《金融数学》课件2－1等额年金

1、1,等额年金(I)（Level Annuity,孟生旺 中国人民大学统计学院,2,年金（annuity,最初的涵义：一年付款一次，每次支付相等金额的一系列款项。 现在的含义：一系列的付款（或收款,3,年金的类型,按照年金的支付时间和支付金额是否确定，分为确定年金(Annuity-certain)和风险年金(contingent annuity)。 按照年金的支付期限长短，分为定期年金（period-certain annuity)和永续年金（Perpetuity） 。 按照年金在每期的支付时点不同，分为期初付年金（annuity-due）和期末付年金（Annuity-immediate） 。

2、按照年金开始支付的时间不同，分为即期年金和延期年金（deferred annuity） 。 按照每次付款的金额是否相等，分为等额年金(level annuity)和变额年金(varying annuity,4,本节主要内容（等额年金,期末付年金（Annuity-immediate） 期初付年金（Annuity-due） 期初付与期末付年金的关系 延期年金（deferred annuity） 永续年金（Perpetuity,5,1、 期末付年金（Annuity-immediate,期末付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期末付款1,6,的表达式 n期期末付年金的现值记为 ，a表示annuity

3、，i表示每期的实际利率（可省略）。 在第1个时期末付款1的现值为 ，在第二个时期末付款1的现值为 ，这样继续下期，直到第n个时期末付款1的现值为 ，故,期末付年金的现值,7,期末付定期年金的现值,8,的表达式 n期期末付年金在 n时的积累值之和记为 ， i 表示每期的实际利率（可省略）。 在第1个时期末付款1的积累值是 ，在第二个时期末付款1的积累值为 ，第n个时期末付款1的积累值为1,期末付年金的累积值（终值,9,期末付定期年金的终值,10,一些等价关系式,1） 含义：初始投资1，历时n个时期。在每个时期，此投资1将产生在期末支付的利息i，这些利息的现值为 。在第n个时期末，收回本金1，其现

4、值为 。 （2） 含义：积累值等于现值乘以积累因子,1,i,i,i,1,0,11,3） 证明,参见下页图示,12,0,n,1,i,i,i,i,i+1,1,13,例 ：有一笔1000万元的贷款，为期10年，若年实际利率为 9，试对下面三种还款方式比较其利息总量。 本金和利息在第10年末一次还清； 每年产生利息在当年末支付，而本金在第10年末归还。 在10年期内，每年末偿还相同的金额。 问题：请先推测大小,14,解： （1）贷款在10年末的累积值为 利息总额为 2367.36-10001367.36 （2）每年的利息为90万元，利息总额为 1090900,15,3）设每年的偿还额为R，则 解得 故

5、利息总额为155.82101000558.2 结论：偿还越迟，利息总量越高,16,2、 期初付年金（annuity-due,期初付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期期初付款1。 1 1 1 1 1 0 1 2 3 n-1 n,17,期初付定期年金的现值,18,期初付定期年金的终值,19,记号 表示期初付年金的现值，i 可省略 记号 表示期初付年金的积累值，i可省略,20,和 的关系 （1） （2,显然,证明见下页,21,证明,参见下图解释,22,0,n,1,d,d,d,d,1,1,d,23,3、期初付年金和期末付年金的比较,期末付年金 期初付年金,24,期末付年金与期初付年金的关系 （1）

6、 （2,25,3,下页图示,说明: 的 n 次付款可以分解为第1次付款再加上后面的 (n 1) 次付款。第1次付款的现值为1元，而后 (n 1) 次付款的现值为,26,1,Present value,27,4,1,1,1,1,n期,1,28,4、延期年金（deferred annuity,延期年金的含义：推迟若干时期后才开始付款的年金。 推迟m个时期，且随后有n个时期的期末付年金可看作一个mn期期末付年金扣除一个m期的年金。 延期年金现值为,29,例： 某年金共有7次付款1，分别在第3期末到第9期末依次支付。求此年金的现值和在第12期末的积累值,30,年金的现值等于,也等于,31,此年金在第1

7、2期的积累值等于,也等于,32,5、永续年金（Perpetuity,永续年金：可以持续支付下去的年金，没有结束日期。 记号 表示期末付永续年金的现值。 永续年金可看作将本金 按利率 i 投资，每期支付利息 ，本金持续进行投资,33,记号 表示期初付永续年金的现值,34,n 年的期末付年金可看作下述两个永续年金之 差： 第一个是每年末付款1，现值为 ； 第二个是推迟 n 年，从 n + 1年开始每年支付1，现值为 ，因此 n 年的期末付年金的现值等于,参见下图,35,现金流时间图,36,年金公式比较,37,例： 某人留下遗产10万元。第一个10年将每年的利息付给受益人A，第二个10年将每年的利息

8、付给受益人B，二十年后将每年的利息付给慈善机构C。若此项财产的年实际收益率为7，确定三个受益者的相对受益比例,38,解：10万元每年产生的利息是7000元。 A所占的份额是 B所占的份额是 C所占的份额是,39,从现值的角度看，A、B、C受益比例近似为49，25和26。 注：C的受益也可以看作在20年末一次性得到10万元，其现值等于,40,6、可变利率年金,问题：如果用 ik 表示第k个时期的利率，即从时刻k-1到时刻 k 这段时间的利率， 分别表示第1，2，t 期的利率。如何计算年金的现值和累积值,0,1,2,n-1,n,i1,i2,in,41,例：第一年初的1元，计算它在第二年末的终值时，

9、它在第2年的利率按什么计算？ 以它投资时的利率i1计算 以第二年的利率i2计算,0,1,2,i1,i2,1,42,期末付年金的现值,解决途径：1、每笔款项以经历时期的利率计算,0,1,2,n-1,n,i1,i2,in,1,1,1,1,43,期初付年金的现值,0,1,2,n-1,n,i1,i2,in,1,1,1,1,44,期末付年金的累积值,0,1,2,n-1,n,i1,i2,in,1,1,1,1,45,期初付年金的累积值（请大家写出,0,1,2,n-1,n,i1,i2,in,1,1,1,1,46,2、每笔款项都以其支付时的利率 ik 计算（了解,期末付年金的现值 期末付年金的累积值,0,1,2,n-1,n,i1,i2,in,1,1,1,1,47,期初付年金的现值 期初付年金的累积值,0,1,2,n-1,n,i1,i2,in,1,1,1,1,48,注： 1、在可变利率条件下，下式仍然成立（请验证）： 2、在实践中，利率常常是几个时期才改变一次。此时，可以