第1讲函数概念单调性与最值

1、第1讲函数及其表示【2014年高考会这样考】1主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法2考查分段函数的简单应用3由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查【复习指导】正确理解函数的概念是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，应通过适量练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误本讲复习还应掌握：(1)求函数的定义域的方法；(2)求函数解析式的基本方法；(3)分段函数及其应用基础梳理1函数的基本概念(1)函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作：yf(

2、x)，xA.(2)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合f(x)|xA叫值域值域是集合B的子集(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据2函数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法3映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射 一个方法求复合函数y

3、f(t)，tq(x)的定义域的方法：若yf(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得aq(x)b即可求出yf(q(x)的定义域；若yf(g(x)的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域两个防范(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域(2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性 三个要素函数的三要素是：定义域、值域和对应关系值域是由函数的定义域和对应关系所确定的两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等函数是特殊的映射，映射f：AB的三要素是两个集合A、B和对应关系f.双基自测1(人教A版教材习题改编)函数f(x)log2(3x1)的值域为()A(0，) B

4、0，)C(1，) D1，)解析3x11，f(x)log2(3x1)log210.答案A2(2011江西)若f(x)，则f(x)的定义域为()A. B.C. D(0，)解析由log(2x1)0，即02x11，解得x0.答案A3下列各对函数中，表示同一函数的是()Af(x)lg x2，g(x)2lg xBf(x)lg，g(x)lg(x1)lg(x1)Cf(u) ，g(v) Df(x)()2，g(x)答案C4(2010陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数yx(x表示不

5、大于x的最大整数)可以表示为()Ay ByCy Dy解析根据规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，即余数分别为7、8、9时可增选一名代表因此利用取整函数可表示为y.故选B.答案B5函数yf(x)的图象如图所示那么，f(x)的定义域是_；值域是_；其中只与x的一个值对应的y值的范围是_解析任作直线xa，当a不在函数yf(x)定义域内时，直线xa与函数yf(x)图象没有交点；当a在函数yf(x)定义域内时，直线xa与函数yf(x)的图象有且只有一个交点任作直线yb，当直线yb与函数yf(x)的图象有交点，则b在函数yf(x)的值域内；当直线yb与函数yf(x

6、)的图象没有交点，则b不在函数yf(x)的值域内答案3,02,31,51,2)(4,5考向一求函数的定义域【例1】求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)f(x).审题视点 理解各代数式有意义的前提，列不等式解得解(1)要使函数f(x)有意义，必须且只须解不等式组得x3，因此函数f(x)的定义域为3，)(2)要使函数有意义，必须且只须即解得：1x1.因此f(x)的定义域为(1,1) 求函数定义域的主要依据是(1)分式的分母不能为零；(2)偶次方根的被开方式其值非负；(3)对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.【训练1】 (2012天津耀华中学月考)(1)已知f(x)的定义域为，求函数yf

7、的定义域；(2)已知函数f(32x)的定义域为1,2，求f(x)的定义域解(1)令x2xt，知f(t)的定义域为，x2x，整理得所求函数的定义域为.(2)用换元思想，令32xt，f(t)的定义域即为f(x)的定义域，t32x(x1,2)，1t5，故f(x)的定义域为1,5考向二求函数的解析式【例2】(1)已知flg x，求f(x)；(2)定义在(1,1)内的函数f(x)满足2f(x)f(x)lg(x1)，求函数f(x)的解析式审题视点 (1)用代换法求解；(2)构造方程组求解解(1)令t1，则x，f(t)lg ，即f(x)lg .(2)x(1,1)时，有2f(x)f(x)lg(x1)以x代x得

8、，2f(x)f(x)lg(x1)由消去f(x)得f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1,1) 求函数解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)解函数方程等【训练2】 (1)已知f(x)是二次函数，若f(0)0，且f(x1)f(x)x1，试求f(x)的表达式(2)已知f(x)2f()2x1，求f(x)解(1)由题意可设f(x)ax2bx(a0)，则a(x1)2b(x1)ax2bxx1ax2(2ab)xabax2(b1)x1解得a，b.因此f(x)x2x.(2)由已知得消去f，得f(x).考向三分段函数【例3】(2011辽宁)设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值

9、范围是()A1,2 B0,2 C1，) D0，)审题视点 对于分段函数应分段求解，最后再求其并集解析f(x)2或0x1或x1，故选D.答案D 分段函数是一类重要的函数模型解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，如本例中，需分x1和x1时分别解得x的范围，再求其并集【训练3】 (2011江苏)已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_解析分类讨论：(1)当a0时，1a1,1a1.这时f(1a)2(1a)a2a；f(1a)(1a)2a13a.由f(1a)f(1a)，得2a13a，解得a，不符合题意，舍去(2)当a0时，1a1,1a1，这时f(1a)(1a)2a1a；f(

10、1a)2(1a)a23a，由f(1a)f(1a)，得1a23a，解得a.综合(1)，(2)知a的值为.答案阅卷报告1忽视函数的定义域【问题诊断】 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间由于思维定势的原因，考生容易忽视定义域，导致错误【防范措施】 研究函数的任何问题时，把求函数的定义域放在首位，即遵循“定义域优先”的原则【示例】 求函数ylog(x23x)的单调区间错因忽视函数的定义域，把函数ylogt的定义域误认为R导致出错实录设tx2

