第七章一元二次方程导学案

1、第七章 一元二次方程 7.1一元二次方程学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。难点：由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。导学流程：一、自学课本导图，走进一元二次方程（1）.分析：如果设花边的宽为x米，那么地毯中央矩形图案的长为 米，宽为_,可列方程 （2）.分析：如果设五个连续整数中的第一个为x，那

2、么后面四个数依次可以表示为_,_,_,_.可得方程_（3）.由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙_米，如果设梯子底端沿地面向外滑动x米，那么滑动后梯子底端距墙_米，可得方程_.1.整理上述三个方程，你发现他们有什么共同特点？2.类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。_3.一元二次方程的一般形式可以表示为_,其中_分别被称为一元二次方程的二次项，一次项和常数项，_分别称为二次项系数和一次项系数。二、预习检测1、判断下列方程是否为一元二次方程。2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。 （1）（2）三、合作探究1、课本随堂练习12、课

3、本习题7.1第3题四、归纳小结1、本节课我们学习了哪些知识？2、学习过程中用了哪些数学方法？3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？五、达标测评（A）1、判断下列方程是否是一元二次方程;（1）（ ）（2） ( )(3) （ ） (4) ( ) 2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2x=2； （2）7x3=2x2;（3）(2x1)3x(x2)=0 （4）2x(x1)=3(x5)4.3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；（1） 1 2；（2） 2， 4（B）1、把方程 (化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、

4、一次项系数及常数项。2、要使是一元二次方程，则k=_.3、已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值。7.2用配方法解一元二次方程第 2 课 时学习目标：1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；难点：配方的过程。导学流程一、自主学习自学教科书例4，完成填空。二、精讲点拨上面，我们把方程x24x30变形为(x2)21，它的左边是一个含有未知数的_式，右边是一个_常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.练一练 ：配方.填空：（1）x26x（ ）（x ）2；（2）x28x（ ）

5、（x ）2；（3）x2x（ ）（x ）2；从这些练习中你发现了什么特点?(1)_(2)_三、合作交流 1、用配方法解下列方程：（1）x26x70；（2）x23x10.（2）移项，得x23x1.2、总结规律用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？四、深入探究 用配方法解下列方程：（1） （2） 这两道题与前面的两道题有何区别？请与同伴讨论如何解决这个问题？请两名同学到黑板展示自己的做法。五、课堂小结你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程？有哪些步骤？（学生思考后回答整理）七、达标测评（A）用配方法解方程：（1）x28x20 （2）x25x60. （3）2x2-x=67.3用公式法解一

6、元二次方程第1课时学习目标1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。重点：用公式法解简单系数的一元二次方程；难点：推导求根公式的过程。导学流程一、知识连接：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？2、用配方法解方程3x2-6x-8=0;二、合作探究，推导公式1、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下. ax2bxc0(a0).由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2 bxc0的求根公式：x( b24 ac0)2、师点拨：利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值

7、，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.三、合作交流b24 ac为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？四、例题解析(1) 2 x2x60； (2) x24x2；五、巩固练习1、做一做：(1)方程2x-3x+1=0中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ）(2)方程(2x-1)=-4中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ）.2、应用公式法解下列方程: (3) 5x24x120； (4) 4x24x1018x.六、课堂小结1、一元二次方程的求根公式是什么？2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？七、达标测评（A）1、应用公式法解方程：(1) x26x10； (2)3x(x3

8、) 2(x1) (x1).第2课时学习目标1、 了解什么是一元二次方程根的判别式；2、 知道一元二次方程根的判别式的应用。重点：如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况；难点：根的判别式的变式应用。导学流程复习引入一元二次方程ax2bxc0（a0）只有当系数a、b、c满足条件b24ac_0时才有实数根观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况： 当b24ac0时，方程有个的实数根；（填相等或不相等）当b24ac0时，方程有个的实数根x1x2当b24ac0时，方程实数根.精讲点拨这里的b24ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根

9、，如对方程x2x10，可由b24ac0直接判断它实数根；合作交流方程根的判别式应用1、不解方程，判断方程根的情况。（1）x22x80； （2）3x24x1；（3）x（3x2）6x20；（4）x2(1)x0；（5）x（x8）16；（6）（x2）（x5）1；2说明不论m取何值，关于x的方程（x1）（x2）m2总有两个不相等的实数根.解：把化为一般形式得b24ac拓展提高应用判别式来确定方程中的待定系数。（1）m取什么值时，关于x的方程x2-2xm20有两个相等的实数根？求出这时方程的根.解：因为b24ac因为方程有两个相等的实数根所以b24ac0，即解得=这时方程的根 （2）m取什么值时，关于x的

