第二章经典力学基础

1、第二章 经典动力学基础2-1 约束2-1-1 完整约束假定系统的位形由个广义坐标规定，并存在如下的个独立的约束方程 （=1,2, ，） （2-1）可以用这种方式表示的约束，就叫做完整约束，相应的系统就叫做完整系统。式（2-1）表示的约束方程，如显含时间时叫做非定常约束（或叫非平稳定约束）；如不显含时间时叫做定常约束（或叫平稳约束）。2-1-2 非完整约束现在来考察受个约束的系统，这些约束有如下的不可积的微分表达式 （=1,2, ，） （2-2）一般来说，式中的及都是诸和的函数，这种约束叫做非完整约束。由于式（2-2）的不可积性，因而找不到如式（2-1）所表达的函数，故也无法利用这些函数以消去某

2、些变量而找到一组独立的广义坐标。因而，要描述非完整系统，需要的坐标数总是大于系统的自由度数。2-2 达朗贝（DAlembert）原理再来考察具有个质点的系统，对于每个质点写出牛顿第二定律 （2-3a）或 （2-3b）式中和分别为作用在第个质点上的主动力和约束力；具有力的量纲，叫做作用于第个质点上的惯性力；其中是常质量；而是相对于惯性参考系的加速度矢量。与惯性力不同，习惯上把和叫做真实力或实际力。因此，式（2-3b）表示作用于系统的每个质点上的全部真实力和惯性力之矢量和等于零。这一结果，把一个动力学问题化成一个静力学问题，也就是通常所说的动静法。2-3 广义力设若给定作用于具有个质点的系统上的一

3、组力，则这些力的虚功为（2-4）现在假定3个通常的直角坐标，经式的变换，使其与个广义坐标相联系，则有 （=1,2, ，3N ） （2-5）一般说来，上式中的为诸和的函数。 （2-6）式中（2-7）因此，和分别叫作相应于广义坐标的广义力和广义虚位移。广义力的量纲取决于广义坐标的量纲，但是不管在什么情况下，乘积必须是功或能的量纲，换言之，与在能量的意义上共轭，这一点必须牢牢记住。在表述虚功原理时，广义力的概念是非常有用的。假定所考虑的是无初速的完整系统，它受有固定的无功约束。如果系统的位形是用独立的广义坐标来表示，则系统处于静平衡的充要条件是主动力产生的全部广义力都等于零。2-4 拉格朗日（Lag

4、range）方程2-4-1 功与动能考察一个具有个质点的系统，各质点相对于惯性参考系的直角坐标为。系统的动能可表成（2-8）现用广义坐标来表示功能。设诸与诸之间有如下的变换式： （2-9）此外假定这些函数对于和是二次可微的。于是有（2-10）上式中对于诸是线性的，而和都是诸和的函数。将式（2-10）代入式（2-8），则有（2-11）式中 （2-12a,b） （2-13） （2-14）其中 ；从式（2-12a，b）、（2-13）和式（2-14）可看出是诸的齐次二次函数，是诸的齐次一次函数，而则是诸和的函数。需要指出，系数和也都是诸和的函数。2-4-2 拉格朗日方程现在假设系统是完整的，并且系统的

5、位形由一组独立的广义坐标诸来描述。如果诸都是独立的，则有 （） （2-15）式（2-15）就叫做拉格朗日方程。上面我们推导了位形由一组独立广义坐标给定的完整系统的拉格朗日方程式（2-15）。现在再假定所有的广义力都可由位能函数导出，即（2-16）将式（2-16）代入式（2-15），则可得： （） （2-17）再定义一个函数 （2-18）叫做拉格朗日函数（也叫做动势），则式（2-17）又可写成： （） （2-19）式（2-19）就是完整系统拉格朗日方程的标准形式。如果广义力中有一部分可由位能函数导出，而另一部分不能由位能函数导出，即 （） （2-20）则式（2-15）及式（2-18）可得： （）

