第22节导数的运算

1、第2.2节 导数的运算微积分教学设计教学札记教学对象：财经类，管理类等专业教学内容：导数的四则运算法则、基本初等函数的导数、复合函数、反函数和隐函数的导数、对数求导法则、多元复合函数和隐函数求偏导法则、一元（二元）函数的高阶（偏）导数教学目的：掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则和对数求导法、掌握一元（二元）复合函数及隐函数求（偏）导法则、了解高阶（偏）导数的概念、会求简单的高阶（偏）导数教学方法：利用多媒体进行启发式教学教学重点：一元（二元）复合函数及隐函数求（偏）导法则教学难点：复合函数及隐函数求（偏）导法则、高阶（偏）导数教学过程 1 函数四则运算的求导法则 定理2.2.1 设

2、函数和在点处可导，则函数，以及 在处也可导，且（1）（2）（3） 推广：若有限个函数， 在处都可导，则 =+ 特别地：例2.2.1设和在点处可导，为常数，求函数的导数。例2.2.2 设，求教学心得 例2.2.3 设，求。例2.2.4 设，求。类似地，可以求得下面的公式例2.2.5 设，求。例2.2.6 设二元函数，求：，.例2.2.7 设，求及.2 复合函数的求导法则 定理2.2.2 设函数在处有导数，函数在点处有导数，那么复合函数在点处可导，且有：链式法则：由于的任意性，只要和存在，那么就有：也可以写成 或 当复合次数比较多时，也有类似的结果。例如：，若都存在，则有复合函数的求导法则常被称作

3、“链式法则”，在使用这一法则时，要从外层向内层逐层求导，不要遗漏，也不要重复。在对每一层函数求导数时，要特别注意它是对哪一个变量求导，然后这个变量作为函数再对下一个变量求导，直到求出对的导数来。例2.2.9 设，求。例2.2.10 设 为实数，求。例2.2.11 设，求。例2.2.12 设函数可导，求。定理2.2.3 设在处的偏导数存在，而函数的偏导数在的对应点处连续，则复合函数在点处的偏导数存在，且 例2.2.13 设，求，.例2.2.14 设，求，.教学札记教学心得例2.2.15 设，求.例2.2.16 设，且有一阶连续偏导数，求此函数的全部偏导数。此处.这种用数字表示字母的方法在求有多个

4、中间变量的函数的偏导数时显得更加简洁。3 其他常用的求导法则 利用复合函数的求导法则，还可以推导出一些与复合函数有关的其他常见函数的求导法则。（1）隐函数求导法则形式的函数称为显函数；以方程的形式确定的函数称为隐函数。有的隐函数可以写成显函数，象确定的隐函数就可以写成；而有些隐函数不能写成显函数，例如确定的隐函数就不能写成显函数。在求隐函数的导数时，先是在方程的两端同时对求导数，并注意是的函数，的函数是的复合函数。对求导时要用复合函数求导法。然后经整理变形求出。在解出的中允许含有。例2.2.17 求圆上点处的切线方程。例2.2.18 设 求.对于以确定的隐函数，还可以利用二元函数求出导数.即：

5、若二元函数存在连续的偏导数，则当时，有.注意：此方法中和均是自变量，在求时，应看成常量。类似地，对于由所确定的二元隐函数，若存在连续的偏导数，且，则有公式：，.例2.2.19 已知，求，.（2）反函数求导法则若有反函数，且的导数，有.例2.2.20 求函数的导数.例2.2.21 求函数的导数。教学札记教学心得类似地可得：例2.2.22 用反函数求导法则求函数（）的导数.（3）对数求导法则以上这两种方法都用到了对数的性质，故称之为对数求导法。对于形如（称为幂指函数）的函数求导，这种方法是有效的。一般地，先进行变形：（1），然后按复合函数求导；（2），然后按隐函数求导。例2.2.23 设，求。例2

6、.2.24 设，求.例2.2.25 设，求.由于对数运算的特殊性，可以将乘除运算转化为加减运算，因而对于表达式中有连乘或连除因子的函数可用对数求导法求导。例2.2.26 设，求. 4 基本导数公式（见书122页）5 高阶导数定义2.2.1 如果函数的导函数在处可导，则称导函数的导数为的二阶导数，记为或. 也可记为， .与二阶导数相类似，我们可以定义函数的三阶导数，四阶导数，阶导数. 阶导数也记为，或. 二阶及三阶以上的导数统称为高阶导数。若的阶导数存在，则称是阶可导。例2.2.27 设，求.一般地，若，则例2.2.28 设，求.类似地有.用同样归纳的方法还可以求出教学札记教学心得例2.2.29 设都是的二阶可导函数，求 .例2.2.30 设，求.注 本例中因为求的是，所以可以不必整理出和的表达式。如果二元函数的两个偏导数和对和的偏导数存在，则称和对和的偏导数为对和的二阶偏导数。显然，二元函数的二阶偏导数共有四个，用记号表示为， ， 其中称为混合二阶偏导数。可以证明，当均在点连续时，.当然，二元函数的二阶偏导数仍有可能对和求偏导数，得到的八