第一章导热理论和导热微分方程

1、第一章 导热理论和导热微分方程相互接触的物体各部分之间依靠分子、原子和自由电子等微观粒子的热运动而传递热量的过程称为导热。在纯导热过程中物体各部分之间没有宏观运动。与固体物理的理论研究方法不同，传热学研究导热问题时不是对导热过程的微观机理作深入的分析，而是从宏观的、现象的角度出发，以实验中总结出来的基本定律为基础进行数学的推导，以得到如温度分布、温度-时间响应和热流密度等有用的结果。这种处理方法的物理概念简单明了，但所要求的数学知识和技能仍是复杂和困难的。本书在材料的选取上，注意在介绍有重要应用价值的结果的同时，也给予求解导热问题的典型数学方法以足够的重视，以培养和发展读者独立解决问题的能力。

2、1-1 导热基本定律1-1-1 温度场由于传热学以宏观的、现象的方式来研究导热问题，团此必须引入连续介质假定，以便用连续函数来描述温度分布。温度场就是在一定的时间和空间域上的温度分布。它可以表示为空间坐标和时间的函数。由于温度是标量，温度场是标量场。常用的空间坐标系有三种：直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。在直角坐标系中，温度场可以表示为 （1-1-1）式中：t表示温度；x、y、z为三个空间坐标；表示时间。若温度场各点的温度均不随时间变化，即，则称该温度场为稳态温度场，否则为非稳态温度场。若温度场只是一个空间坐标的函数，则称为一维温度场；若温度场是两个或三个空间坐标的函数，则称为二维或三维温度场

3、。1-1-2 等温面与温度梯度物体内温度相同的点的集合所构成的面叫做等温面。对应不同温度值的等温面构成等温面族。等温面与任一截面的交线形成等温线。由于等温线具有形象直观的优点，二维温度场常用等温线来表示温度分布。由于在同一时刻物体的一个点上只能有一个温度值，所以不同的等温面不可能相交。它们或者在域内形成封闭曲线，或者终止于物体的边界。如图1-l所示，在物体内某一点P处，沿空间某一方向l的温度的变化率图1-l 等温线和温度梯度 （1-1-2）称为温度场沿该方向的方向导数。因为沿等温面方向温度不变，所以温度场在等温面方向的方向导数为零。对于确定的空间点，在空间各方向上最大的方向导数称为该点的梯度。

4、所以，温度梯度是一个向量。温度梯度的方向是温度增加最快的方向，它的模（大小）等于最大的方向导数。温度梯度可以记作gradt或t。温度梯度在任一方向l的投影就是该方向的方向导数。若l方向与gradt的夹角为，则 （1-1-3）其中l是l方向的单位向量；显然，温度梯度垂直于过该点的等温面。在直角坐标系中。温度梯度在三个坐标轴上的投影分别为、，则有 （1-1-4）其中i、j、k分别为x、y、z在坐标轴上的单位向量。在一般的正交坐标系中梯度的表达式将在以后讨论。连续温度场内的每点都对应一个温度梯度向量，所以温度梯度构成一个向量场。应该注意，梯度（gradient）在英文中有两个不完全相同的意义。一个是

5、以上介绍的严格按数学（场论）意义上定义的梯度，它是一个向量；另一个意思是“坡度”、“变化率”。由此在有些中文书中也可见到如“温度场在x方向的梯度”这样的说法，意思是。读者应加以区别。1-1-3 热流向量单位时间内通过单位面积传递的热量称为热流密度，记作q，单位为W/m2。对确定的空间点、在不同方向上热流密度是不同的。与定义温度梯度的方法一样，可以定义一点处的热流向量。热流向量的方向是热流密度最大的方向，其大小等于该方向的热流密度。热流向量记作q。任一方向的热流密度等于热流向量在该方向的投影。在连续温度场内的每一点都对应一个热流向量，所以热流向量也构成一个热流向量场，或称热流场。在直角坐标系中

6、（1-1-5）1-1-4 傅里叶定律以实验观察为基础并经过科学的抽象，1822年法国数学物理学家傅里叶（Joseph Fourier）提出了把温度场和热流场联系起来的基本定律。对于各向同性（材料的导热系数不随方向改变）的物体，傅里叶定律可表述为：热流向量与温度梯度成正比，方向相反。因为温度梯度是指向温度升高的方向，而根据热力学第二定律，热流总是朝着温度降低的方向，或用数学形式表示为 （1-1-6）其中称为材料的导热系数。 把式（1-1-4）、（1-l-5）代入式（1-1-6），可得傅里叶定律在直角坐标系中的投影表达式为 （1-1-7）傅里叶定律适用于稳态和非稳态的、无热源和有热源的温度场，也适

