第五讲导数及其应用

1、个 性 化 教 学 设 计 教 案授课时间： 2011 年7月 24 日（ 8：00-10：15 ）备课时间： 2011 年 7 月 20 日年级： 高二 学科： 数学 课时：3学生姓名： 课题名称第五讲 导数及其应用授课教师：曾先兵教学目标1.导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景。（2）理解导数的几何意义。2导数的运算（1）能根据导数定义求函数为导数（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。（3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。3导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调

2、区间（其中多项式函数一般不超过三次）。（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。4生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题5定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。（2）了解微积分基本定理的含义。教学过程一、导数的概念及几何意义1函数在xx0处的导数及导函数的概念2导数的几何意义：f(x0)是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f

3、(x0)(xx0)二、导数运算1求导公式(1)C0(其中C为常数)；(2)(xn)nxn1(nQ)；(3)(sinx)cosx；(4)(cosx)sinx；(5)(ln x)，(logax)logae；(6)(ex)ex，(ax)axln a.2导数的四则运算法则(1)(uv)uv；(2)(uv)uvuv；(3)(v0)；(4)yf(x)的导数yxyuux(其中u(x)三、导数的应用1利用导数求曲线的切线2利用导数判断函数的单调性(1)导数与单调性的关系：在某个区间内，如果f(x)0(f(x)0得函数的递增区间；解不等式f(x)0得函数的递减区间3利用导数求函数的极值、最值(1)求极值的一般步

4、骤：求f(x)；求方程f(x)0的根；检验f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的符号，左正右负极大值，左负右正极小值(2)连续函数在闭区间a，b上必有最大值、最小值，先求出使方程f(x)0的所有点的函数值，再与端点函数值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值4利用导数综合研究函数的性质、函数的零点、方程的根、构造函数证明不等式等问题四、定积分1定积分的几何意义：如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且f(x)0，那么f(x)dx的几何意义是直线xa，xb，y0与曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积2微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)

5、，那么f(x)dxF(b)F(a)1：利用导数研究曲线的切线求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数在点的导数，即曲线在点处切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。注：当曲线在点处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为；当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。例1：曲线在点处的切线方程为（ ）（A） （B） （C） （D）2：利用导数研究导数的单调性利用导数研究函数单调性的一般步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式0或0。若已知的单调性，则转化为不等式0或0在单

6、调区间上恒成立问题求解。例2：已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性. 例3 :已知函数f(x)(x33x2axb)ex.如ab3，求f(x)的单调区间；3：利用导数研究函数的极值与最值1利用导数研究函数的极值的一般步骤：（1）确定定义域。（2）求导数。（3）或求极值，则先求方程=0的根，再检验在方程根左右值的符号，求出极值。（当根中有参数时要注意分类讨论）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程=0的根的大小或存在情况，从而求解。2求函数的极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。例4：已知函数（）求函数的单调区间和极值；（）已知函

7、数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，例5:已知函数f(x)，g(x)alnx， aR.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；(2)设函数h(x)f(x)g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值(a)的解析式；(3)对(2)中的(a)，证明：当a(0，)时，(a)1.课堂练习1.(1)axdx，bexdx，csinxdx，则a、b、c大小关系是()Aacb Babc Ccba Dca0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,，若a1=16，则a1+a3+a5的值是_9函数的单调减区间为 。10已知函数.

8、当时，求函数的最小值；若在上是单调函数，求的取值范围.11已知函数，（）若函数在处取得极值，试求的值，并求在点处的切线方程；（）设，若函数在上存在单调递增区间，求的取值范围参考答案1C 2D 3A 4C 5C 6C 78【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由，即可求得切线与x轴交点的横坐标。【规范解答】由y=x2(x0)得，所以函数y=x2(x0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，所以.【答案】219【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。，由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。【答案】10解析：（1）当时， 2分令得或（，舍去负值）。 3分函数及导数的变化情况如下表：当时，函数的最小值是 6分（2）， 7分令要使在上为单调函数，只需对，都有或， 8分当时，恒成立即恒成立； 10分当