10、方程x2-(2m2)xm2-2m20没有实数根？课堂小结1、 使用一元二次方程根的判别式应注意哪些事项？2、 列举一元二次方程根的判别式的用途。达标测评（A）1、方程x2-4x40的根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；C.有一个实数根； D.没有实数根.2、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） Ax210 B. x2+x-10 C. x2+2x30 D. 4x2-4x103、若关于x的方程x2-xk0没有实数根，则（ ）A.k B.k C. k D. k 4、关于x的一元二次方程x2-2x2k0有实数根，则k得范围是（ ）A.k B.k

11、 C. k D. k （B）5、取什么值时，关于x的方程4x2-(2)x0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.6、说明不论取何值，关于x的方程x2(2)x0总有两个不相等的实根.第 3 课 时学习目标1、 掌握一元二次方程根与系数的关系，运用根与系数的关系解决相关待定系数的值。2、 通过对一元二次方程根与系数关系的探讨，经历和体验数学的发现过程，提高探究性学习的能力。重点：运用根与系数的关系求相关待定系数的值。难点：运用根与系数的关系解题必须是在b2-4ac不小于0的情况下。导学流程复习引入1、一元二次方程的一般形式是什么？2、一元二次方程的解法有几种？3、如何判断一元二次方程根的情况？4、

12、一元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式是什么？探究新知1、解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，观察表格中两个根的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？（1）2x0；（2）3x40；（3）25x-70方程2x03x4025x-702、请根据以上表格中的观察、发现进一步猜想：若方程ax2bxc0(a0)的根是、，则= ，= ，并加以证明。（学生分组交流、讨论，然后归纳总结）精讲点拨应用一元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式x=，可以分别求出与的值。一般地，如果关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0) 有两个根x1、x2 ，那么： =-， = .这就是一元二次方程根与系数的关系

13、。反馈练习1、下列方程两根的和与两根的积各是多少？-3y+1=0 3-2x=2 2+3x=0 4p(p-1)=3 2、关于x的方程x2-4x+5=0,下列叙述正确的是（ ）。 A、两根的积是-5； B、两根的和是5；C、两根的和是4； D、以上答案都不对 3、若1和3是方程x2-px+q=0的两根，则p= ;q= .思考：通过以上练习，可以发现利用一元二次方程根与系数的关系做题时，应注意哪些事项？拓展提高1、已知、是方程2+3x-4=0的两个实数根，则+的值是 。2、已知反比例函数，当x0时,y随着x的增大而增大，则关于x的方程a2xb0的根的情况是（ ）。 A、有两个正根； B、有两个负根；

14、C、有一个正根，一个负根； D、没有实数根。3、已知关于x的方程（k-1）+(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实数根、.（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在求出k的值；如果不存在，请说明理由。课堂小结1、 一元二次方程根与系数的关系是什么？2、 使用一元二次方程根与系数的关系应注意哪些事项？达标检测（A）1、已知、是方程-x-3=0的两个实数根，则= , = .2、若方程x2+px+2=0的一个根是2，则另一个根是 ，p= .3、下列方程中两根之和是2的方程是（ ） A、+2x+4=0 B、-2x-4=0 C、+2x-4=0 D、-2x+4=

15、04、已知、是方程-2x-3=0的两个实数根，则= , 。习题课学习目标能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程，培养探究问题的能力和解决问题的能力。重点：选择合理的方法解一元二次方程，使运算简便。难点：理解四种解法的区别与联系。复习提问（1）我们已经学习了几种解一元二次方程的方法？（2）请说出每种解法各适合什么类型的一元二次方程？精讲点拨观察方程特点，寻找最佳解题方法。一元二次方程解法的选择顺序一般为：直接开平方法 因式分解法 公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法，其中，公式法是一把解一元二次方程的万能钥匙，适用于任何一元二次方程；因式分解法和直接开平方法是特殊方法，在解符合某些特点的一

16、元二次方程时，非常简便。练习一：分别用三种方法来解以下方程（1）x2-2x-8=0 (2)3x2-24x=0 用因式分解法： 用配方法： 用公式法： 用因式分解法： 用配方法： 用公式法： 练习二：你认为下列方程你用什么方法来解更简便。 （1）12y2250； （你用_法） （2）x22x0； （你用_法） （3）x（x1）5x0； （你用_法）（4）x26x10； （你用_法） （5）3x24x1； （你用_法） （6） 3x24x. （你用_法） 对应训练1、解下列方程（1）（2x1）210； （2）（x3）22；（3）x22x80； （4）3x24x1；（5）x（3x2）6x20；（6）

