求轨迹方程的常用方法

1、求轨迹方程的常用方法:题型一直接法此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件M | P(M )直接翻译成x, y的形式f(x, y) 0 ,然后进行等价变换，化简 f (x,y)0 ,要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外(纯粹性)；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)。例1过点A(2,3)任作互相垂直的两直线 AM和AN，分别交x,y轴于点M ,N，求线段MN中点P的轨迹方程。解：设P点坐标为P(x, y)，由中点坐标公式及M,N在轴上得M (0,2y)，N(2x,0)(x,yR)AM

2、ANkAM kAN0 3 2y2x 20 231 (x 1)，化简得 4x 6y130 (x 1)当x 1时，M(0,3)，N(2,0)，此时MN的中点P(1,|)它也满足方程4x 6y 130，所以中点P的轨迹方程为4x 6y 130 。变式1N (1,0)的距离的2倍。已知动点M (x, y)到直线l : x 4的距离是它到点(1) 求动点M的轨迹C的方程；(2) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点。若A是PB的中点，求直线 m的斜率。题型二定义法圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。例2动圆M过定点P( 4,0)，且

3、与圆C : x2 y2 8x 0相切，求动圆圆心 M的轨迹方程。解：根据题意|MC | MP | 4，说明点M到定点C、P的距离之差的绝对值为定值，故点M的轨迹是双曲线。2a 4b . c2 a2. 122 2故动圆圆心M的轨迹方程为丄 1412变式2在厶ABC中，BC 24, AC, AB上的两条中线长度之和为 39,求厶ABC的重心的轨迹方程. 解：以线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图1，M为2重心，则有 |BM| |CM|- 39 26 .3 M点的轨迹是以B, C为焦点的椭圆，-1212 -r其中 c 12, a 13 . ba2 c22 所求 ABC的

4、重心的轨迹方程为x1695 .21(y 0)25图】题型三相关点法此法的特点是动点 M(x,y)的坐标取决于已知曲线 C上的点(x,y)的坐标，可先用x, y来表示x,y，再代入曲线 C的方程f(x,y) 0,即得点M的轨迹方程。例3如图，从双曲线x2 y2 1上一点Q引直线x y 2的垂线，垂足为N，求线段QN 的中点P的轨迹方程分析：从题意看动点 P的相关点是Q，Q在双曲线上运动，所以本题适合用相关点法。解：设动点P的坐标为(x, y)，点Q的坐标为(xyj，则点N的坐标为(2x x1,2y y1)N在直线x y 2 上,2x x1 2y y12 又 P Q垂直于直线x y 2 ,yy11

5、 ,xx1即xyy1x10 -311X1x -y由解得22131y1x -y22又点Q在双曲线2 x2y1 上,x/2y11代入，得动点 P的轨迹方程为2x2 2y22x 2y 10变式3已知 ABC勺顶点B( 3,0, C(1,0)，顶点A在抛物线y x2上运动，求 ABC的重心G的轨迹方程.解：设G(x, y) , A(xo, yo)，由重心公式，得3 1 x0又x3x 2,3.X。y。y 3,y。3y2变式4设椭圆方程为x24l上的动点P满足OP丄(OA2OB)，点N的坐标为(,)，当I绕点N旋转时，求:A(x3, y)在抛物线yx2 上, y2x0将，代入，得3y(3x2)2(y0),

6、即所求曲线方程是 y 3x24x3(y0).题型四参数法选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标x,y，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程，选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后在选取合适的参数， 因为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有截距、角度、斜率、线段长度等。例4已知线段AAluin uum2a，直线I垂直平分AA于O，在I上取两点P, P ,使有向线段OP,OP满足OOP-OOP14，求直线 AP与AP的交点M的轨迹方程.解：如图2,以线段AA所在直线为x轴，以线段 AA的中垂线为y轴建立直角坐标系.设点 P(0, t)(t 0),则由题意，得P 0,4 .

7、t由点斜式得直线AP, A P的方程分别为y (x a), y 4(x a).ata两式相乘，消去t，得4x2 a2y2 4a2(y 0).这就是所求点 M的轨迹方程.1，过点M (0,1)的直线l交椭圆于点A, B , O是坐标原点,(1)动点P的轨迹方程；(2) | NP |的最小值与最大值分析：(1)设出直线|的方程，与椭圆方程联立，求出 xi x2,yi y2，进而表示出点P坐标，用消参法求轨迹方程；（2）将I NP |表示成变量x的二次函数。kx 1解：（1）法一：直线I过点M （0,1），当I的斜率存在时，设其斜率为k，贝U I的方程为设A（Xi,yJ , B（X2,y2），由题设

8、可列方程为kx 1将代入并化简得:(4 k2)x2 2kx 30 ,X-Ix2所以y1y22k4 k284 k2 1 于是 OP (OA OB)2X22y1 y2)2(4设点P的坐标为（x, y），则4 k244 k2当直线I的斜率不存在时,消去参数k得4x2 y2 y 0A, B的中点坐标为原点（0,0），也满足方程,所以点P的轨迹方程为4x2 y2 y 0。法二：设点P 的坐标为（x, y），因 A（ X1, y1）,B（X2, y2）在椭圆上，所以2X12X2242y242 2 1 2 2一得：x1x2(y1y2 ) 041所以(X1 X2)(% X2)-(y1 Y2)(Y1 Y2)04当x11X2时，有捲 X2(y14y2)0 x1 x2x-1x22并且 y2% y2x-ix2将代入并整理得 4x2 y20当X1X2时，点A, B的坐标分别为(0,2)、(0, 2),这时点P的坐标为(0,0)，也满足，所以点P的轨迹方程为2 x T1