11、3x.函数t的对称轴为直线x，故t在上单调递减，在上单调递增函数ylog(x23x)的单调递增区间是，单调递减区间是.正解设tx23x，由t0，得x0或x3，即函数的定义域为(，0)(3，)函数t的对称轴为直线x，故t在(，0)上单调递减，在上单调递增而函数ylogt为单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数ylog(x23x)的单调递增区间是(，0)，单调递减区间是(3，)【试一试】 求函数f(x)log2(x22x3)的单调区间尝试解答由x22x30，得x1或x3，即函数的定义域为(，1)(3，)令tx22x3，则其对称轴为x1，故t在(，1)上是减函数，在(3，)上是增函数又ylog2

12、t为单调增函数故函数ylog2(x22x3)的单调增区间为(3，)，单调减区间为(，1)第2讲函数的单调性与最值【2014年高考会这样考】1考查求函数单调性和最值的基本方法2利用函数的单调性求单调区间3利用函数的单调性求最值和参数的取值范围【复习指导】本讲复习首先回扣课本，从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念，复习中重点掌握：(1)函数单调性的判断及其应用；(2)求函数最值的各种基本方法；对常见题型的解法要熟练掌握基础梳理1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2

13、时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件.对于任意xI，都有f(x)M；对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M存在x0I，使得f(x0)M.结论M为最大值M为最小值一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到

14、区间的限制例如函数y分别在(，0)，(0，)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(，0)(0，)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(，0)和(0，)，不能用“”连接两种形式设任意x1，x2a，b且x1x2，那么0f(x)在a，b上是增函数；0f(x)在a，b上是减函数(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是减函数两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值四种方法函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变

15、形、定号、下结论(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数(3)导数法：利用导数研究函数的单调性(4)图象法：利用图象研究函数的单调性双基自测1设f(x)为奇函数，且在(，0)内是减函数，f(2)0，则xf(x)0的解集为()A(2,0)(2，) B(，2)(0,2)C(，2)(2，) D(2,0)(0,2)答案C2(2011湖南)已知函数f(x)ex1，g(x)x24x3.若有f(a)g(b)，则b的取值范围为()A2，2 B(2，2)C1,3 D(1,3)解析函数f(x)的值域是(1，)，要使得f(a)g(b)，必须使得x24x31.即x24x20，解得2x

16、2.答案B3(2012保定一中质检)已知f(x)为R上的减函数，则满足f1，不等式等价于解得1x1，且x0.答案C4(2011江苏)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_解析要使ylog5(2x1)有意义，则2x10，即x，而ylog5u为(0，)上的增函数，当x时，u2x1也为增函数，故原函数的单调增区间是.答案5若x0，则x的最小值为_解析x0，则x2 2 当且仅当x，即x 时，等号成立，因此x的最小值为2 .答案2 考向一函数的单调性的判断【例1】试讨论函数f(x)的单调性审题视点 可采用定义法或导数法判断解法一f(x)的定义域为R，在定义域内任取x1x2，都有f(x1)f(x2

17、)，其中x1x20，x10，x10.当x1，x2(1,1)时，即|x1|1，|x2|1，|x1x2|1，则x1x21,1x1x20，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)为增函数当x1，x2(，1或1，)时，1x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)为减函数综上所述，f(x)在1,1上是增函数，在(，1和1，)上是减函数法二f(x)，由f(x)0解得1x1.由f(x)0解得x1或x1，f(x)在1,1上是增函数，在(，1和1，)上是减函数 判断(或证明)函数单调性的主要方法有：(1)函数单调性的定义；(2)观察函数的图象；(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则

18、；(4)利用函数的导数等【训练1】 讨论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性解设1x1x20时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0)在(2，)上递增，求实数a的取值范围审题视点 求参数的范围转化为不等式恒成时要注意转化的等价性解法一设2x1x2，由已知条件f(x1)f(x2)(x1x2)a(x1x2)0恒成立即当2x1a恒成立又x1x24，则0a4.法二f(x)x，f(x)10得f(x)的递增区间是(，)，(，)，根据已知条件2，解得0a4. 已知函数的解析式，能够判断函数的单调性，确定函数的单

19、调区间，反之已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值或范围，可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解【训练2】 函数y在(1，)上单调递增，则a的取值范围是()Aa3 Ba3 Ca3 Da3解析y1，需即a3.答案C考向三利用函数的单调性求最值【例3】已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，f(1).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值审题视点 抽象函数单调性的判断，仍须紧扣定义，结合题目作适当变形(1)证明法一函数f(x)对于任意x，yR总有f(x)f(y)f(xy)，令xy0，得f(0)0.

20、再令yx，得f(x)f(x)在R上任取x1x2，则x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)因此f(x)在R上是减函数法二设x1x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上为减函数(2)解f(x)在R上是减函数，f(x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(

21、x)在3,3上的最大值为2，最小值为2. 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)f(x2)与0的大小，或与1的大小有时根据需要，需作适当的变形：如x1x2或x1x2x1x2等【训练3】 已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足ff(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)1，求f(x)在2,9上的最小值解(1)令x1x20，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x

22、)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(3)f(x)在0，)上是单调递减函数f(x)在2,9上的最小值为f(9)由ff(x1)f(x2)得，ff(9)f(3)，而f(3)1，所以f(9)2.f(x)在2,9上的最小值为2. 规范解答2如何解不等式恒成立问题【问题研究】 在恒成立的条件下，如何确定参数的范围是历年来高考考查的重点内容，近年来在新课标地区的高考命题中，由于三角函数、数列、导数知识的渗透，使原来的分离参数法、根的分布法增添了思维难度，因而含参数不等式的恒成立问题常出现在综合题的位置.【解决方案】 解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题，或者区间根的分布问题，进而运用最值原理或者区间根原理使问题获解，常用方法还有函数性质法，分离参数法等.【示例】(本题满分12分)已知函数f(x)x22ax2，当x1，)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围 利用函数性质求f(x)的最值，从而解不等式f(x