7、用于常物性和物性随温度改变的情况。但对于各向异性材料将必须作一定的修改，对此将在后面的第三节中讨论。傅里叶定律建立了温度场和热流场之间的联系，温度场确定之后热流场就被唯一地确定，并且可进一步求得经物体内部或边界上任意表面传导的热流量Q（如图1-2所示）：图1-2 通过任意表面的热流量 （1-1-8） （1-1-9）其中，dA是面积元向量，方向为表面的外法线方向。这样，在已知导热系数的情况下，由温度场可以确定流过任意表面的热流量。因此，虽然在许多实际问题中可能更关心热流量的计算，但是在求解导热问题时总是把求解温度场放在首要地位。1-1-5 导热系数傅里叶定律的另一个作用就是定义了导热系数，即 （

8、1-1-10）在导热分析中，导热系数是一个重要的物性参数，在给定温度梯度的条件下热流密度的大小正比于导热系数。在国际单位制中，导热系数的单位是W/(mK)。导热系数与材料的种类及其所处的状态有关。固体、液体与气体，金属与介电质的内部结构不同，导热的机理也有很大的差异。热物性学的现代理论提供了对导热过程微观机理的解释，并为按要求的热物性“设计”特定的材料提供了可能的途径。但是这些理论还不够完善，除了对理想气体和晶体等比较简单的情况以外，对于绝大多数材料还不能较精确地预测其导热系数。有关导热微观机理的理论可参阅文献1，2。对于绝大多数材料，现在还不能根据其结构和导热机理来计算其导热系数。各种实际应

9、用材料的导热系数主要是通过实验的方法得到的。目前已有一系列不同的实验方法可用来测定各种材料在不同温度范围内的导热系数，特别是20世纪60年代以来发展起来的多种非稳态的方法，由于其测试时间短（几秒至几十秒）、适应性强等优点，已被广泛采用。许多常用材料的热物性数据可以在一些手册中查得。一般来说，材料的导热系数是温度的函数。大多数纯金属的导热系数随温度的升高而减小，而气体与介电材料的导热系数随温度的升高而增加。在极低温条件下（0-60 K），金属的导热系数随温度有剧烈的变化，且可以达到很高的值。例如，纯铜在10 K时的导热系数可达1.9104W/(mK)。对于液体和气体，特别是在接近临界状态的条件下

10、，导热系数还与压力有关。接近真空的稀薄气体中的传热已不属于经典的导热过程。在求解导热问题时常常假定导热系数是常量，即不随温度变化。根据傅里叶定律，此时热流与温度梯度成线性关系，问题的求解可以得到很大简化。在需要考虑导热系数随温度变化而温度变化范围又不太大时，工程上常用线性关系来近似导热系数与温度的关系，即 （1-1-11）为了对各种材料导热系数的大小有一个数量级的概念，一些典型材料在通常工程温度范围内的导热系数的范围列于下面：金属 50-415W/(mK)合金 l 2-120W/(mK)非金属液体 0.17-0.7W/(mK)隔热材料 0. 02-0.17W/(mK)大气压力下的气体 0.00

11、7-0.17W/(MK)从以上数据可以看到，在通常的温度范围内导热性能最好的材料与最差的材料相比，导热系数大约相差5个数量级。这虽然是相当悬殊的差别，但从实际应用的需要来看，导热材料和隔热材料在导热性能上的反差仍显得太小。导热与导电有很大的类似性。但优良导电材料（如铜）的电导率与电绝缘材料（如塑料）的电导率相差达12个数量级以上，因此很容易设计各种电路来控制电子的流动（电流），电学量的测量也常可以达到很高的精度。相比之下，控制热流要困难得多，这是热的测量很难达到较高精度的主要原因。这也使保温隔热成为传热学和许多工程领域的重要课题。1-2 固体导热问题的数学描述固体导热问题的数学描述包括导热微分

12、方程和单值性条件。导热微分方程可以根据直角坐标系（或柱坐标系、球坐标系）中微元体的热平衡导得，其推导过程可参阅大多数的传热学教科书。这里给出更一般的不依赖于坐标系的推导。建立导热微分方程的依据仍然是能量守恒定律。由于所考虑的导热体系是静止的，与外界没有功的交换，所以体系得到的热量应该等于体系内能的增加。体系得到的热量可以有两部分：一部分是由于导热通过体系的界面传入的热量，另一部分是由于内热源（化学反应、电加热等）的发热而产生的热量。参照图1-3，导热体系的体积为V，表面为A。单位时间内通过表面A由导热进入体系的热量Ql为图1-3 导热微分方程的推导 （1-2-1）其中dA是指向外法线方向的面积

