第2章数列习题课1常见的数列求和及应用

1、习题课1常见的数列求和及应用对点讲练一、分组求和例1求和：Sn222.分析2的结构特征，2x2n2.分别组成三个数列从而求和解当x1时，Sn222(x2x4x2n)2n2n2n当x1时，Sn4n.综上知，Sn.总结某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和变式训练1求数列1,1a,1aa2，1aa2an1，的前n项和Sn(其中a0)解当a1时，则ann，于是Sn123n.当a1时，an(1an)Snn(aa2an).Sn二、拆项相消例2求和：，(n2)分析认真观察，式中每一项均可拆成两项之差，于是可用拆项相消法求

2、和解，原式.总结如果数列的通项公式可转化为f(n1)f(n)的形式，常采用拆项求和法变式训练2求和：1.解an2Sn2.三、奇偶并项例3求和：Sn1357(1)n(2n1)分析通项中含符号数列(1)n，按n为奇数、偶数分类讨论后，再并项求和解当n为奇数时，Sn(13)(57)(911)(2n5)(2n3)(2n1)2(2n1)n.当n为偶数时，Sn(13)(57)(2n3)(2n1)2n.Sn(1)nn (nN*)变式训练3已知数列1,4，7,10，(1)n(3n2)，求其前n项和Sn.解n为偶数时，令n2k (kN*)，SnS2k14710(1)n(3n2)(14)(710)(6k5)(6k

3、2)3kn；当n为奇数时，令n2k1 (kN*)SnS2k1S2ka2k13k(6k1).Sn课堂小结：求数列前n项和，一般有下列几种方法1错位相减(前面已复习)适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和2分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列3拆项相消有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和4奇偶并项当数列通项中出现(1)n或(1)n1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论5倒序相加例如，等差数列前n项和公式的推导方法课时作业一、选择题1已知数列an的通项an2n1，由bn所确定的数列bn的前n项之和是()An(n2) B.n(n4

4、) C.n(n5) D.n(n7)答案C解析a1a2an(2n4)n22n.bnn2，bn的前n项和Sn.2已知数列an为等比数列，前三项为a，a，a，则Tnaaa等于()A9 B81C81 D.答案D解析由2a，解得a3.a13，a22，a3，a是以a9为首项，以为公比的等比数列，Tn.3设数列1，(12)，(124)，(12222n1)的前m项和为2 036，则m的值为()A8 B9 C10 D11答案C解析an2n1，Sn2n1n2，代入选项检验，即得m10.4在50和350之间末位数是1的所有整数之和是()A5 880 B5 539 C5 280 D4 872答案A解析S5161341

5、5 880.5已知Sn1234(1)n1n，则S17S33S50等于()A0 B1 C1 D2答案B解析S17(12)(34)(1516)179，S33(12)(34)(3132)3317，S50(12)(34)(4950)25，所以S17S33S501.二、填空题6(1002992)(982972)(2212)_.答案5 050解析(1002992)(982972)(2212)10099215 050.7在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是_答案1 473解析100内所有能被3整除的数的和为：S136991 683.100内所有能被21整除的数的和为：S22142638421

6、0.100内能被3整除不能被7整除的所有正整数之和为S1S21 6832101 473.8若132 (xN*)，则x_.答案11解析x(x1)132，x11.三、解答题9设正项等比数列an的首项a1，前n项和为Sn，且210S30(2101)S20S100.(1)求an的通项；(2)求nSn的前n项和Tn.解(1)由210S30(2101)S20S100，得，设公比为q，则，即q10，所以q，所以ann1，即an，n1,2，.(2)因为an是首项a1，公比q的等比数列所以Sn1，nSnn.则数列nSn的前n项和Tn(12n)(12n)，得(12n)，即Tn2.10设数列an的首项a1(0,1)，an，n2,3,4，.(1)求an的通项公式；(2)设bnan，证明bnbn1，其中n为正整数解(1)由an，n2,3,4，.整理得1an(1an1)又1a10，所以1an是首项为1a1，公比为的等比