第8讲一元二次不等式的解法

1、高中数学先修课程 一元二次不等式的解法一填空题：1不等式的解为2关于x的不等式x22ax8a20（a0）的解集为（x1，x2），且x2x1=15，则a=3若不等式2kx2+kx0的解集为空集，则实数k的取值范围是4一元二次不等式x2+ax+b0的解集为x（，3）（1，+），则一元一次不等式ax+b0的解集为5不等式01x21的解集为6若关于x的不等式x24x+a20的解集是空集，则实数a的取值范围是7已知不等式ax2+bx10的解集为x|3x4，则实数a=8不等式2x2x0的解集为9若不等式x2（a1）x+10的解集为全体实数，则a的取值范围是10关于x的不等式x2ax+2a0的解集为A，若集

2、合A中恰有两个整数，则实数a的取值范围是11满足不等式x2x0的x的取值范围是12若不等式x2+ax+10对一切成立，则a的最小值为13已知实系数方程x2+ax+1=0的一个实根在区间（1，2）内，则a的取值范围是14不等式的解集是15关于x的不等式x2+（a+1）x+ab0的解集是x|x1或x4，则实数a、b的值分别为16若关于x的不等式ax2+2x+a0的集为R，则实数a的取范围是17若不等式x2axb0的解集为是（2，3），（1）求a，b的值 （2）求不等式bx2ax10的解集18关于x的一元二次不等式ax2+（a+b）x+b0的解集为（2，1）（1）求a，b满足的关系式；（2）解关于x

3、不等式（bx2）（xa）019当a为何值时，不等式（a21）x2（a1）x10的解集为R20关于x的不等式（12ax）2121解关于x的不等式：（xa）（x2a1）022求下列不等式的解集：（1）6x2x10； （2）4x2+4x1023解不等式组参考答案与试题解析一填空题：1不等式的解为x|0x1【考点】一元二次不等式的解法菁优网版权所有【专题】计算题【分析】利用两个数的商是正数等价于两个数同号；将已知的分式不等式转化为整式不等式组，求出解集【解答】解：同解于x（x1）0所以不等式的解集为x|0x1故答案为x|0x1【点评】本题考查解分式不等式时，利用等价变形转化为整式不等式解2关于x的不等

4、式x22ax8a20（a0）的解集为（x1，x2），且x2x1=15，则a=【考点】一元二次不等式的解法菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】关于x的不等式x22ax8a20（a0）的解集为（x1，x2），则x1，x2是一元二次方程x22ax8a2=0（a0）的实数根，利用根与系数的关系即可得出【解答】解：关于x的不等式x22ax8a20（a0）的解集为（x1，x2），x1，x2是一元二次方程x22ax8a2=0（a0）的实数根，=4a2+32a20x1+x2=2a，x1x2=8a2x2x1=15，152=4a2+32a2，又a0解得a=故答案为：【点评】本题考查了一元二次不等式的解

5、集与相应的一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题3若不等式2kx2+kx0的解集为空集，则实数k的取值范围是（3，0【考点】一元二次不等式的解法菁优网版权所有【专题】分类讨论；不等式的解法及应用【分析】根据题意，讨论k=0与k0时，不等式解集为空集的k满足的条件是什么，求出k的取值范围即可【解答】解：根据题意，得；当k=0时，不等式化为0，解集为空集，满足题意；当k0时，应满足，即，解得，3k0；综上，k的取值范围是（3，0故答案为：（3，0【点评】本题考查了不等式恒成立的应用问题，解题时应结合二次函数的图象与性质进行解答，是基础题目4一元二次不等式x2+ax+b0的解集为x（，3）（1，+

6、），则一元一次不等式ax+b0的解集为【考点】一元二次不等式的解法菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】由一元二次不等式x2+ax+b0的解集为x（，3）（1，+），可知：3，1是一元二次方程式x2+ax+b=0的两个实数根，利用根与系数的关系可得a，b进而解出一元一次不等式ax+b0的解集【解答】解：一元二次不等式x2+ax+b0的解集为x（，3）（1，+），3，1是一元二次方程式x2+ax+b=0的两个实数根，3+1=a，31=b，解得a=2，b=3一元一次不等式ax+b0即2x30，解得一元一次不等式ax+b0的解集为故答案为：【点评】本题考查了一元二次不等式解集与相应的一元二

