第4讲数列求和

1、第五讲 数列求和1求数列的前n项和的方法(1)公式法等差数列的前n项和公式Sn na1d等比数列的前n项和公式Sn (2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn100299

2、29829722212(10099)(9897)(21)5 050.2常见的裂项公式(1)；(2)；(3).题型一分组转化求和例1已知数列an是321,6221,9231,12241，写出数列an通项公式并求其前n项和Sn.思维启迪先写出通项，然后对通项变形，分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求解解由已知得，数列an的通项公式为an3n2n13n12n，Sna1a2an(253n1)(2222n)n(3n1)2n12.思维升华某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化特别注意在含有字母

3、的数列中对字母的讨论求和Sn1.题型二错位相减法求和例2已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(4an)qn1(q0，nN)，求数列bn的前n项和Sn.思维启迪(1)列方程组求an的首项、公差，然后写出通项an.(2)q1时，bn为等差数列，直接求和；q1时，用错位相减法求和解(1)设等差数列an的公差为d.由已知得，解得.故an3(n1)(1)4n.(2)由(1)得，bnnqn1，于是Sn1q02q13q2nqn1.若q1，将上式两边同乘以q有qSn1q12q2(n1)qn1nqn.两式相减得到(q1)Snnqn1q1q2qn1nqn.于是，S

4、n.若q1，则Sn123n.所以Sn.思维升华(1)错位相减法是求解由等差数列bn和等比数列cn对应项之积组成的数列an，即anbncn的前n项和的方法这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练(2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围已知等差数列an满足a20，a6a810.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列的前n项和题型三裂项相消法求和例3在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足San.(1)求Sn的表达式；(2)设bn，求bn的前n项和Tn.思维启迪第(1)问利用anSnSn1 (n2)后，再同除Sn1Sn转化为的等差数列即可求Sn.第(2)问求出bn的通项公式，用裂

5、项相消法求和解(1)San，anSnSn1 (n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，由题意得Sn1Sn0，式两边同除以Sn1Sn，得2，数列是首项为1，公差为2的等差数列12(n1)2n1，Sn.(2)bn，Tnb1b2bn(1)()().思维升华利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn，nN.(1)求证：数列an是等差数列；(2)设bn，Tnb1b2bn，求Tn.方法与技巧非等差

6、、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和失误与防范1直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论2在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号3在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项1(2012大纲全国)已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为()A. B.C. D.2若数列an的

7、通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和Sn为()A2nn21 B2n1n21C2n1n22 D2nn223已知数列an：，若bn，那么数列bn的前n项和Sn为()A. B. C. D.4已知数列an是等差数列，若a93a110，a10a110，且数列an的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n等于()A20 B17 C19 D215已知函数f(n)且anf(n)f(n1)，则a1a2a3a100等于()A0 B100 C100 D10 2006数列a12，ak2k，a1020共有十项，且其和为240，则a1aka10的值为()A31 B120 C130 D1857数列an，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n1)xyn0在y轴上的截距为()A10 B9 C10 D98321422523(n2)2n_.9数列，的前n项和Sn为_10已知数列an是首项为a1，公比为q的等比数列，设bn23logan(nN)，数列cn满足cna