第二章教育信息熵ppt课件

1、第二章 教育信息熵,熵的最早提出（1865年）与热力学 熵在信息论中的地位,精选,第一节 熵的概述,一 信息量的表示 1 信息的多少与信源的不确定性有关 实例：5个学生(A、B、C、D、E）参加某项比赛, 选拔出1人为冠军,精选,2 信息量的度量与信源的不确定性 实例1：5个学生水平相差不多（接近等概率） 实例2：5个学生水平相差大（不等概率）， 其中A的水平高超 问：哪一组比赛悬念更大（获得的信息量多）?,精选,3 小结：信源输出的消息可以看作是随机事件 事件出现的概率大，出现机会多，不确定程度小； 事件出现的概率小，出现机会少，不确定程度大。 即 Pi大， f(Pi)小； Pi小， f(P

2、i)大。 即 f(Pi)应是Pi的单调减函数 f(pi)=(1/pi),精选,4 信息量的可加性 单调减函数可以有很多种，用来度量信息的函数f(Pi)究竟应当是哪一种呢？有了可加性即可解决。 即 P（x1,x2）=P(x1)*P(x2) 联合概率（两个变量相互独立） 而f(P1,P2)=f(P1)+f(P2) 不确定性 可见 f(P)满足取对数的关系 f(P)=log(1/p) = -log p 它满足的两个关系： （1） 不确定性与概率的关系； （2） 可加性的要求。,精选,二 信息熵 1 平均信息量（信息熵） 一般情况下 状态空间： X： x1 , x2 xn 概率分布：P(x):P(x1

3、),P(x2) P(xn) ,且,这里假定各状态是相互独立的。,精选,出现Xi的不确定性： log(1/P(xi) 该信源每个状态的平均（加权平均）不确定性：,精选,信息熵（平均信息量）:,也可以简写为：,精选,2 两种不同的单位 上面的定义式中，没有考虑对数的底a,当它取不同的底时（常取2或e），信息熵的单位为比特(bits)和奈特(nats) 1比特=0.693奈特 1奈特=1.443比特 此外，还有一个单位叫哈特（以10为底），取自人名哈特莱（Hartley）,他提出了熵定义式中的对数关系。 且 1哈特=3.32比特,精选,3 例 某一系统具有四种状态（或四种事件）A1、A2、A3、A4

4、，各自的概率为： p1=1/2 ,p2=1/4 ,p3=1/8 ,p4=1/8 注意：概率和为1 计算得熵： H=1.75 (比特/状态),精选,4 连续信源 如果概率空间为连续系统，其概率分布为：p(x),对应系统的熵为：,精选,三 熵的意义 1 熵的大小表示某概率系统的不确定程度 实例1：某一概率系统的概率分布如下： （1，0，0，0） 这是一个确定性系统，计算其信息熵H=0，即该系统不确定性为0。,精选,实例2：某一概率系统的概率分布为等概率： （1/n，1/n，1/n）,设该系统共有n个状态（事件） 这是一个最不确定系统，计算其信息熵H为最大，即该系统不确定性最大。 一般系统介于上述两

5、种极端情况之间。,精选,2 熵的大小表示某系统中任一状态（事件）出现后产生的平均信息量 实例1：某一概率系统的概率分布如下： （1，0，0，0） 在这个系统中，只有第一个状态出现，当它出现之后，没有给我们带来任何信息量，计算其信息熵H=0。,精选,实例2：某一概率系统的概率分布为等概率： （1/n，1/n，1/n） , 设该系统共有n个状态（事件） 在这个系统中，任何一个状态都有均等的机会出现，当某一个状态出现之后，都给我们带来最大的信息量，计算其信息熵H为最大。 一般系统介于上述两种极端情况之间。,精选,四 信息熵的基本性质 1 单峰性（极值性） 任何一个随机系统，其信息熵都有一个极大值（单

6、峰），即各状态出现为等概率时，熵为最大： H(p1，p2，pn)H(1/n，1/n，1/n) = log n 实例：一个二事件系统，概率分别为p和1-p 该系统的熵为： H=-plogp+(1-p) log(1-p) 其HP图具有单峰性(图2.1),精选,图2-1 两个事件H-P图,精选,2 对称性 H(p1，p2，p3) = H(p1，p3，p2) = H(p3，p2，p1) 说明： 1）这是由于加法满足交换率 2）这也说明熵反映了该系统的整体特性,精选,3 渐化性（递增性） 设某系统共有n个事件，现在第n个事件分裂成两个事件，概率分别为q、r （即pn = q+r）,该系统的熵变为：,证明