7、次方程的实数根及其根与系数的关系、一元一次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题5不等式01x21的解集为（1，1）【考点】一元二次不等式的解法菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】直接利用二次不等式求解即可【解答】解：不等式01x21，可得不等式01x2化为x21解得1x1，又1x21的解集为xR不等式01x21的解集为（1，1）故答案为：（1，1）【点评】本题考查二次不等式的解法，基本知识的考查6若关于x的不等式x24x+a20的解集是空集，则实数a的取值范围是a2或a2【考点】一元二次不等式的应用菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】根据开口向上的一元二次不等式小于

8、等于0的解集为空集可得到0，进而可求出a的范围【解答】解：y=x24x+a2开口向上，不等式x24x+a20的解集是空集，=164a20，解得a2或a2，实数a的取值范围是a2或a2故答案为：a2或a2【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，以及一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查对基础知识的灵活运用属于基础题7已知不等式ax2+bx10的解集为x|3x4，则实数a=【考点】一元二次不等式的解法菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】由题意可知3，4是方程ax2+bx1=0的两个实根，利用韦达定理即可求得a值【解答】解：等式ax2+bx10的解集为（x|3x4，3，4是方程ax2

9、+bx1=0的两个实根，则=12，解得a=，故答案为：【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查根与系数的关系，深刻理解“三个二次”间的关系是解决相关问题的关键8不等式2x2x0的解集为0x【考点】一元二次不等式的解法菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】利用因式分解或一元二次不等式的解法求不等式的解集【解答】解：由2x2x0，得x（2x1）0即对应方程x（2x1）=0的两个根分别为x=0或x=，所以不等式2x2x0的解为0x故答案为：x|0x【点评】本题主要考查一元二次不等式的基本解法，比较基础9若不等式x2（a1）x+10的解集为全体实数，则a的取值范围是（1，3）【考点】一

10、元二次不等式的解法菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】不等式x2（a1）x+10的解集为全体实数，可得0，解出即可【解答】解：不等式x2（a1）x+10的解集为全体实数，=（a1）240，化为（a3）（a+1）0，解得1a3a的取值范围是（1，3）故答案为：（1，3）【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题10关于x的不等式x2ax+2a0的解集为A，若集合A中恰有两个整数，则实数a的取值范围是【考点】一元二次不等式的解法菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】由判别式0，解得 a0，或 a8当a0时，由f（1）0，且 f（2）0，求得a的范围当a

11、8时，由3 求得8a9，再根据f（4）0，f（5）0，f（6）0求得a的范围再把两个a的范围取并集，即得所求【解答】解：由题意可得，判别式=a28a0，解得a0，或 a8设f（x）=x2ax+2a，当a0时，由于f（0）0，且对称轴在y轴的左侧，故A中的两个整数为1 和0，故有f（1）=1+3a0，且 f（2）=4+4a0，解得1a当a8时，对称轴x=4，设A=（m，n），由于集合A中恰有两个整数则有nm3，即3，即a28a9，解得 8a9故有对称轴 45，而f（2）=40，f（3）=9a0，故A中的两个整数为4和5，故 f（4）0，f（5）0，f（6）0即 162a0，且253a0，364a

12、0 解得 a9综合可得，1a，或 a9故实数a的取值范围是 ，故答案为 【点评】本题主要考查二次函数的性质，一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题11满足不等式x2x0的x的取值范围是（0，1）【考点】一元二次不等式的解法菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】解不等式x2x0，即可得出x的取值范围【解答】解：不等式x2x0可化为x（x1）0，解得0x1；x的取值范围是（0，1）故答案为：（0，1）【点评】本题考查了求一元二次不等式的解集问题，解题时应按照解一元二次不等式的步骤解答即可，是容易题12若不等式x2+ax+10对一切成立，则a的最小值为【考点】一元二次不

13、等式的应用菁优网版权所有【专题】计算题；不等式的解法及应用【分析】将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论【解答】解：不等式x2+ax+10对一切成立，等价于ax对于一切x（0，成立y=x在区间（0，上是增函数x2=aa的最小值为故答案为【点评】本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题13已知实系数方程x2+ax+1=0的一个实根在区间（1，2）内，则a的取值范围是（，2）【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】设函数f（x）=x2+ax+1，利用根与系

