概率论与数理统计1-3,4

1、课 前 复 习,基本概念 随机试验（E）、样本空间（）、样本点（e） 随机事件（A、B、C）,事件的关系及运算 事件的和、积、差、逆运算； 互不相容（互斥）,四.事件间的运算规律,交换律：,结合律：,分配律：,德.摩根定理（对偶定理）,注：德摩根定理可以推广到有限个事件的并或积的场合。,解：以上四个事件依次表示为：, 或 ；, ；, ；, 。,例2 连抛三次硬币，观察正、反面出现的情况。,=“第一次出现H ”=,=“三次出现同一面”=,则,第二节 频率与概率,对于一个事件（除必然事件和不可能事件）来说，它在 一次试验中可能发生，也可能不发生。我们常常希望知道 某个事件在一次试验中发生的可能性究

2、竟有多大? 我们希望找到一个合适的数来,用它可以表示事件在一次 试验中发生的可能性大小，这个数即称为事件的概率。,一.频率,定义：设随机事件A 在n 次试验中出现的次数为 ，称为事件A 发生（出现）的频数，把比值 称为事件 A 在n次试验中出现的频率，记为 。即,规范性： ；,频率的特点,频率波动性：对事件A 来讲，即使试验次数n相同， 也不尽相同。,渐近稳定性：随着试验次数n增大， 逐渐逼近 一个固定值。即,频率的性质,非负性：对任意事件A， ；,可加性：若事件 两两互不相容，则,历史上有人用掷硬币来验证频率的稳定性,概率的统计定义：随着试验次数 n 增大，事件A的频率 的稳定值称为A的概率

3、，记为 P(A)。,二.概率的公理化定义,定义：设为随机试验 E 的样本空间，如果对任意 一个事件A，存在一个实数P(A)与之对应,且 满足：,非负性： ；,规范性： ;,则称P(A)为事件A的概率。,注：概率函数P()的自变量为事件（集合），函数值为 实数。,可加性：若 两两互不相容，有,因为 ，所以 。,性质：,证 因为,(2)有限可加性：若 两两互不相容，则,所以,(3)若 ，则,所以由性质（2）知,A,B,证 ,证 因为对任意,所以,证 因,注：对一般的 A, B 有,A,证 因为 ，,B,(6)加法公式（定理）：对于任意两个事件A、B有,推广：,所以由性质（2）（3）得,而 ，,2

4、设事件A、B 满足,且,求,练 习,解：所求的概率为,(因为 ,所以 ,故 。),2 设事件A、B 满足,且,求,解：,1.3 古典概型（等可能概型）,对于古典概型，显然有,设,则有,因此，若A为中的事件，且,则,生日问题：假设每个人的生日在一年365天中的任一天 是等可能的，试求 n 个人生日各不相同 的概率。,解 ,从而n个人中至少有两人生日相同的概率为,计算可得,例5 袋中有 a 只白球，b只红球，k个人依次在袋中任取 一个球， (1) 作放回抽样; (2) 作不放回抽样，求第 k 个人取到白球(记为事件Bk)的概率。,解 (1)放回抽样的情形，此时有,(2)不放回抽样的情形，此时,注意

5、：(1) P(Bk)与 k 无关；(2)与抽样是否有放回无关。,实际推断原理：概率很小的事件在一次试验中几乎不会 发生。,由实际推断原理，我们怀疑假设的正确性，即认为接待 站的接待时间是有规定的。,例6 某接待站在一周接待过12次来访，已知所有 这12次来访都是在周二和周四进行的，问是 否可以推断接待时间是有规定的？,解 假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么12次接待来访者 都在周二、周四的概率为,1.4 几 何 概 型,几何方法的例子,例 2 两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候另一 人20分钟，过时就可离去，试求这两人能会面的概率。,则,设 A =“两人能会