7、（利用熵函数的表达式）：作为习题,精选,4 展开性（扩展性） H(p1，p2，pn) = H(p1，p2，pn，0) = H (p1，p2，pn，0，0) 说明：某系统的事件数增加了，但这些事件的出现概率为0时，该系统的熵不变。,精选,5 确定性 H(1，0) = H(0，1)=H（1，0，0） = H（0，0，0，1） =0 6 非负性 H(p1,p2,pn) 0 小结：熵是一种描述系统总体特性的统计量,精选,第二节 相对熵与冗余度,一 最大熵 任何一个随机系统（共有n个状态），各状态出现为等概率时，且各个状态无相关性，其信息熵都有一个最大值： Hmax = log n 实例：英语用来传输信

8、息，使用26个字母，加上一个空格。 这样的系统，其最大熵为： Hmax=log 27 4.76 （比特/字母）,精选,二 一般情况 一般情况下，任何一个系统（共有n个状态），各状态出现一般为不等概率，且各个状态有相关性，其实际信息熵（H）都有小于最大值，即 H Hmax = log n 实例： 1）英语字母的使用并非是相互独立的，字母间存在相关性； 2）英语字母并非等概率使用(表2.1：P33) 故：英语字母的熵通常远小于4.76（有人计算1.4）,精选,三 相对熵 我们定义：h= H / Hmax 为相对熵，它便于比较两个不同事件数目的系统的信息熵。,精选,四 冗余度 定义：r=1-h=1-

9、H/Hmax= (Hmax -H)/Hmax 冗余度的含义：在传递信息时，不必要的冗长部分的比例，即为了表示某一定量的信息量，我们需要用更多的事件数。 实例：（英语字母），为了表示某一内容的文章，我们需要用更多的字母。 关于汉字的使用,精选,五 关于冗余度的讨论 1 冗余度使得信息传递的效率降低 实例：英语字母使用中的冗余度达到70%-80%， 所以英语是一种传递效率不高的语言。 2 冗余度可以提高信息传递中的抗干扰能力 实例：传输“中华人民共和国”与传输“中国”，效果是一样的，因此有一定的冗余度。 但前者在传输时，抗干扰能力更高。,精选,第三节 熵函数的展开,一 联合熵 1 信源 现有两个信

10、源：X，Y X：x1 , x2 xn Y: y1 , y2, ym P(x):P(x1),P(x2) P(xn) P(y):P(y1),P(y2) P(ym),精选,联合空间： X.Y: x1y1, x1y2, x1ym . xny1, xny2, xnym P(x.y):P(x1,y1),P(x1,y2)P(x1,ym) . P(xn,y1),P(xn,y2) P(xn,ym),精选,其中P（xi,yj）为xi和yj的联合概率 且P(xi,yj)=P(xi)*P(yj/xi)=P(yj)*P(xi/yj) 当：xi和yj相互独立时 P（yj/ xi）= P（yj） P（xi/ yj）= P（

11、xi）,精选,2 二元联合信源的熵： H（X，Y）= -P(xi,yj) log P(xi,yj) 当每个信源相互独立时： H(X,Y)=H(X)+H(Y) 即联合熵等于每一个信源熵之和。 但由于相关性的存在，会减少平均不确定性 故 H(X,Y) = H(X)+H(Y),精选,3 例 考虑m=2的情况，且假定联合概率分布如下：,1/2,1/2,2/5,2/5,1/5,精选,（1） 先求出 Px(x1)=1/2 Px(x2)=1/2 Py(y1)=2/5 Py(y2)=2/5 Py(y3)=1/5 （2） 求出 H（X）= -(1/2)log(1/2)+ (1/2)log(1/2) = 1 同理

12、 H（Y）=1.522 而 H（X）+H（Y）=2.522 （比特/事件）,精选,（3) H(X，Y) = -P(x1,y1)logP(x1,y1)+ P(x1,y2)logP(x1,y2) +P(x1,y3)logP(x1,y3) +P(x2,y1)logP(x2,y1) +P(x2,y2)logP(x2,y2) +P(x2,y3)logP(x2,y3) = -(1/20)log(1/20)+(7/20)log(7/20) +(1/10)log(1/10)+(7/20)log(7/20) +(1/20)log(1/20)+(1/10)log(1/10) = 2.157,精选,显然 H（X，Y

13、）= H（X）+H（Y） 2157 2.522,精选,二 条件熵 1 概率关系 把联合概率P(xi,yj）=P（xi）*P（yj/xi）代入 H(X，Y)= - P(xi,yj)logP(xi)*P(yj/xi) = - P(xi,yj)logP(xi) - P(xi,yj)logP(yj/xi) = - P(xi)logP(xi) - P(xi,yj)logP(yj/xi) = H（X）+ H（Y/X）,精选,2 条件熵 上式中的 H(Y/X)= - P(xi,yj)logP(yj/xi) 叫做给定X时关于Y的条件熵 它表示：已知X时关于Y还保留的平均不确定性,精选,3 讨论： （1）联合熵

