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1、第七章 常微分方程7. 1一阶微分方程一、 知识结构1、可分离变量的微分方程2、一阶线性微分方程二、 考试大纲要求1、掌握可分离变量微分方程的解放。2、掌握一阶线性方程的解法。一、可分离变量的微分方程1、定义：设有一阶微分方程,如果其右端函数能分解成，即有则称为可分离变量的微分方程，其中都是连续函数. 讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1) y=2xy, 是. y-1dy=2xdx .(2) 3x2+5x-y=0, 是. dy=(3x2+5x)dx.(3) (x2+y2)dx-xydy=0, 不是.2、可分离变量的微分方程的解法 第一步 分离变量, 将方程写成g(y)dy =f(

2、x)dx的形式；第二步 两端积分:, 设积分后得G(y)=F(x)+C；第三步 求出由G(y)=F(x)+C所确定的隐函数y=F(x)或x=Y(y)G(y)=F(x)+C , y=F (x)或x=Y(y)都是方程的通解, 其中G(y)=F(x)+C称为隐式(通)解。例 求微分方程的通解.解 （1） 分离变量得（2） 两端积分得 从而,记则得到题设方程的通解 练 求微分方程的通解.解 先合并及的各项,得分离变量得 两端积分得 于是 记则得到题设方程的通解 （2006年试题）20：微分方程的通解为_。解：分离变量：两边积分：，所以：（2008年试题）20：微分方程的通解为_。解：分离变量：两边积分：，所以：二、 一阶线性微分方程1、定义（1）形如 （1）的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数、是某一区间上的连续函数. （一阶是指方程中导数的最高阶是一阶，线性是指和的次数都是一次）（2）当方程（1）成为 （2）这个方程称为对应于非齐次线性方程的一阶齐次线性方程. 相应地，方程（1）称为一阶非齐次线性方程.例： 下列方程各是什么类型方程？(1) 是齐次线性方程.(2) 3x2+5x-5y=0 y=3x2+5x , 是非齐次线性方程. (3) y+y cos x=e-sin x , 是非齐次线性方程.(4) ,

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