14、数之间的关系，建立条件关系即可得到结论【解答】解：设f（x）=x2+ax+1，f（0）=10，方程x2+ax+1=0的一个实根在区间（1，2）内，或，即或，由得无解，由得a2，故答案为：（，2）【点评】本题主要考查二次函数和二次方程之间的关系，将方程转化为函数是解决本题的关键14不等式的解集是（，3）（ 2，+）【考点】一元二次不等式的应用菁优网版权所有【专题】计算题【分析】我们根据分式不等式的解法，可选利用实数的性质将分式不等式转化为一个整式不等式，然后根据一元二次不等式的解法解答即可【解答】解：分式不等式 （x2）（x+3）0，所以x3 或x2故不等式的解集是（，3）（ 2，+）故答案为：

15、（，3）（ 2，+）【点评】本题考查的知识点是分式不等式的解法，分式不等式的解答过程中，最关键的步骤是利用实数的性质，将不等式 转化为f（x）g（x）015关于x的不等式x2+（a+1）x+ab0的解集是x|x1或x4，则实数a、b的值分别为4，1【考点】一元二次不等式的应用菁优网版权所有【分析】由不等式的解集为x|x1或x4可知：1，4是方程x2+（a+1）x+ab=0的两根，根据韦达定理便可解得a，b的值【解答】解：由不等式的解集为x|x1或x4可得，1，4是方程x2+（a+1）x+ab=0的两根，解得a=4，b=1【点评】本题考查一元二次不等式的解法16若关于x的不等式ax2+2x+a0

16、的集为R，则实数a的取范围是（1，+）【考点】一元二次不等式的解法菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】对a分类讨论，利用一元二次不等式的解集与的关系即可得出【解答】解：当a=0时，不等式化为2x0，解得x0，其解集不是R当a0时，由不等式ax2+2x+a0的集为R，则，解得a1综上可知：实数a的取范围是（1，+）故答案为（1，+）【点评】熟练掌握分类讨论、一元二次不等式的解集与的关系是解题的关键17若不等式x2axb0的解集为是（2，3），（1）求a，b的值 （2）求不等式bx2ax10的解集【考点】一元二次不等式的解法菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】（1）根据韦达

17、定理即可求出a，b的值；（2）由（1）的结论，代入，然后解不等式即可【解答】解：（1）由已知可知不等式x2axb0的解集是x|2x3，所以2和3是方程x2axb=0的两个根，由韦达定理得，解得；（2）不等式bx2ax10即为6x25x10，不等式6x25x10可化为6x2+5x+10，（2x+1）（3x+1）0解得 ，所以所求不等式的解集是，【点评】本题考查了解一元二次不等式的方法，属于基础题18关于x的一元二次不等式ax2+（a+b）x+b0的解集为（2，1）（1）求a，b满足的关系式； （2）解关于x不等式（bx2）（xa）0【考点】一元二次不等式的解法菁优网版权所有【专题】不等式的解法及

18、应用【分析】（1）根x的一元二次不等式ax2+（a+b）x+b0的解集为（2，1）利用韦达定理求出a，b的关系，（2）再代入不等式（bx2）（xa）0，分类讨论即可求得结论【解答】解：（1）ax2+（a+b）x+b0的解集为（2，1）b=2a，a0，（2）由（1）值，关于x不等式（bx2）（xa）0可化为（2ax2）（xa）0，即为（x）（xa）0，a0，当1a0时，a，解得xa，故原不等式的解集为（，a），当a1时，a，解得ax，故原不等式的解集为（a，）【点评】本题考查了一元二次不等式的知识，解题关键是利用根与系数的关系得出第二个不等式的各项的系数，在解答此类题目时要注意与一元二次方程的结

19、合19当a为何值时，不等式（a21）x2（a1）x10的解集为R【考点】一元二次不等式的解法菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】讨论a21=0时和a210时，不等式解集的情况，从而求出满足题意的a的取值范围【解答】解：当a21=0时，a=1，若a=1，不等式化为10，满足题意，若a=1，不等式化为2x10，不满足题意；当1a20时，即a1，即；解得a1；综上，a的取值范围（，1【点评】本题考查了不等式恒成立的问题，解题时应对字母系数进行讨论，是基础题20解关于x的不等式（12ax）21【考点】一元二次不等式的解法菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】由已知条件推导出x（a2xa）0，再由a的取值范围进行分类讨论，由此能求出不等式的解集【解答】解：（12ax）21，4a2x24ax0，x（a2xa）0，（7分）ia=0不符题意（10分）iia0时，解得0x，（11分）iiia0时，x0（13分）综上所述，a0时，不等式的解集为x|0x；a0时，不等式的解集为x|x0（14分）【点评】本题考查不等式的解集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用21解关于x的不等式：（xa）（x2a1）0【考点】一元二次不等式的解法