14、表示将XY作为一个整体看待时，总的平均不确定性H（X，Y）等于X的不确定性与已知X后关于Y的不确定性H（Y/X）的和 （2）如果X和Y独立，则 H（Y/X）=H（Y） 这时H（X，Y）= H（X）+ H（Y）,精选,（3）反之，若Y完全由X决定，因而已知X即可确定Y，不再有任何不确定性， 即 H（Y/X）=0 这时H（X，Y）= H（X） （4） 一般情况下： 0= H(Y/X)= H（Y） 即条件熵永远小于或等于无条件熵 （5） 由于X与Y之间存在的对称性 ，可得 H（X，Y）= H（Y）+ H（X/Y）,精选,4 互信息 定义： I（X，Y）=H（X）+ H（Y）- H（X，Y） 为信源X

15、和信源Y的互信息。 通过变换，可得： I（X，Y）=H（X，Y）- H（X|Y）- H（Y|X）,精选,5 关于几个熵的关系： H(X)，H(Y)，H(X,Y)，H(Y/X)，H(X/Y)，I(X;Y) 三 Kullback信息量（略） 第四节 熵模型 （略）,精选,第五节 测试问题信息量,一 测试问题信息熵的计算 1 多重选择题（设有5个备选答案） 几种应答分布： 1）(1，0，0，0，0)， 应答信息熵：H=0 2）(1/2，1/8，1/8，1/8，1/8)，应答信息熵：H=2 3）(1/2，1/2，0，0，0）， 应答信息熵：H=1 4）(1/5，1/5，1/5，1/5，1/5) 应答信

16、息熵：H=log5 通过信息熵的计算，我们能够得到这些测试问题的难易程度和学生的学习能力倾向，可以作为测试问题的评价及其指标。,精选,二 等价预选项数 题目分析：难度，区分度 这里主要讨论选择题：除了难度与区分度，还有一个问题：就是对题目各备选项的有效性作出评价,精选,1 等价预选项数 令i=1,2,3m为选择题的一个选项，Pi为考生选择第i项的概率，则该选择题的熵： H = - Pi logPi 讨论：某一个Pi=1,其它选项无人选，此时：H=0，分散程度最小 每一个Pi=1/m，每个选项均匀分布，此时：H=log m（最大）分散程度最大。 如图所示,精选,图2-8 等价预选项目的数据,精选

17、,由于H是熵（平均信息量） 设H与回答均匀地分布于K个（不是m个，而是小于或等于m个）选项时的信息量相等（原来是m个答案非均匀的分布） H= -（1/K）log (1/K) = log K 可得 K= 2H 这就是等价预选项数（佐藤隆博定义）,精选,例 某题有5个选项，根据回答先求出H，再计算K H约为1.531， 计算出K=2.89 这意味着：虽然有5个选项，但结果等价于均匀地分布在大约3个选项上。 把熵表达式代入等价选预项数公式： 得 K = 2- Pi logPi = Pi-Pi 改错：（2-29）：P45,精选,这里，我们不用求熵，就可以直接求出等价预选项数K，而且K与log Pi中的

18、底无关。 当各选项等概时，H和K取最大值： 即：Hmax = log m Kmax = m,精选,选项项数的范围,Pr,在图中r：为选择题的正确选项，Pr：考生选择正确选项的概率，图中三条曲线包围的面积属于K的合理范围，超过此范围时，要对题目进行检查。 注意：K与Pr有关,精选,三条曲线： Kmax：当选择正确答案的概率为Pr时，选择另外的m-1个选项（诱惑项）的选答概率相等=（1-Pr）/(m-1)时，K取极大值； Kmin: 当选择正确答案的概率为Pr时，只有某一个诱惑项有人选，概率为(1-Pr)时，K取极小值； K=1/Pr：要求Pr1/K，即选择正确答案概率高于平均值所得。,精选,计算

19、例：m=5 Pr=0时， Kmax=4 , Kmin=1 Pr=1/5时，Kmax=5 , Kmin=1.6 Pr=1/2时，Kmax=4 , Kmin=2 Pr=1时， Kmax=1 , Kmin=1 总结：理想的题目分布模式是，在保证一定的答对率的条件下，对疑惑项的选择人数应接近于均匀分布，也就是说，K的取值应接近于上图中的Kmax。,精选,三 对不确定程度的判断 1 问题：12个外观相同的小球，仅有一个重量不同（可能轻、重） 请使用天平，能否在三次以内找出该问题球？,精选,2 求解方法： 某事件系统产生的信息熵 = 消除的不确定性 （1）设问题球出现的概率为1/12； 设问题球比正常球轻

