第9章半群和群

1、第9章 半群和群semigroup and group9.3 乘积半群和商半群Products and Quotiens Semigroup定理1. 设（S，*）和（T，*）是两个半群，则（ST，*”）也是半群。 (s1, t1)*” (s2, t2)=( s1*s2, t1*t2 ).设（S，*）和（T，*）是两个独异点，则（ST，*”）也是独异点，恒等元是（e，e）。同余关系 congruence relation设（S，*）是半群，R是S上等价关系。R称为S上同余关系： aRa, bRb(a*b)R(a*b).例1. Z上剩余关系是(Z,)上同余关系：ab（mod 2） 2 | ab。证

2、明. ab（mod 2）是等价关系。ab（mod 2）, 2 | a-b, a-b=2k.cd（mod 2）, 2 | c-d, c-d=2t.(a+c)(b+d)=(a-b)+(c-d)=2(k+t)a+c b+d（mod 2）ab（mod 2）是(Z,)上同余关系。Z上剩余关系是(Z,)上同余关系. 例2令A0,1,自由半群（A*,）上关系R： R，含有同样多个1。则R是（A*,）上同余关系。例3设f(x)=x2-x-2, 令（Z，）上关系R：aRb f(a)=f(b).R是Z上等价关系，但不是同余关系。 1R2，f(1)=f(2)=0 2R3，f(-2)=f(3)=4-1+-2=-3,

3、2+3=5 f(-3)=10, f(5)=18 -1+-2 与 23 不满足R。定理2. 设R是半群（S，*）上同余关系。定义商集S/R上二元运算*：a*b=a*b。则（S/R,*）是半群。证明. 设a=a, b=b,要证a*b= a*baRa, bRb,由R是同余关系a*bRa*b,因此a*b= a*b，*是映射，二元运算。还要证*满足结合律：a*(b*c)=a*b*c=a*(b*c)=(a*b)*c=a*b*c=(a*b)*c因此（S/R,*）是半群。称S/R为商半群。推论1. 设R是独异点（S，*）上同余关系，则（S/R,*）是独异点。证明.恒等元eS,只要证明e是S/R,的恒等元。任何

4、aS，a*e=a*e=ae*a=e*a=a.例5（Zn,+）,(Zn，)都是半群，独异点。Zn0,1,2,n-1m+n=m+n定理3.令R是半群（S，*）上同余关系,（S/R,*）是商半群。f：SS/R, f(a)=a,则f是满同态，称f为自然同态。定理4.同态基本定理设f:（S，*）（T，*）是两个半群间的同态映射，令R是S上二元关系：a,bS，aRbf(a)=f(b).则(a) R是（S，*）上同余关系。(b) (T，*)(S/R,*).Homework P337-3384,10,14,16,22,249.4 群Group群的定义群（G，*）是一个代数系统，1) 二元运算*满足结合律,2）

5、有单位元e， a*e=e*a=a,3) 对每个aG，存在aG，a*a=a*a=e, 称a为a的逆元。群（G，*）是一个有单位元的独异点，对每个aG，存在逆元aG，使a*a=a*a=e.群（G，*）常简记为G，a*b常简记为ab。可换群叫Abel群 Abelian Group群的例 （Z，）， （Q，），（Q，）， （R，），（R，）， （Zn，）， （P(S),），（P(S), ）， （Mn，）， （F(x), +）, S上全体一一对应，对于复合，最后一个不是Abel群。例（R，*）：a*b=ab/2是Abel群。*满足结合律，交换律，2是单位元，4/a是a的逆元。定理1. 群的逆元唯一：设G

6、是群，任意aG，a只有一个逆元，记做a-1。证明.设a，a”都是a的逆，a=aaa”=a”.定理2. 群有消去律：设G是群，a,b,cG,则（a） abacbc，（b） bacabc。定理3. 逆律设G是群，a,bG, 则(a) (a-1)-1=a,(b) (ab)-1=b-1a-1.（c）a-n(a-1)n定理4. 方程有唯一解设G是群，a,bG,则(a) 方程axb在G中有唯一解。(b) 方程yab在G中有唯一解。定理4. 定理4的逆：半群（A,*）方程axb，yab有唯一解，则（A,*）是群。证明. （1）A有单位元 （1）A有右单位元：取aA，axa有解为e，a e=a。证e是右单位元

7、。对任意bA，be=b:任意bA，xab，有界c， cab，be=cae=ca=b.（1”）A有左单位元同理xaa的解为e”， e”是左单位元，任bA，e”b=b。左右单位元相等e”=e”e=e,记为e，任意bA，beebb，e是单位元。（2）任意aA，a有逆元：（2）任意aA，a有右逆元：a, aa=e.（2”）任意aA，a有左逆元：a”, a”a=a.a”=a,记为a*，aa*=a*a=e.a*是a的逆元。aG，a的阶：使ake的最小的k。如无这样的k，称a为无限阶。a无限阶，任意nZ，ane.|G|有限时称G为有限群。群G的阶: |G|. 一阶群G=e, 二阶群Ge,aeaeeaaae三

8、阶群Ge,a,beabeeabaabebbea四阶群Ge,a,b,c*eabceeabcaabcebbceacceab例Klein四元群G=e,a,b,c*eabceeabcaaecbbbceaccbaeKlein 四元群是Abel群。例置换群，对称群Symetric GroupA1,2,3, A的所有置换对复合运算构成群： S3= f1,f2,f3,g1,g2,g3称(S3 ,*)为对称群，Group of symeries of a triangle。S3 的乘法表：f1f2f3g1g2g3f1f1f2f3g1g2g3f2f2f3f1g3g1g2f3f3f1f2g2g3g1g1g1g2g3

9、f1f2f3g2g2g3g1f3f1f2g3g3g1g2f2f3f1S4 四元对称群，是四个元素的置换组成的对称群，共有4！24个置换。不是四边形的所有对称。Sn n元对称群，是n个元素的置换组成的对称群，有n！个元素。An是Sn中所有偶置换组成的n元交代群,有n！/2个元素。A3 f1,f2,f3.剩余类群（Zn，），Zn0,1,n-1,简记为0,1,n-1.aZn，a-1na.循环群cycle group存在aG ，任意xG，xak，kZ。a的阶是n，Ge,a,a2,an-1 ak的逆是an-k。a无限阶，G,a-2,a-1,e,a,a2,Z是无限循环群，Zn是n阶循环群。有限群G是循环群

10、当且仅当存在aG，a的阶|G|.Klein四元群不是循环群。子群subgroup HG，H对于G的运算*构成群。H是G的子群当且仅当（1） eH（2） a，bHabH（3） aHa-1HH是G的子群当且仅当 a，bHab-1H.子群的例设G是群，He是子群。G是群，aG，Hak | kZ是子群，叫做a生成的子群。S3中，Hf1,f2,f3是f2生成的子群。交代群An是对称群Sn的子群。命题. 一个群的任意两个子群的交仍是子群。群的同构与同态isomorphism and homomorphism of groups同构f: （G1，*）（G2，*），f一一对应，保持运算。|G1|=|G2|, 对应元素有相同的阶。同态f: （G1，*）（G2，*），f多一 到上，保持运算。例13G是实数加法群,G是正实数乘法群。f:GGf(x)=ex, f-1(y)=ln y. 1. f处处有定义，2. 满3单4f(a+b)=eaeb, 保持运算。例1