17、（2x3）2x2.2、当x取何值时，能满足下列要求？（1）3x26的值等于21；（2）3x26的值与x2的值相等.3、用适当的方法解下列方程：（1）3x24x2x；（2）（x3）21；（3）x2(1)x0；（4）x（x6）2（x8）；（5）（x1）（x1）；（6）x（x8）16；（7）（x2）（x5）1；（8）（2x1）22（2x1）.4、已知y12x27x1，y26x2，当x取何值时y1y2？课堂小结根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下.拓展提高1、已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则 x2+y2 的值是（ ）（A）3或-2

18、 （B） -3或2 （C） 3 （D）-22、试求出下列方程的解：（1）(x-x)-5(x-x)+6=0 （2）7.5一元二次方程的应用第1课时 面积问题 学习目标通过建立一元二次方程的数学模型，使学生综合运用一元二次方程的知识解决实际问题.使学生通过实际操作，进一步培养学生分析解决实际问题的能力.增强数学应用与数学建模意识.学习方法 合作探究、活动参与、讨论交流工具准备投影片、长方形纸板教学内容及过程一创设情景，问题牵引(师) （1）如何把一张长方形硬纸片折成一个无盖的长方体纸盒？（2）无盖长方体纸盒的高与裁去的四个小正方形的边长有什么关系呢？（3）现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在

19、每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？设问 若设裁去的四个正方形的边长为x底面的长和宽能否用含x的代数式表示？（用虚线画出纸盒的底面）你能找出题中的等量关系吗？你怎样列方程？请每位同学自己检验两根，发现什么？(生) 设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0 (师)你用什么方法解方程?(生)公式法、配方法、分解因式法(师)大家的回答是正确的.你能选出最简便的方法吗?二合作讨论，探索新知（大约13分钟）(师)今天请大家为美化我们的校园献计献策：我们学校要在一块长16、宽12的矩形土地上建造一个花园，并

20、使花园所占面积为矩形土地面积的一半。你能给出设计方案吗？三以易带难,转化问题（大约15分钟）做一做：1在一幅长90m宽40m的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，若要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少？2某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m.（1）鸡场的面积能达到180m2吗?能达到200m2吗？（2）鸡场的面积能达到250m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。四实战反馈，形成能力（大约8分钟）八年级下册数学课本的封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的

21、矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？五回顾总结,反思提高（大约2分钟）(师)通过这节课的学习大家都有哪些收获和疑问？利用今天的方法还可以解决生活中的哪些问题?请举一例六、布置作业（大约1分钟）P68 复习题：（必做题）第6、7题（选做题）第8题板书设计 一元二次方程的应用引例（审题、设、列、解、验、答）例题 - 练习 - 作业-第2课时 增长率问题 学习目标：1、 会根据题意找出增长率问题中蕴含的基本等量关系2、 找出题目中的增长(降低)前的数据、增长（降低）后的数据，得到：增长后的产量增长前的产量（1+增长率）次

22、数3、 正确解方程并会结合实际问题检验方程的解是否符合题意一、探究问题1、小明的零花钱一月份是50元，二月份家长多给了10%，二月份零花钱是多少？ 三月份又多给了10%，那么三月份的零花钱是多少？-三个月共多少零花钱？-2、 小明的零花钱一月份是50元，二月份家长多给了x%，二月份零花钱是多少？-三月份又多给了x%，那么三月份的零花钱是多少？-三个月共多少零花钱？-3、某工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么二月份比一月份增产个？_增长率是 _ 。4、我市前年汽车有3万辆，据统计每年增长a%，去年我市汽车有的（ ）辆，今年我市汽车有的（ ）辆小组交流总结规律：（1）n年后

23、我市汽车有多少？5、 某种药品原价是100元，本月降价10%，现价是下月再降价10%，价格是多少_6、某商品原价是100元，经过2次降价现价64元，每次降价的百分比相同，问每次降价的百分比是多少？_综合上面4题，你们总结一下增长和降低问题的公式： 二、自我检测：1、我市前年汽车有3万辆，每年都在增长，今年达到了6.75万辆，如果每年的增长率相等，那么增长率是多少？ 2、商品原价是a元，降价两次（百分比相同）后是b元，求降低率3、2008年,张老师在中国农业银行按定期自动转存一年的方式,存入1000元,两年后,即2010年他连本带利取得了1100元,利息不扣税, ,问定期一年的年利率是多少?三、