13、元向量，负号表示热流指向体系内部（与表面的外法线方向相反）。这里应用了散度定理把面积分转换为体积分，其中 （1-2-2）称为热流向量q的散度。内热源的体积发热率qv是单位时间内单位体积的内热源的发热量，在国际单位制中的单位是W/m3。一般来说，它可以是坐标和时间的函数，记为加qv (r, )。由此，单位时间内体积V中内热源产生的热量Q2为 （1-2-3）单位时间内体积V中热量的增加Q3为 （1-2-4）对导热体系建立能量平衡方程，则有 （1-2-5）或 （1-2-6）由于式（1-2-6）对于整个或部分空间域是普遍适用的，它对体系内的任一微元体积也成立。这样，可以把积分号去掉，由此得到 （1-2

14、-7）根据傅里叶定律，热流向量可以由温度梯度得到。把式（1-1-6）代入方程（1-2-7）可以得到含有内热源的各向同性物体中的导热微分方程： （1-2-8）如果导热系数不随空间位置和温度而变化，则以上方程可简化为 （1-2-9）式中：2称为拉普拉斯算子；称为热扩散率或导温系数。热扩散率是材料的热物理性质，在国际单位制中的单位是m2/s。热扩散率表征材料内部温度趋于均匀的能力，是描述非稳态导热过程的一个最重要的热物性参数。在常物性且没有内热源的情况下，方程（1-2-9）进一步简化为扩散方程，或称傅里叶方程： （1-2-10）在稳态条件下，则有内热源时方程（1-2-9）简化为泊松方程： （1-2-

15、11）稳态而无内热源时上式进一步简化为拉普拉斯方程： （1-2-12）泊松方程和拉普拉斯方程是典型的椭圆型偏微分方程。在常物性条件下，非稳态导热由方程（1-2-9）描述。这种方程在偏微分方程的分类中称为扩散方程，或抛物线型方程。扩散方程的特点是，物体在某一处受到的温度（或热）的扰动将以无限大的速度传播到物体中的各处，也就是在距离扰动源无限远处也能瞬时地感受到该扰动的作用。这一结果在以后章节介绍的半无限大物体非稳态导热的解中可以明显地看到，虽然在无限远处受到的影响是非常微小的。如前所述，导热过程是依靠微观粒子的热运动而引起的物体内能的迁移，认为它的传播速度是无限大在物理概念上显然是不合适的。随着

16、现代科学技术的发展，在一些极端的条件下，例如时间极短（s或ns量级）的激光脉冲加热，以及接近0K（绝对零度）的超低温固体氦中，发现导热的规律与扩散方程指示的结果有明显的差异。为此有人建议，描述非稳态导热的控制方程应该是衰减的波动方程。 （1-2-13）这一方程不是抛物线型的，而是双曲线型的，其中0称为松弛时间，称为热传播速度。由此，式（1-2-13）又可写作 （1-2-14）在或的极限情况下，上式退化为常规的导热微分方程（1-2-10）。对于绝大多数的实际问题，上式等号左边两项中的第一项要比第二项小很多，可以相差达10个数量级，因此完全可以忽略不计。但是对于极短的时间，或是极低的温度的问题，热

17、传播速度为有限值的影响就可以表现出来。为了导出方程（1-2-14），式（1-1-6）所表示的傅里叶定律也需要作相应的修改。这也从另一个侧面说明傅里叶定律只是从实际经验和实验中抽象出来的表象性的规律，因而在适用范围上有局限性。1-2-1 正交坐标系中导热微分方程的表达式温度梯度t、热流向量的散度q、温度场的拉普拉斯算子2t等都是客观存在的物理量，以上导得的导热方程（1-2-8）（1-2-13）是客观存在的物理规律，它们都不随坐标系的选择而改变，但是它们的具体表达式却随坐标系的选择而异。在解决实际的导热问题时，首先需要选择适当的坐标系，以减少自变量的数目和便于边界条件的表达。例如矩形区域中的问题可

18、采用直角坐标系，而圆柱体中的导热则采用柱坐标系更为方便。一般来说，空间的一个点可由三个独立的参数确定，这三个参数组成一个坐标系。如果在空间任一点处沿坐标轴方向的单位向量都两两垂直，则称该坐标系为正交坐标系。最常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系，它们都是正交坐标系。以下简要讨论一般正交坐标系中的基本量和导热微分方程的表达式。设有一正交坐标系如图l-4所示，、是它的三个坐标轴，相应的坐标轴方向的单位向量为、。正交坐标、与直角坐标x、y、z之间的函数关系为 （1-2-15）在正交坐标系中任一点P处取正交微元六面体，相应的坐标增量为、，对应的曲线微段的弧长为、。在直角坐标系中空间曲线弧长的微

