高考数学大一轮复习 6.2等差数列及其前n项和课件 理 苏教版.ppt

1、6.2等差数列及其前n项和,第六章数 列,数学 苏（理,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,1.等差数列的定义 如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是,从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,公差,d,ana1(n1)d,3.等差中项 如果 ，那么A叫做a与b的等差中项,4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anam (n，mN*). (2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则 . (3)若

2、an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为,nm)d,akalaman,2d,4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列. (5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak 2m， (k，mN*)是公差为 的等差数列,md,5.等差数列的前n项和公式 设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn 或Sn,6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 数列an是等差数列SnAn2Bn(A、B为常数). 7.等差数列的前n项和的最值 在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最 值,大,小,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一个数列从第二项起每一

3、项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.() (2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.() (3)等差数列an的单调性是由公差d决定的.(,4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.() (5)数列an满足an1ann，则数列an是等差数列.() (6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列.(,12,20,88,49,解析,nSn的最小值为49,例1 (1)在数列an中，若a12，且对任意的nN*有2an112an，则数列an前10项的和为,题型一 等差数列基本量的运算,解析,答案,思维升

4、华,例1 (1)在数列an中，若a12，且对任意的nN*有2an112an，则数列an前10项的和为,题型一 等差数列基本量的运算,所以数列an是首项为2,解析,答案,思维升华,例1 (1)在数列an中，若a12，且对任意的nN*有2an112an，则数列an前10项的和为,题型一 等差数列基本量的运算,所以数列an是首项为2,解析,答案,思维升华,1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题,例1 (1)在数列an中，若a12，且对任意的nN*有2an112an，则数列an前10项的和为,题型一 等差数列基

5、本量的运算,解析,答案,思维升华,2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法,例1 (1)在数列an中，若a12，且对任意的nN*有2an112an，则数列an前10项的和为,题型一 等差数列基本量的运算,解析,答案,思维升华,解析,答案,思维升华,例1(2)(2013课标全国改编)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m,由题意得amSmSm12， am1Sm1Sm3，故d1， 因为Sm0,例1(2)(2013课标全国改编)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m,

6、解析,答案,思维升华,例1(2)(2013课标全国改编)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m,因为amam1Sm1Sm15， 故amam12a1(2m1)d (m1)2m15， 即m5,解析,答案,思维升华,例1(2)(2013课标全国改编)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m,因为amam1Sm1Sm15， 故amam12a1(2m1)d (m1)2m15， 即m5,5,解析,答案,思维升华,例1(2)(2013课标全国改编)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m,5,1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉

7、及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题,解析,答案,思维升华,例1(2)(2013课标全国改编)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m,5,2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法,解析,答案,思维升华,跟踪训练1(1)若等差数列an的前5项和S525，且a23，则a7,故a35，公差da3a22， a7a25d35213,13,S426d20， d3， 故S6315d48,2)记等差数列an的前n项和为Sn，若a1 ，S420，则S6,

8、48,数列an的公差为2,2,例2(1)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9,题型二等差数列的性质及应用,解析,答案,思维升华,由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列. 即2(S6S3)S3(S9S6)， 得到S9S62S63S345,例2(1)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9,题型二等差数列的性质及应用,解析,答案,思维升华,例2(1)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9,题型二等差数列的性质及应用,由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列. 即2(S6S3)S3(S9

9、S6)， 得到S9S62S63S345,45,解析,答案,思维升华,在等差数列an中，数列Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列； 也是等差数列.等差数列的性质是解题的重要工具,例2(1)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9,题型二等差数列的性质及应用,45,解析,答案,思维升华,解析,答案,思维升华,例2(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为,因为a1a2a334，an2an1an146， a1a2a3an2an1an34146180， 又因为a1ana2an1a3an2， 所以3(a1an)18

10、0，从而a1an60,例2(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为,解析,答案,思维升华,例2(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为,解析,答案,思维升华,例2(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为,13,解析,答案,思维升华,例2(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为,13,在等差数列an中，数列Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列； 也是等差

