第五章基本极限定理

1、第五章 基本极限定理【授课对象】理工类本科二年级【授课时数】2学时【授课方法】课堂讲授与提问相结合【基本要求】1、理解切比雪夫(车贝晓夫)不等式；2、了解车贝晓夫大数定理及Bernoulli大数定理；3、知道独立同分布的中心极限定理，了解德莫佛拉普拉斯中心极限定理。【本章重点】车贝晓夫不等式，车贝晓夫大数定理及Bernoulli大数定理。【本章难点】对车贝晓夫大数定理及独立同分布的中心极限定理的理解。【授课内容及学时分配】5.0 前 言在第一章中我们曾提出，大量重复试验中事件发生的频率具有稳定性，随着试验次数的无限增大，事件在次试验中出现的次数与试验次数之比(即频率)稳定在某个确定的常数附近（

2、频率的稳定性），以此常数来近似作为事件在一次试验中发生的概率，并在实际中，当充分大时，用频率值作为概率值的近似估计。对于这些，我们需要给出理论上的说明，而这些理论正是概率论的理论基础。5.1 切比雪夫不等式及大数定律一、切比雪夫不等式定理1 设随机变量具有有限的期望与方差，则对，有或证明：仅对连续的情形给予证明，设的分布函数为，则该不等式表明：当很小时，也很小，即的取值偏离的可能性很小。这再次说明方差是描述取值分散程度的一个量。在理论上切比雪夫不等式常作为其它定理证明的工具。二、大数定律(包括强大数定律和弱大数定律，本书主要讲弱大数定律)定义：设是随机变量序列，它们都具有有限的数学期望，若对，

3、则称服从弱大数定律。定理2（车贝晓夫大数定律）设相互独立的随机变量分别具有数学期望及方差，若存在常数使（方差一致有界），则服从大数定律。既对任意的，有证明：由车贝晓夫不等式知：有：注：切比雪夫大数定律是最基本的大数定理，作为切比雪夫大数定律的特殊情形有Bernoulli 大数定理和Poisson大数定律。定理3（Bernoulli 大数定理）设是重Bernoulli试验中事件出现的次数，已知在每次试验中出现的概率为，则对，证明：令，则，于是由切比雪夫不等式，对，有即 。故服从大数定律。 可见，只要把看作服从（0-1）分布的随机变量即可。Bernoulli 大数定律在理论上说明了在大量重复独立实

4、验中，事件出现频率的稳定性，正是因为这种稳定性，概率才有客观意义。而Poisson大数定律则为切比雪夫大数定律的另一特例定理4（Poisson大数定律）设是n次独立试验中事件A出现的次数，已知在第次试验中A出现的概率为（）,，则对 |=0 证：（略）显然，Poisson大数定律是作为Bernoulli大数定律的推广，它表明随着n，n次独立试验中事件A出现的概率稳定于各次试验中事件A出现的概率的算术平均值。推论：设是相互独立的随机变量，且服从相同的分布，则有： 即以概率1收敛于这个结论有很实际的意义：人们在进行精密测量时，为了减少随机误差，往往重复测量多次，测得若干实测值，然后用其平均值来代替。

5、5.2 中心极限定理设是相互独立的随机变量序列，令= 则=，设=（标准化）， 下面研究的分布：Df1：设n为相互独立的随机变量序列，若P以概率1收敛于标准正态分布的分布函数, 即 P=，则称n服从中心极限定理。Df2:（不讲）设随机变量的分布函数为(X), (X) ，若(X)弱收敛于正态分布的分布函数，则称渐近于正态分布中心极限定理有多种不同的形式，下面我主要讲两种形式：一、独立同分布的中心极限定理定理1:(莱维林德伯格定理)设是独立同分布的随机变量序列，（有限），若，随机变量的分布函数收敛于标准正态分布的分布函数，即 ，则服从中心极限定理。证：（略）更进一步的有：对，二、德莫佛拉普拉斯中心极限定理定理2: 设是n重Bernoulli试验中成功的次数，已知每次试验成功的概率为，则对有或，有证明： 令 则为独立同分布的随机变量序列,且 显然：， 此时该定理为上定理的一个特殊情形，故由上定理该定理得证。作为以上二定理的应用，我们给出下面例子：Ex1：（关