19、分为图1-4 正交坐标系 （1-2-16）在坐标轴xi上，只有xi坐标有变化，因此正交微元六面体的三个边长分别为 （1-2-17）令 （1-2-18）则式（1-2-17）可以写作 （1-2-19）称为拉梅系数，或称度规系数。如果己知直角坐标系和正交坐标系之间的函数关系式（1-2-15），则可由式（1-2-18）确定拉梅系数。很明显，它们通常是坐标的函数，在一些特例的情况下也可以是常量。得到拉梅系数后，就可导得正交微元六面体中各个微元面积的表达式： （1-2-20）或写作 （1-2-21）其中。正交微元六面体中微元体积的表达式为 （1-2-22）根据梯度、散度等基本量的定义，可以得到它们在正交坐

20、标系中的一般表达式。它们是 （1-2-23） （1-2-24） （1-2-25）把式（1-2-23）（1-2-25）代入以上导得的方程，例如适用于变导热系数时的导热微分方程（1-2-8），可得相应的在一般正交坐标系中的导热微分方程为 （1-2-26）在直角坐标系（x，y，z）中，三个坐标轴均为直线，因此有。对于如图1-5所示的柱坐标系（r，z），其坐标与直角坐标之间的关系为图1-5，令、，则由式（1-2-18）可得 （1-2-27）同样地，对于球坐标系（r，）有，则可以导得球坐标系中的拉梅系数为 （1-2-28） 由此得直角坐标系中的拉普拉斯算子表达式为 （1-2-29）在柱坐标系（r，z）和

21、球坐标系（r，）中，拉普拉斯算子的表达式分别 （1-2-30） （1-2-31）1-2-2 导热过程的单值性条件导热微分方程描述了导热问题的“共性”，但要得到一个确定的导热问题的解（温度场和热流），还需要给定各别问题的“个性”，即单值性条件。单值性条件包括以下各项：几何条件说明参与过程物体的大小和形状。如果是各向异性材料，还应给出导热系数主轴的方向。物理条件给定各种有关物理量的值，包括随温度变化的函数关系、有无内热源以及内热源的大小和分布。时间条件说明过程在时间上的特点。稳态过程不需要时间条件；对于非稳态过程，则要给出初始温度分布，即初始条件。边界条件描述在区域边界上过程进行的特点。几何条件和

22、物理条件通常体现在导热微分方程的简化和坐标系的选取中，而时间条件（对非稳态问题）和边界条件则体现为单独的数学表达式。以下简要讨论几种常用的边界条件。第一类边界条件给定边界上的温度。一般情况下，边界上的温度可以是时间和位置的函数，并可表示为如下的形式：在边界面S处 （1-2-32）数学上，第二类边界条件给定所求函数在边界上的法向导数值，在导热问题中等同于给定边界上的法向热流密度。一般情况下，边界上的热流密度可以是时间和位置的函数，并可表示为如下的形式：在边界面S处 （1-2-33）绝热边界满足，是第二类边界条件的一个特例。数学上，第三类边界条件给定所求函数在边界上的函数值和法向导数值的线性组合，

23、在导热问题中等同于结定外界介质的温度和边界上的对流换热表面传热系数，由此又称为对流边界条件。对边界上的微元面积写出热量平衡，可得在边界面S处 （1-2-34）式中：等号左边是在表面外法线方向上物体内部导热的热流密度；等式右边是物体表面通过牛顿冷却定律传递给环境的热量。前面所述的第一类边界条件和第二类（绝热）边界条件都可以看作是第三类边界条件的特例。如果h0，则第三类边界条件转化为绝热边界条件；如果h，则有，第三类边界条件转化为第一类边界条件。在具体的坐标系中写出以上边界条件时，要注意边界外法线的指向。例如，对于图1-6所示的与x方向垂直的两个表面，其第二类边界条件应分别为图1-6 对流边界条件

24、和外法线方向除了由单一非复合材料组成的物体外，还需要确定物体的内部条件，用以表征诸如交界面热阻和交界面反应这样一些影响。最常见的情形是在求解复合区域的导热问题时需要列出区域分界面上的边界条件。两种相似的或不同的材料可以用粘合剂或用机械的方法（加压、紧固等）结合在一起。如果粘在一起，则粘合剂表示一种简单的热阻，交界面上热阻的大小由粘合剂的厚度和导热系数决定。如果两种材料交界面上为无粘合剂接触，那么就会因非理想接触而对热流有一热阻。不仅接合处两个微观粗糙表面之间的相互接触面积要比表观的表面积小得多，而且肉眼可见的表面波纹状不平度，也会使实际的物体表面的接触状况进一步恶化。通过交界面的热交换是由通过

