误差与范数概念及习题与答案

1、第一章 误差与范数误差的来源例1.1.1 用差商求在处导数的近似值.取 ，=0.000 000 000 000 001和=0.000 000 000 000 000 1分别用MATLAB软件计算，取十五位数字计算.解 在MATLAB工作窗口输入下面程序a=3;h=0.1;y=log(a+h)-log(a);yx=y/h运行后得yx = 0.991将此程序中改为0.000 1，运行后得yx = 0.385后者比前者好.再取h = 0.000 000 000 000 001，运行后得yx = 0.006不如前者好.取h = 0.000 000 000 000 000 1，运行后得yx = 0算出的

2、结果反而毫无价值.例1.1.2 分别求方程组在下列情况时的解，其中.（1）;（2）.解 （1） 首先将方程组化为同解方程，然后在MATLAB工作窗口输入程序 b=2,2;A=1,1;1,1.01; X=Ab运行后输出当时，的解为；（2）同理可得，当时，的解为.例1.1.3 计算的近似值.解 泰勒级数e , 取，得. （1.2）这是一个无限过程，计算机无法求到精确值.只能在（1.2）取有限项时计算，再估计误差.如果取有限项作为的值必然会有误差，根据泰勒余项定理可知其截断误差为e.如果取（1.2）的前九项，输入程序 n=8;s=1;S =1;fork=1:ns=s*k;S=S+1/s,ends,

3、S,R=3/(s*(n+1)或S1=1+1+1/2+1/(1*2*3)+1/(1*2*3*4)+1/(1*2*3*4*5)+1/(1*2*3*4*5*6)+1/(1*2*3*4*5*6*7)+1/(1*2*3*4*5*6*7*8),R1=3/(1*2*3*4*5*6*7*8*9)运行后结果S = R = 2.127 8.5768e-006因为截断误差为所以e的近似值e2.718 28.1.2 误差和有效数字例1.2.1 取作为的四舍五入近似值时，求其绝对误差和相对误差.解 在MATLAB工作窗口输入程序juewu=exp(1)-2.71828运行后输出结果为juewu = 1.828 459

4、045 505 326e-006例1.2.2 计算d 的近似值，并确定其绝对误差和相对误差.解 因为被积函数的原函数不是初等函数，故用泰勒级数求之. , （1.5）这是一个无限过程，计算机无法求到精确值.可用（1.5）的前四项代替被积函数，得d)d=.根据泰勒余项定理和交错级数收敛性的判别定理，得到绝对误差= WU，在MATLAB命令窗口输入计算程序如下：syms xf=1-x2/(1*2*3)+x4/(1*2*3*4*5)-x6/(1*2*3*4*5*6*7)y=int(f,x,0,pi/2),y1=double(y)y11=pi/2-(pi/2)3/(3*3*2)+(pi/2)5/(5*5

5、*4*3*2)-(pi/2)7/(7*7*6*5*4*3*2)inf=int(sin(x)/x,x,0,pi/2) ,infd=double(inf)WU =(pi/2)9/(9*9*8*7*6*5*4*3*2), R =infd-y11因为运行后输出结果为： 1.370 762 168 154 49，=1.370 744 664 189 38，1.750 396 510 491 47e-005， WU= 1.782 679 830 970 664e-005. 所以，的绝对误差为，故d.的相对误差为 k,juecha,xiangcha,xk= liti112(2,2.5,100)运行后输出计算

6、结果列入表13和表 1-4中.将算法2的MATLAB调用函数程序的函数分别用y1=15-2*x2和y1=x-(2*x2+x-15)/(4*x+1)代替，得到算法1和算法3的调用函数程序，将其保存，运行后将三种算法的前8个迭代值列在一起（见表 1-3），进行比较.将三种算法的对应的绝对误差和相对误差的值列在一起（见表 1-4），进行比较.表 1-3 例1.3.4中三种算法的计算结果算 法迭代次数算法1的迭代结果算法2的迭代结果算法3的迭代结果022.000 000 002.000 000 00173.000 000 002.555 555 562-832.142 857 142.500 550

