第八章第三节抛物线

1、第八章 第三节 抛物线题组一抛物线的定义及应用1.已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线 上，且2x2x1x3，则有 () A|FP1|FP2|FP3| B|FP1|2|FP2|2|FP3|2 C2|FP2|FP1|FP3| D|FP2|2|FP1|FP3| 解析：由抛物线的定义知，|FP1|x1， |FP2|x2，|FP3|x3， 2x2x1x3，2|FP2|FP1|FP3|. 答案：C2已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，2)到焦点的距离 为4，则m的值为 () A4 B2 C4或4 D12或2 解

2、析：设标准方程为x22px(p0)， 由定义知p到准线距离为4， 故24，p4， 方程为x28y，代入P点坐标得m4. 答案：C题组二抛物线的标准方程及几何性质3.抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M到x轴的距离是 () A. B. C1 D. 解析：抛物线化标准方程为x2y，准线方程为y，M到准线的距离为1，所 以到x轴的距离等于1. 答案：D4(2009山东高考)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于 点A.若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 () Ay24x By28x Cy24x Dy28x 解析：不论a值正负，抛物线的焦点坐标都是

3、(，0)，故直线l的方程为y2(x)， 令x0得y，故OAF的面积为|4，故a8. 答案：B5(2010湛江模拟)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与抛 物线C交于A，B两点若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为 _ 解析：设抛物线方程为y2ax.A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1y24，yax1， yax2， 得yya(x1x2)， (y1y2)a， a414，y24x. 答案：y24x题组三直线与抛物线的位置关系6.已知过抛物线y26x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是 () A.或 B.或 C.或 D. 解析：抛物线焦点是(，0)， 设直线方程

4、为yk(x)， 代入抛物线方程，得k2x2(3k26)xk20， 设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2， |AB|x1x2p312，解得k1， 直线的倾斜角为或. 答案：B7已知M(a,2)是抛物线y22x上的一定点，直线MP、MQ的倾斜角之和为，且分 别与抛物线交于P、Q两点，则直线PQ的斜率为 () A B C. D. 解析：由题意得M(2,2)， 设P(，y1)，Q(，y2)， 由kMPkMQ，得， 得y1y24， 故kPQ. 答案：B8已知抛物线C的方程为x2y，过点A(0，1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有 公共点，则实数t的取值范围是 () A(，1)(1

5、，) B. C(，2)(2，) D(，)(，) 解析：过点A(0，1)和点B(t,3)的直线方程为 ，即4xtyt0， 由得2tx24xt0， 1642t20，t. 答案：D题组四抛物线的综合问题9.如图，F为抛物线y22px的焦点，A(4,2)为抛物线内 一定点，P为抛物线上一动点，且|PA|PF|的最小值 为8. (1)求该抛物线的方程； (2)如果过F的直线l交抛物线于M、N两点，且|MN|32， 求直线l的倾斜角的取值范围 解：(1)设P点到抛物线的准线x的距离为d，由抛物线的定义知d|PF|， (|PA|PF|)min(|PA|d)min4， 48p8， 抛物线的方程为y216x.

6、(2)由(1)得F(4,0)，设直线l的方程为yk(x4)，显然k0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 把直线方程代入抛物线，得k2x2(8k216)x16k20， x1x2，x1x216， |MN| 1632， k21，即1k1， 直线l斜率的取值范围为1,0)(0,1， 直线l倾斜角的取值范围为.10(2009江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，拋物线C的顶 点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上 (1)求拋物线C的标准方程； (2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程； (3)设过点M(m,0)(m0)的直线交拋物线C于D、E两点，ME2DM， 设D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式 解：(1)由题意，可设拋物线C的标准方程为y22px. 因为点A(2,2)在拋物线C上，所以p1. 因此，拋物线C的标准方程为y22x. (2)由(1)可得焦点F的坐标是(，0)， 又直线OA的斜率为1， 故与直线OA垂直的直线的斜率为1. 因此，所求直线的方程是xy0. (3)法一：设点D和E的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，直线DE的方程是yk(x m)，k0. 将xm代入y22x，有ky22y2km0， 解得y1,2. 由ME2DM知12(1) 化简得k2. 因此DE2(x1x2)2(