24、交流展示：例1机动车尾气污染是导致城市空气质量恶化的重要原因。为解决这一问题,某市试验将现有部分汽车改装成液化石油气燃料汽车（成为环保汽车）。按计划，该是今年两年内将使全市的这种环保汽车有目前的325辆增加到637辆，求这种环保汽车平均每年增长的百分率。 解：设这种环保汽车平均每年增长的百分率为x，根据题意，得四、巩固练习：1、农场的粮食产量在两年内从600吨增加到726吨，平均每年增长的百分率是多少？2、某种商品两次降价后，每盒售价从6.4元降到4.9元，平均每次降价百分之几？3、某公司研制成功一种新产品，决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品，签定的合同约定两年到期是一次性还本付息，

25、利息为本金的8%，该产品很畅销，使公司在两年到期是还清本金和利息外，还盈余72万元，若公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数。五、交流你本节课的收获：求平均增长率的步骤： 第1步：设平均增长率为X； 第2步：利用原有产量与平均增长率X表示历次的产量； 第3步：根据题目的相等关系，列出方程； 第4步：解方程，求出X； 第5步：检验所求结果，做出答案。六、测试：甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元，该公司缴税的年平均增长率为多少第3课时 利润问题 学习目标：1、会根据题意找出销售利润问题中蕴含的基本等量关系。2、找出题目中的已知、未知量，并把它们之间的数量关系用代数

26、式表示出来。3、正确解方程并会结合实际问题检验方程的解是否符合题意。学习过程：一、探索规律（列出算式不计算） 1、某商品每件进价30元，售价40元，可得利润 元。 （1）若涨价2元，则售价 元，利润 元。 （2）若涨价3元，则售价 元，利润 元。（3）若涨价x元，则售价 元，利润 元。（4）若降价x元，则售价 元，利润 元。小组交流总结： 一件商品的利润= 如果该商品发生涨价或降价的变化，那么每件商品的利润= 2、某商品原来每天可销售80件，后来进行价格调整。（1）市场调查发现，该商品每降价3元，商场平均每天可多销售2件。 如果降价3元，则多卖 件，每天销售量为 件。如果降价9元，则多卖 件，

27、每天销售量为 件。如果降价x元，则多卖 件，每天销售量为 件。（2）市场调查发现，该商品每涨价1元，商场平均每天可少销售2件。 如果涨价2元，则少卖 件，每天销售量为 件。如果涨价3元，则少卖 件，每天销售量为 件。 如果涨价x元，则少卖 件，每天销售量为 件。小组交流总结： 价格调整后商品的销售量= 二、自学检测 1、某品牌服装每件进价a元，售价b元，降价x元后则每件利润为 元。 2、商场销售某品牌服装，每天售出a件。调查发现，该服装每涨价2元，商场平均每天可少销售m件，如果涨价x元则商场平均每天可销售 件。三、交流展示 1、新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元。市场调研表明：当售价2

28、900元时，平均每天能售出8台；而当售价每降低50元时，平均每天能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润每天达到5000元，每台冰箱应降价多少元？每台冰箱的定价应为多少元？（1）根据题意完成下表：每台利润（元）每天销售量（台）总利润（元）降价前降价50元降价100元降价x元（2）根据上表的分析，列方程解答：（3）若只求“每台冰箱的定价应为多少元？”你认为该怎样解答？说说你的思路。2、某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查发现，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个。应涨价多少元才能实现平均每月10000元的销售利润？这时商场应进台灯多少个？四、巩固练习1

29、、某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，每张贺年卡进价0.5元，以0.8元出售，平均每天可售出500张。为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张。商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？2、某经销单位将进货单价为40元的商品按50元售出时，一个月能卖出500个。已知这种商品每涨价1元，其销量就减少10个。为了赚得8000元的利润，销量又不超过300个，售价应定为多少？这时应进货多少个？3、商店把进货为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采用提高售价的办法增加利润，已知这种商品每涨价0

30、.5元，其销售量就减少10件，物价局规定该商品的利润率不得超过60，问商店应将售价定为多少，才能使每天所得利润为640元？商店应进货多少件？五、畅谈收获： 1、你学会了哪些知识？ 2、本节课你对自己表现的评价：六、课堂小测 某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，则每天可多销售5件。如果要盈利1600元每件应降价多少元？一元二次方程（复习课）复习目标1 了解一元二次方程的有关概念。2 能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。3 会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。4 掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。5 通过复习深入理解方程思想、转化思想、分类讨论思想、整体思想，并会应用；进一步培养分析问题、解决问题的能力。重点：能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。难点：1、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。2、掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。复习流程回忆整理1方程中只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：_ ( )其中二次项系数是 、一次项系数是 常数项 。例如： 一元二次方程7x3=2x2化成一般形式是_其中二次项系数是 、一次项系数是 常数项是 。