11、数列.等差数列的性质是解题的重要工具,解析,答案,思维升华,解析,答案,思维升华,例2(3)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 014， 6，则S2 016,由等差数列的性质可得 也为等差数列,设其公差为d,d1,S2 01612 0162 016,例2(3)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 014， 6，则S2 016,解析,答案,思维升华,例2(3)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 014， 6，则S2 016,由等差数列的性质可得 也为等差数列,设其公差为d,d1,S2 01612 0162 016,2 016,解析,答案,思维升华,例2(3)已知Sn是等差数

12、列an的前n项和，若a12 014， 6，则S2 016,2 016,在等差数列an中，数列Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列； 也是等差数列.等差数列的性质是解题的重要工具,解析,答案,思维升华,跟踪训练2 (1)设数列an是等差数列，若a3a4a512，则a1a2a7,解析 a3a4a53a412， a44， a1a2a77a428,28,跟踪训练2 (2)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30,解析 S10，S20S10，S30S20成等差数列， 2(S20S10)S10S30S20， 4010S3030， S3060,60,解析,题型三等差数列的判

13、定与证明,思维升华,题型三等差数列的判定与证明,解析,思维升华,题型三等差数列的判定与证明,解析,思维升华,题型三等差数列的判定与证明,1为公差的等差数列,解析,思维升华,等差数列的四个判定方法： (1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数,题型三等差数列的判定与证明,解析,思维升华,2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2后，可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根据定义得出数列an为等差数列,题型三等差数列的判定与证明,解析,思维升华,3)通项公式法：得出anpnq后，得an1anp对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an为等差

14、数列,题型三等差数列的判定与证明,解析,思维升华,4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列an为等差数列,题型三等差数列的判定与证明,解析,思维升华,例3(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由,解析,思维升华,例3(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由,解析,思维升华,例3(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由,所以当n3时，an取得最小值1， 当n4时，an取得最大值3,解析,思维升华,例3(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由,等差数列的四个判定方法： (1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同

15、一个常数,解析,思维升华,例3(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由,2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2后，可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根据定义得出数列an为等差数列,解析,思维升华,例3(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由,3)通项公式法：得出anpnq后，得an1anp对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an为等差数列,解析,思维升华,例3(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由,4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列an为等差数列,解析,思维升华,跟

16、踪训练3已知数列an的前n项和为Sn，且满足：an2SnSn10(n2，nN*)，a1 ，判断 与an是否为等差数列，并说明你的理由,解因为anSnSn1(n2)， 又因为an2SnSn10， 所以SnSn12SnSn10(n2,跟踪训练3已知数列an的前n项和为Sn，且满足：an2SnSn10(n2，nN*)，a1 ，判断 与an是否为等差数列，并说明你的理由,跟踪训练3已知数列an的前n项和为Sn，且满足：an2SnSn10(n2，nN*)，a1 ，判断 与an是否为等差数列，并说明你的理由,跟踪训练3已知数列an的前n项和为Sn，且满足：an2SnSn10(n2，nN*)，a1 ，判断

17、与an是否为等差数列，并说明你的理由,所以当n2时，an1an的值不是一个与n无关的常数，故数列an不是一个等差数列,跟踪训练3已知数列an的前n项和为Sn，且满足：an2SnSn10(n2，nN*)，a1 ，判断 与an是否为等差数列，并说明你的理由,高频小考点7 等差数列的前n项和及其最值,典例：(1)在等差数列an中，2(a1a3a5)3(a7a9)54，则此数列前10项的和S10,解 析,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,求等差数列前n项和，可以通过求解基本量a1，d，代入前n项和公式计算，也可以利用等差数列的性质：a1ana2an1,高频小考点7 等差数列的前n项和及其最值,典例：(1

18、)在等差数列an中，2(a1a3a5)3(a7a9)54，则此数列前10项的和S10,解 析,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,高频小考点7 等差数列的前n项和及其最值,典例：(1)在等差数列an中，2(a1a3a5)3(a7a9)54，则此数列前10项的和S10,由题意得a3a89,45,解 析,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,利用等差数列的性质求Sn，突出了整体思想，减少了运算量,高频小考点7 等差数列的前n项和及其最值,典例：(1)在等差数列an中，2(a1a3a5)3(a7a9)54，则此数列前10项的和S10,45,解 析,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,解 析,思 维 点 拨,温 馨

