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1、3 代数方程的特殊解法 阿贝耳证明了五次及更高次的一般方程没有代数解法.可是阿贝耳定理并没有回答这个问题：每个给定的具体方程有没有代数解法.伽罗瓦证明了：存在用代数方法不能解的具体整系数代数方程.例如x5x+1=0伽罗瓦还找出方程能用根式求解的充分必要条件.1.求有理根根据上一节中“整根与有理根”的性质，可以求某些具体方程的有理根.例 求方程的有理根.解 因为该方程的有理根的p和q都是2的约数，所以它们是1，1，2和2.因此的可能值为1，1，2和2.用综合除法(见2，一)检验： 1) 2 3 2 2 1) 2 3 2 2 2 1 1 2 5 7 2 1 1 3 2 5 7 5 2 3 2 2

2、2 3 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 4 4 0所以为已知方程的一个有理根.原式除以,得商式 即 塔顶判别式480，它的两个根是一对共轭复根.因此原方程只有一个有理根.2.解三项方程形如au2n+bun+c=0的方程称为三项方程，其中a,b,c,n都不等于零,n为整数.它可用根式解.令un=x，得二次方程ax2+bx+c=0. 例 解方程 解 令,则得，它的根是和.从得.所以.代入原方程检验，可知这四个数是方程的根.3.解倒数方程形如axn+bxn1+cxn2+L+cx2+bx+a=0（其中xn-k和xk项的系数相同）的方程称为倒数方程.倒数方程的任一根不等于零.1 偶数次(n=

3、2k)倒数方程两边除以xk，再令z=x+，则原方程可化为z的k次方程，解此方程，得z的值，然后对应的x值可由二次方程x2zx+1=0求出.2 解奇数次(n=2k+1)倒数方程归结为解偶数次倒数方程.例 解方程解 为原方程的一个根，把方程除以,得4次倒数方程：把它除以,然后并项，得令,则,从而上式变为由此得.因而有确定的两个方程： 和 由此得4.解二项方程形如xnA=0的方程称为二项方程.它的n个根就是复数A的n次方根.如果把A写为A=r(cos+isin)则方程xnA=0的n个根是 (k=0,1,2,L,n1)几何说明：复平面上与数r(cos+isin)的n次方根对应的点是一个正n边形的顶点，这些顶点在以原点为中心，以为半径的圆上.而这个n边形的顶点之一有辐角.图3.1表示n=6的情形.若A=1，则xn=1的解称为n次单位根.n个n次单位根为 cos+isin(k=0,1,2,L,n1) 图 3.1如果是其中一

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