20、（重）的概率为1/2； （2）要发现问题球并知其轻（重）所需要的信息量： -log(1/12)-log(1/2) = log12 + log2 = log 24 = 4.585,精选,(3)天平称一次，能确定左边轻、右边轻、或者平衡, 获得的信息量（消除的不确定性） =log 3 =1.585 而4.585/1.585 2.9 (4) 故至少需要3次使用天平，才可以找出问题球 注意：这里并没有研究具体的策略和方法,精选,第六节教学过程的信息量分析,一 分类系统 教学过程中的语言行为分类； VICS：Verbal Interaction Category System(语言交互分类系统) 微格教

21、学的语言行为分类： (如表所示：),精选,精选,各类行为的频度分布： 图2.9 即： 1：24； 2：16； 3：9； 4：15 5：16； 6：3； 7：16；8：3； 9：8 计算出信息熵 H =2.939 （比特/行为状态）,精选,二 类别总数与熵 继续上面的例子（49个教师、学生进行微格教学的数据）（如表所示） 共分为6个组，每一组的数据都是基于教师、学生的语言行为进行分类的，再统计出各类别数据的频度分布，根据这些频度分布计算出每一节课的信息熵。,精选,各组的数据类别总数与熵的关系： (如图2.10所示) 1）类别总数与熵呈正相关（第五组例外）； 2）不同的组，类别总数多的教学，不一定

22、熵就大,精选,三 不同学科类别频度分布的比较 上面的表述，只是根据类别总数计算出了熵，并没有确定哪些类别是多少？不能根据学科的特色进行分析和指导 图2.11：P50（给出了6个组的各类行为的相对频度分布）,精选,第七节 教育中质的信息量分析（略）,通过互信息的计算，研究数据的相关程度 补充另一部分内容（见后）,精选,第八节 CAI课件中的信息量,一 多重选择问题的信息熵 1 CAI课件一般是面向问题的 CAI课件中的问题：、判断题、多重选择题、填空题、匹配题 2 若干种多重选择问题的应答分布的信息熵计算：,精选,3 小结：学生应答均匀分布时，信息熵H最大； H的大小不仅与应答分布有关，还与预选

23、答案数有关， 引入相对信息熵，可以避免这种不可比较性。,精选,二 课件评价 也是通过计算各个问题的信息熵来进行 三 学习状态的描述 学习开始阶段：学生学习不稳定。应答随机性较大，相应地信息熵也较大； 学习正常阶段：学生学习趋于稳定。应答随机性较小，相应地信息熵也较小。 图2.15：P58 (a)表示学习开始，学习不稳定； (b)表示学习迅速趋于稳定。,精选,补充：利用互信息量的计算确定学习效果 (互信息在标准化试卷评分中的应用） 标准化试卷，便于计算机处理，一般是是非判断题，多重选择题，但学生可能猜对，例如是非判断题，学生猜对的概率可达1/2。 引入：考试过程可以看着信息传输过程，试卷为信息源

24、，考生的思维为信道，学生的答卷为老师接收到的信息，因此可以用互信息作为平分标准，每道题的互信息之和为试卷总分。,精选,一 是非题判断题信息传输分析 设有n道题，其中正确答案为“对”和“错”的各占一半（1/2） 考生回答正确的概率为P，如图：,Y,精选,可知：P（T）=P（F）=1/2 P（T/T）=P（F/F）=P P（F/T）=P（T/F）=1-P 联合概率：P（T，T）=P（T）P（T/T）=P/2 P(T，F)=P(T)P(F/T)=(1-P)/2 P(F，T)=P(F)P(T/F)=（1-P)/2 P（F，F）=P（F）P（F/F）=P/2,精选,计算如下： 信源熵H（X）=1 只有两

25、种状态（且是均匀分布） 疑义度：H（X/Y）=-P(xi,yj)logP(xi/yj) = - P（T，T）logP（T/T） + P（T，F）logP（T/F） + P（F，T）logP（F/T） + P（F，F）logP（F/F） = - P log P+(1- P）log(1-P） 互信息：I（X；Y）=H（X）-H（X/Y） = 1+ P log P+(1- P）log(1-P）,精选,这里要求：P大于等于（1/2），否则全部是猜对的，比如某生全部打“错”就对了一半，但他实际上什么也不会。 试卷成绩： = n * I（X；Y）= n*H（X）-H（X/Y） = n * 1+ P log P+(1- P）log(1-P） 当P=1/2时，1+PlogP +(1-P）log(1-P）=0故试卷成绩=0 得分分布图：如下所示,精选,精选,二 多项选择题信息