19、 提 醒,2)在等差数列an中，S10100，S10010，则S110,求等差数列前n项和，可以通过求解基本量a1，d，代入前n项和公式计算，也可以利用等差数列的性质：a1ana2an1,2)在等差数列an中，S10100，S10010，则S110,解 析,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,方法一设数列an的公差为d，首项为a1,2)在等差数列an中，S10100，S10010，则S110,解 析,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,2)在等差数列an中，S10100，S10010，则S110,所以a11a1002,110,110,解 析,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,2)在等差数列an中，S10

20、100，S10010，则S110,110,利用等差数列的性质求Sn，突出了整体思想，减少了运算量,解 析,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,3)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为,解 析,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,3)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为,求等差数列前n项和的最值，可以将Sn化为关于n的二次函数，求二次函数的最值，也可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项,解 析,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,3)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为,因为等差数列an的首项a120，

21、公差d2，代入求和公式得,解 析,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,3)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为,又因为nN*，所以n10或n11时，Sn取得最大值，最大值为110,110,解 析,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,3)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为,利用函数思想求等差数列前n项和Sn的最值时，要注意到nN,110,解 析,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,4)(2014北京)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n 时，an的前n项和最大,解 析,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,4)(2014北京)若等差数

22、列an满足a7a8a90，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大,求等差数列前n项和的最值，可以将Sn化为关于n的二次函数，求二次函数的最值，也可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项,解 析,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,a7a8a93a80，a80. a7a10a8a90，a9a80. 数列的前8项和最大，即n8,4)(2014北京)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大,8,解 析,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,4)(2014北京)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大,8,利用函数思

23、想求等差数列前n项和Sn的最值时，要注意到nN,解 析,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,方 法 与 技 巧,1.等差数列的判断方法 (1)定义法：an1and (d是常数)an是等差数列. (2)等差中项法：2an1anan2 (nN*)an是等差数列. (3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列. (4)前n项和公式：SnAn2Bn (A，B为常数)an是等差数列,方 法 与 技 巧,2.方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解,3.等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量,4.在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数

24、为(1)a，ad，a2d；(2)ad，a，ad；(3)ad，ad，a3d等，可视具体情况而定,失 误 与 防 范,1.当公差d0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d0时，an为常数,2.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,1.已知数列an是等差数列，a1a78，a22，则数列an的公差d,解得a15，d3. 方法二a1a72a48，a44， a4a2422d，d3,2.已知直线(3m1)x(1m)y40所过定点的横、纵坐标

25、分别是等差数列an的第一项与第二项，若bn ， 数列bn的前n项和为Tn，则T10,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,解析依题意，将(3m1)x(1m)y4 0化为(xy4)m(3xy)0,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,所以直线(3m1)x(1m)y40过定点(1,3)， 所以a11，a23，所以公差d2,3.设数列an，bn都是等差数列，且a125，b175， a2b2100，则a37b37 . 解析设an，bn的公差分别为d1，d2， 则(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn) d1d2， anbn为等差数列， 又a1b1a2b2100， anbn为常数

26、列，a37b37100,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,100,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,4.等差数列an中，已知a50，a4a70，则当an的前n项和Sn取到最大值时n为,Sn的最大值为S5,5,5.在等差数列an中，a10，a10a110，a10a110，a110， T18a1a10a11a18 S10(S18S10)60,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,60,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,6.已知递增的等差数列an满足a11，a3a 4 ，则an . 解析设等差数列的公差为d， a3a4，12d(1d)24， 解得d24，即d2. 由于该数

27、列为递增数列，故d2. an1(n1)22n1,2n1,7.等差数列an的前n项和为Sn，已知a5a74，a6a82，则当Sn取最大值时，n的值是 . 解析依题意得2a64,2a72，a620，a710； 又数列an是等差数列， 因此在该数列中，前6项均为正数， 自第7项起以后各项均为负数， 于是当Sn取最大值时，n6,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,6,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,9.在等差数列an中，a11，a33. (1)求数列an的通项公式； 解设等差数列an的公差为d， 则ana1(n1)d. 由a11，a33，可得12d3，解得d2. 从而an1(n1)(2)32n,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,解由(1)可知an32n,由Sk35，可得2kk235， 即k22k350，解得k7或k5. 又kN*，故k7,10.设等差数列an的前n项和为Sn，若a10，S2 0150. (1)求Sn的最小值及此时n的值,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,0a11 007d0