第7章线性离散系统的分析与校正

1、第7章 线性离散系统的分析与校正重点与难点一、基本概念1. 脉冲传递函数及其特性脉冲函数的定义：脉冲函数的基本性质：脉冲函数的抽样性质：脉冲函数的频率特性的频谱：时移脉冲的频谱：均匀脉冲序列：其频谱为： 式中 为采样角频率。按照傅里叶反变换公式可得：2. 信号的采样及恢复设连续信号的频谱为的采样信号为故采样信号的频谱为：即连续信号经采样后，频谱产生周期性延拓。如果要使采样信号不失真地复显出，采样频率（或采样周期）与频谱必须满足以下条件： 为了避免高于频率的干扰频谱进入采样，造成频谱混淆，可以在采样信号后加一低通滤波器。最简单的低通滤波器是零阶保持器，它能把某一时刻的采样值，恒值地保持到下一个采

2、样时刻，其传递函数为频率特性为3. Z变换离散函数的Z变换定义为Z变换存在的条件是离散函数的Z变换方法有级数求和法、部分分式法和留数计算法等。Z反变换的方法有长除法、部分分式法、留数计算法等。4. 离散控制系统的数字描述差分方程表达了系统输出在采样时刻的性能。对于完全是离散的系统，其输入、输出信号均为离散信号的线性系统，可用N阶线性差方程来描述：y (t)x*(t)g(t)y*(t)图7.1 开环采样系统x(t)如图7.1所示的开环系统，为系统的连续时间脉冲响应。根据卷积和公式，时系统的输出为：当系统给定时，为常数。这样根据上式就可写出系统的差分方程。系统的脉冲传递函数（又叫传递函数）是指在零

3、初始条件下，系统输出的变换与输入的变换之比，即脉冲传递函数即可根据系统连续传递函数或脉冲响应求取，也可根据系统的差分方程求取。可以证明：当若干个环节串联时，如果环节间均有同步采样器，则系统总的传递函数等于各组成环节传递函数的乘积，即如果串联环节之间无同步采样器，则系统的传递函数等于各组成环节的传递函数相乘后的变换，即闭环系统的传递函数，根据采样开关的位置不同有不同的形式。几种典型闭环离散系统的方框图及其输出的变换参见表7-1。表7-1 几种典型闭环离散系统的方框图及其输出的变换 序号系 统 方 框 图输出的Z变换Y(z)12345 67 5. 离散控制系统分析离散控制系统的分析主要是稳定性、瞬

4、态质量和稳态误差的分析。（1）稳定性。对于离散系统，其稳定的条件是系统的极点均在平面上以原点为圆心的单位圆内。判定系统的极点是否在以原点为圆心的单位圆内可以对系统的传递函数进行变换或变换，即然后对变换后的（或）传递函数的特征方程，应用劳斯判据进行系统稳定性判别。（2）瞬态质量。如果离散系统的数学模型已知，则通过变换，可以方便地求出系统在典型信号作用下的瞬态响应，从而知道系统的瞬态质量。离散系统的瞬态响应决定于系统传递函数的零极点在平面上的分布。图7.2和图7.3示意性地绘制出了系统的极点位置与瞬态响应的对应关系。图7.2 不同实数根对应的时间响应（1），极点在单位圆外正实轴上，时间响应是发散的

5、；（2），极点在正实轴的单位圆上，时间响应始终等于；（3），极点在单位圆内正实轴上，时间响应为单调衰减过程；（4），同（3），更接近圆心，衰减过程更快；（5），极点在单位圆内负实轴上，时间响应为衰减振荡过程，系正负交替衰减振荡，振荡频率最高（周期为2T）；（6），极点在负实轴的单位圆上，响应的幅值为的正负交替等幅振荡；（7），极点在单位圆外负实轴上，响应为正负交替发散振荡过程。（3）稳态误差。单位反馈系统的稳态误差为由此可见，离散系统的稳态误差与输入信号和系统本身均有关系。和连续系统一样，对于不同参考输入，其稳态误差分别如下。当单位阶跃输入时，式中 ，称为位置误差系数。图7.3 不同实数根对应

6、的时间响应（1），极点在单位圆外正实轴上，时间响应序列是发散振荡的；（2），极点在正实轴的单位圆上，时间响应序列为等幅振荡；（3），极点在单位圆内，时间响应是衰减振荡序列，振荡周期为，如的的振荡周期为，的的振荡周期为，的的振荡周期为。 当单位斜坡输入时，式中 ，称为速度误差系数。当单位抛物线输入时，式中 ，称为加速度误差系数。和连续系统类似，离散系统可按有几个的极点来确定系统的类型。6. 最小拍采样系统的综合D(z)G(s)TTG0(s)图7.4 采样控制系统综合如图7.4所示，离散控制系统的综合，就是确定满足一定性能指标的数字校正装置。最小拍采样系统是从瞬态过程快速性加以考虑的。综合的目的是

7、使系统在一定输入信号作用下，其瞬态过程能在有限个采样周期（拍）内结束。综合的任务是要确定采样控制器的脉冲传递函数，保证闭环系统的传递函数为为有限值如图7.4所示的系统，校正装置的传递函数为式中 。对于无稳态误差的最少拍系统的综合，因不同，最少拍系统的性能也就不同。因此可以选择适当的，使系统对某种输入信号的稳态误差为零。二、难点及求解方法1变换及反变换在进行变换时必须注意输入部分和输出部分均可以按开关方式传输信号，否则会引起错误，的反变换可用进行部分分式展示，然后再进行反变换。2. 校正网络的设计当采样周期较小时，可以用连续域的方法先设计连续系统，然后再离散化。连续域的设计方法可参见第六章。3. 变换时的处理为了简化计算，在分析系统稳定性时，变换应该按下面方法进行。若特征方程按形式给出，则即先代入后展开。