数列求和问题的基本类型探讨（草稿）

1、数列求和问题的基本类型探讨电子邮箱,手机号电话07342518006；QQ：406426941 湖南祁东育贤中学 周友良 421600湖南祁东一中 曾令军 421600数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考的热点和重点。由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳，以提高同学们数列求和的能力。一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：3、 4、5、例1 已知，求的前n项

2、和.解：由， 由等比数列求和公式得 =1例2 是否存在常数a、b、c，使等式12+223+324+n2(n+1)=(an2+bn+c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。分析：这是一个开放性命题，可以从两个角度来解决。解一：n2(n+1)=n3+n2122+223+.+n2(n+1)=(13+12)+(23+22)+(33+32)+(n3+n2)=(13+23+33+n3)+(12+22+32+n2)=n2(n+1)2+n(n+1)(2n+1)=n(n+1)3n(n+1)+2(2n+1)=n(n+1)3n2+7n+2令a=3, b=7, c=2，则对任意nN。都有原命题成立。解二：假设命题成

3、立，在等式中令n=1, 2, 3, 得 122=(a+b+c) 122+223=(4a+2b+c)12+223+324=(9a+3b+c)即 a+b+c=124a+2b+c=289a+3b+c=50解之，得a=3, b=7, c=2往下再用教学归纳法证明。122+223+324+n2(n+1)=(3n2+7n+2)对一切nN都成立。（略）评注：解法一分组后直接运用公式求和。二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例3 求和：解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列

4、的通项之积当，当设. （设制错位）得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得： 例4.已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和。解析：-得：。点评：设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列 的前项和求解，均可用错位相减法。三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.例5 求的值解：设. 将式右边反序得 . （反序） 又因为 +得 （反序相加）89 S44.5例6.设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：解析：因为 点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列的前项和，是否存在等差数列使

5、得对一切自然数n都成立。例7已知函数，点，是函数图像上的两个点，且线段的中点的横坐标为（）求证：点的纵坐标是定值；（）若数列的通项公式为，求数列的前m项的和；讲解：这是一道函数、数列、不等式的综合问题对于（），直接验证即可；对于（），观察的构成：，可知（）的结论又为（）作了铺垫；对于（），则应在（）的基础上，充分利用“恒成立”，结合函数、不等式的知识去解决总之，本题层层递进，每一小题均为后一小题的基础，因此，从（）开始，认真走好每一步是解决好本题的关键（）由题可知：，所以，点的纵坐标是定值，问题得证（）由（）可知：对任意自然数，恒成立由于，故可考虑利用倒写求和的方法即由于：所以，所以，四、分组

6、法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例8求数列的前n项和：，解：设将其每一项拆开再重新组合得 （分组）当a1时， （分组求和）当时，例9 求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设 将其每一项拆开再重新组合得 Sn （分组） （分组求和） 五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) 例10 求数列的前n项和.解：设 （裂

7、项）则 （裂项求和） 例11 在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.解： （裂项） 数列bn的前n项和 （裂项求和） 例12 求证：解：设 （裂项） （裂项求和） 原等式成立 六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 例13 求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：设Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 （找特殊性质项）Sn （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）+（cos

8、89+ cos91）+ cos90 （合并求和） 0例14 在各项均为正数的等比数列中，若的值.解：设由等比数列的性质 （找特殊性质项）和对数的运算性质 得 （合并求和） =10七、数列的“通项分析法”求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例15 求之和.解：由于 （找通项及特征） （分组求和）例16已知数列an为等差数列，公差d0，其中，恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+kn。解题思路分析：从寻找新、旧数列的关系着手设an首项为a1，公差为d a1，a5，a17成等比数列 a

9、52=a1a17（a1+4d）2=a1(a1+16d) a1=2d设等比数列公比为q，则对项来说，在等差数列中：在等比数列中： 注：本题把k1+k2+kn看成是数列kn的求和问题，着重分析kn的通项公式。这是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法”。八分部求和例17已知数列的通项，求其前项和解：奇数项组成以为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以为首项，公比为4的等比数列；当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项， ，所以，例18已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求解析：首先由则：例19、数列的相邻的项是方程的两根，且，求无穷数列的各项的和。解：因为是方程的两根，由韦达定理得，由得，由得，又，得：，在中令，有。由此可知数列的偶数项组成以为首项，以为公比的等比数列。由又可得，又，得：，在中令可得，由知数列的奇数项（）组成以为首项，以为公比的等比数列。注：有些数列必须对奇数项和偶数项分别考虑，问题才能解决。九 组合化归法求和例20.求和：。解析：而连续自然数可表示为组合数的形式，于是，数列的求和便转化为组合数的求和问题了。点评：可转化为连续自然数乘积的数列求和问题，均可考虑组合化归法。十 递推法求和例2