6、 （2-79）式中是不能由位能函数导出的广义力，例如摩擦力就是一个典型的例子。2-4-3 示例分析例21：两质点及由无质量杆悬挂而构成双摆，如图2-1所示。假定全部运动发生在铅直平面（）内，试求运动微分方程。再假设运动为微小运动，试将这些方程线性化。图2-1 双摆几何约束条件： （a）四个直角坐标，二个约束条件，故体系只有二个自由度。现取及作为二个独立广义坐标。， ， ， ，把看成，看成，并将及的表达式代入拉格朗日方程，则可得： （ b）方程（b）为非线性，不易求解。现在就微小运动的情况把方程（b）线性化，即假定、以及它们对时间的导数都远小于1。因此可近似地取， 方程（b）此时变成 （c）这里

7、已略去诸微量的高次项。式（c）写成矩阵形式为： （d）对应于上式的惯性矩阵为，其元素为，动能的正定性条件为：，即可见的正定条件是满足的，因此是正定的，方程（c）是动耦合、静不耦合。例22：图2-2表示两自由度体系，弹簧为线性弹簧，小质量通过一根无质量刚杆（长度为）可绕大质块的中心摆动，为作用在上的力，试推导这个系统的方程。 图22 惯性摆求解步骤如下：把和作为二个广义坐标，的直角坐标为：，的直角坐标系中的速度分量为：， （a）现在再来求相应于和的广义为和。利用虚功条件（在两个坐标系中主动力所作的虚功应相等）即可求得：由上式可知相应于广义坐标的广义为，相应于广义坐标的广义为。在式（a）中将，则相

8、应的， （b）将式（a）和（b）代入拉格朗日方程，可得 （c）假设运动为微小运动，如例1，式（c）可简化为（d）或写成矩阵形式：（e）由式（e）可看出，体系的动能T是正定的。式（e）也是动耦合、静不耦合。2-5 哈密尔顿原理在上面各节中，运动方程是以微分形式来表示。这种方法着重考察系统随时间而演变的情况。另一方面，可以用变分原理作为描述动力学系统的依据。这种方法是从整体上来观察系统的运动，并且要求在位形空间中找出一条路径，使某一积分具有驻值。在经典动力学中一个十分重要的变分原理就是哈密尔顿原理，这个原理首次发表于1934年。设有一个由个质点构成的系统，该系统相对于惯性参考系的位形由矢量给出。应

9、用拉格朗日形式的达朗贝原理，有 （2-22）式中是作用在第个质点上的主动力。现假定诸虚位移是可逆的并与瞬时约束相一致，而这些约束都看成是无功约束。现对系统的动能写出其变分的表达式（2-23）但 （2-24）式（2-24）中的第二项是由而得到的。由式（2-22）、（2-23）及（2-24）可得（2-25）现将上式在积分限和之间对时间进行积分，并用代表主动力的虚功，则有 （2-26）另外，假定在时刻和时系统的位形已被规定，即变分在时刻和上都是零。于是有 （2-27）显然，上式中的和的值是与坐标无关的。现在把表达式改用广义坐标来表示，则动能T便成为诸、和的函数，而虚功为：（2-28）式中诸是主动的广

10、义力。于是式（2-27）可以写成： （2-29）其中诸在时刻和都等于零。对于受约束的系统，还需要诸必须与瞬时约束相一致。式（2-27）或式（2-29）往往被当作哈密尔顿原理的广义形式。实质上，从推导的过程可以看出，它是式（2-22）所示的达朗贝原理的积分形式，并且适用于同样广泛的各种力学系统。而哈密尔顿原理的通常形式却适用于较为有限的一类系统。现在就来推导这个通常形式。假定所有主动力都可由位能函数导出，则有（2-30）在这里必须指出，一般来说，不是W的变分；而却显然是V的变分。再从式（2-23）可看出是的变分，所以 （2-31）于是由式（2-27）可得 （2-32）其中仍然取固定的端点和（见图2-3）。对于完整系统，积分运算和变分运算是可以交换的，因此以代换后，得（2-33）这里实际路径和变更后的路径（见图2-3）都满足每个完整约束所加上的条件。图2-3 在（）维位形空间中的实际路径和变更后的路径由此得到哈密尔顿原理如下：在位形空间中完整动力学系统于固定的时间区间到内所经过的实际路径能使积分（2-34）对于路径变更来说取驻值，而在路径的端点上这些变更都为零。从数学分析中可以知道，当和具有所要求的平滑度时，而且诸是独立的，则作为的充要条件是 （）上式就是拉格朗日方程。因此哈密尔顿原理和拉