穷限反常积分的概念及计算方法，了解无穷限反常积分的性质，掌握无穷限反常积分的比较审敛法则，会用柯西判别法判别无穷积分的敛散性 教学重点及难点教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则；教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则.教学方法及教材处理提示(1)讲清无穷限反常积分是变限积分的极限，讲清反常积分与定积分的区别和联系

2、，通过具体例题讲授使学生熟练掌握无穷限反常积分的计算方法，使学生充分认识到“无穷限反常积分=定积分+函数极限”(2)重点是讲授无穷积分的比较判别法则（含比较比较判别法则的极限形式即柯西判别法判别法则），要求学生都能熟练掌握并灵活应用，也为今后讲授级数的比较判别法则作准备.(3)举例说明：当 收敛时，不一定有 ，由此使学生对柯西准则有进一步的理解(4) 关于狄利克雷判别法与阿贝尔判别法的内容安排在习题课上讲授.(5)第一节讲授无穷限反常积分的概念及性质，第二节讲授无穷限反常积分的审敛法则.作业布置作业内容：教材 :1（1,4,5）； :4（2,3,4），7.讲授内容 在讨论定积分时有两个最基本的

3、限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性但在很多实际问题中往往需要突破这些限制，考虑无穷区间上的“积分”，或是无界函数的“积分”，这便是本章的主题一、无穷限反常积分的定义 定义1 设函数定义在无穷区间)上，且在任何有限区间上可积如果存在极限 则称此极限为函数在)上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作，并称收敛如果极限不存在，亦称发散类似地，可定义在(上的无穷积分：对于在()上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：其中为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的 注： 收敛的几何意义是：若在上为非负连续函数，则介于曲线，直线以及轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积例1讨论无穷

4、积分，的收敛性 例2 讨论下列无穷积分的收敛性：， 解：1）因为， 因此无穷积分当1时收敛，其值为；而当时发散于2）令，就有 从例1）知道，该无穷积分当时收敛，当时发散二、无穷积分的性质由定义知道，无穷积分收敛与否，取决于积分上限函数在时是否存在极限因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则 定理11.1 无穷积分收敛的充要条件是：任给0，存在G，只要，便有 此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质性质1 若与都收敛，,为任意常数，则也收敛，且 性质2 若在任何有限区间)上可积，且有收敛，则亦必收敛，并有 证： 由收敛，根据柯西准则(必要性)，任给，存在

5、G，当时，总有 . 利用定积分的绝对值不等式，又有 .再由柯西准则(充分性)，证得收敛 又因，令 取极限，立刻得到不等式.当收敛时，称为绝对收敛性质3指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛但是它的逆命题不成立，称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛性质3 若在任何有限区间上可积，则与同敛态(即同时收敛或同时发散)，且有=+, 性质2相当于定积分的积分区间可加性，由它又可导出收敛的另一充要条件：任给，存在，当G时，总有事实上，这可由 结合无穷积分的收敛定义而得三、比较判别法 首先给出无穷积分的绝对收敛判别法由于关于上限是单调递增的，因此收敛的充要条件是存在上界根据这一分析，便立即导出下述比较

6、判别法： 定理11.2 (比较法则) 设定义在)上的两个函数和都在任何有限区间上可积，且满足 则当收敛时必收敛(或当发散时，必发散) 例3 讨论的收敛性解：由于，而为收敛，故为绝对收敛 当选用作为比较对象时，比较判别法有如下两个推论(称为柯西判别法) 推论1 设定义于 ()，且在任何有限区间上可积，则有： (i)当 ,且时, 收敛; (ii)当且时, 发散.推论2 设定义于)，在任何有限区间上可积，且则有：(i)当 时, 收敛;(ii)当 时, 发散.推论3 若和都在任何)上可积，且则有 (i)当时，由收敛可推知也收敛；(ii)当时，由发散可推知也发散.例4 讨论下列无穷限积分的收敛性： 1)

7、 2) 解：本例中两个被积函数都是非负的，故收敛与绝对收敛是同一回事.1)由于对任何实数都有，因此根据上述推论2，推知1)对任何实数都是收敛的.2) 由于 因此根据上述推论2推知2)时发散的.四、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法定理11.3 (狄利克雷判别法) 若在)上有界，在上当时单调趋于，则无穷积分收敛 定理11.4 (阿贝尔(Abel)判别法) 若收敛，在)上单调有界，则无穷积分收敛 用积分第二中值定理来证明狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 例5 讨论与的收敛性 解：这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论下面分两种情形来讨论： (i)当1时绝对收敛这是因为 而当1时收敛，故由比较法则推知收敛.(ii)当时条件收敛这是因为对任意1，有，而当时单调趋于，故由狄利克雷判别法推知工当时总是收敛的 另一方面，由于，其中是收敛的，而是发散的，因此当时该无穷积分不是绝对收敛的所以它是条件收敛的 例6