7、063-13 7632.837 837 842.500 000 064-378 840 3232.246 963 562.500 000 005-2.870 42.246 963 562.500 000 006-1.647 82.321 774 842.500 000 007-5.430 72.657 901 652.500 000 0099-Inf2.500 000 012.500 000 00表 1-4 例1.3.4中三种算法计算结果的误差算法迭代 次数算法1的误差算法2的误差算法3的误差绝对误差相对误差绝对误差相对误差绝对误差相对误差00.500 000 000.250 000 000.

8、500 000 000.250 000 000.500 000 000.250 000 0014.500 000 000.642 857 140.500 000 000.166 666 670.055 555 600.021 739 13285.500 000 001.030 120 480.357 142 860.1666 666 700.000 550 100.000 219 97313 765.500 000.000 100 020.337 837 840.119 047 620.000 000 060.000 000 024378 840 3261.000 000 010.253 03

9、6 440.112 612 620.000 000 000.000 000 0052.870 399 8110.230 287 040.084 345 480061.647 839 0110.178 225 160.076 762 470075.430 746 8010.157 901 650.059 408 390099InfNaN0.000 000 010.000 000 00001.4 数值计算中应注意的问题 例1.4.1 求数的近似值.解 （1）直接用MATLAB命令 x=(715)*(sqrt(1+8(-19)-1)运行后输出结果x = 0问题出现在两个相近的数与相减时，计算机运行程

10、序sqrt(1+8(-19)-1运行后输出结果 ans = 0由于计算机硬件只支持有限位机器数的运算，因此在计算中可能引入和传播舍入误差.因为有效数字的严重损失，导致输出的结果为0，计算机不能再与数继续进行真实的计算，所以，最后输出的结果与的精确值不符.（2）如果化为，再用MATLAB命令 x=(715)*( (8(-19)/(sqrt(1+8(-19)+1)运行后输出结果 x = 1.6471e-005这是因为化为后，计算机运行程序 x= (8(-19)/(sqrt(1+8(-19)+1)运行后的结果为x =3.4694e-018由于有效数字的损失甚少，所以运算的结果再与继续计算，最后输出的

11、结果与的精确值相差无几.例1.4.2 求数的近似值.解 （1）直接用MATLAB程序 x=30;x1= sqrt(x2-1)运行后输出结果x1 = 29.9833输入MATLAB程序 x=30; x1=29.9833;y=log(x-x1)运行后输出结果y = -4.0923（2）因为中的很大，如果采用倒数变换法，即 .输入MATLAB程序 x=30;y=-log(x+sqrt(x2-1)运行后输出结果y = -4.0941（3）输入MATLAB程序 x=30; y=log(x-sqrt(x2-1)运行后输出结果y = -4.0941可见，（2）计算的近似值比（1）的误差小.参加计算的数，有时

12、数量级相差很大.如果不注意采取相应的措施，在它们的加减法运算中，绝对值很小的那个数经常会被绝对值较大的那个数“吃掉”，不能发挥其作用，造成计算结果失真.例1.4.4 请在16位十进制数值精度计算机上利用软件MATLAB计算下面的两个数和将计算结果与准确值比较，解释计算结果.解 在MATLAB工作窗口输入下面程序 x=1111+0.1+0.3, y=11111+0.1+0.3运行后输出结果 x = 1.1114e+014，y =1.1111e+015从输出的结果可以看出，x，而y.为什么仅仅比多一位1，而y呢？这是因为计算机进行运算时，首先要把参加运算的数写成绝对值小于1而“阶码”相同的数，这一过程称为数的“对阶”.在16位十进制数值精度计算机上利用软件MATLAB计算这两个数，把运算的数写成浮点规格化形式为在16位十进制数值精度计算机上，三项的数都表示为小数点后面1