25、真正接触点的导热、通过截留在缝隙内的流体的导热以及通过缝隙的辐射传热这三种机理综合进行的。结合处的总热导是由接触材料（它们的导热系数、表面粗糙度、不平度以及硬度）、接触压力、结合处的平均温度和热流、缝隙内流体的性质（液体、气体、真空）、是否存在氧化皮或填隙材料等一系列因素决定的。通过两种不同材料1和2间粗糙接触面的稳态导热状况如图1-7所示，接触面附近可能存在一明显的温度跃变。定义一假想的交界面温降Dt，它是由两种材料远离接触面处按线性变化的实际温度外推至中心线得出的。在稳态热流q的情况下，单位交界面接触热阻定义为图1-7 交接面上的接触热阻 图1-8 理想接触时的边界条件 （1-2-35）对

26、于理想接触，温降等于零，Rc0。在这种情况下，内部边界条件就是温度分布和热流在交界面上连续，即在如图1-8所示的系统中，分界面上的边界条件可写作 （1-2-36）其中两个偏导数的正方向为两区域各自的外法线方向，因此式中出现负号。这样的边界条件也有称为第四类边界条件的。如果在界面上有接触热阻存在，则温度分布在界面上不再连续，以上边界条件应改为 （1-2-37）提高压紧两种材料的压力可以增加随机性质的点接触和大尺度的面接触，因为压紧可以使凹凸不平的面配合紧密，可以克服被波纹不平度造成的非理想接触，还可以使两种较软材料发生弹性和塑性变形。为了降低接触热阻也可以人为地在接触面之间插入容易变形的高导热系

27、数的填隙材料。以上说明的几种边界条件都是线性边界条件，有利于问题的求解，同时也概括了实际问题中大部分的情况。此外，也有一些导热问题的边界条件是非线性的。如热辐射边界条件的热流与边界温度的四次幂有关；自然对流边界条件的热流正比于温差的5/4或4/3次方。与相变（如熔化、凝固、烧蚀）相联系的边界条件也是非线性的。处理这些非线性边界条件在数学上有较大的难度，因此往往需要作为专门的问题加以研究。1-3 各向异性材料中的导热式（1-1-6）表示的傅里叶定律只适用于各向同性材料。在工程实际中也可能遇到各向异性材料，它们的物性在空间的各个方向上不相同。如晶体材料、木材、石墨和沉积岩等是典型的各向异性材料；层

28、压的复合材料、硅钢片叠加而成的铁芯等，在宏观上也有各向异性的特征。在各向异性材料内部，温度场、等温面和温度梯度的概念仍适用，热流向量的定义也不变。但此时导热系数不再是一个与方向无关的标量，即从一点出发，沿各个方向的导热系数不同。热流向量的分量，例如qx，一般取决于沿x、y、z三个方向的温度梯度的线性组合。在直角坐标系中可表示为 （1-3-1）由此可见，对于各向异性材料，热流向量与温度梯度不再共线，亦即热流向量不再垂直于通过考察点的等温面。上式写成向量的形式为 （1-3-2）其中 是各向异性材料的导热系数，它是一个二阶张量，由9个导热系数分量组成。式（1-3-1）就是各向异性材料中的傅里叶定律在

29、直角坐标系中的表达式，同样地建立了各向异性材料中温度场与热流场的联系。虽然温度梯度和热流向量以及它们之间的关系是客观存在的，不依坐标的取向而变化，但是它们在坐标轴上的投影，特别是各导热系数分量的值将随坐标取向的变化而变化。因此首先要研究导热系数分量在不同坐标系中的变换。当坐标系（x，y，z）绕原点O旋转一个角度后，得到新坐标系（，），如图1-9所示。新旧坐标的关系为图1-9 直角坐标系原点的旋转 （1-3-3）或简写成 （1-3-4）其中，热流向量与温度梯度的联系在新坐标系（，）内表示为 （1-3-5）用表示上述导热系数矩阵，即利用线性代数中有关线性变换的知识，或根据张量的坐标变换的性质，可以导得在不同坐标系中导热系数矩阵之间的关系： （1-3-6）根据线性变换的性质，总可以选择一个适当的坐标系，记为（x，h，z），使矩阵l进一步转换为对角矩阵，即把式（1-3-1）转换为 （1-3-7