2019-2020学年江苏省南通市高二上学期教学质量调研(二)数学试题(解析版

1、2019-2020学年江苏省南通市高二上学期教学质量调研（二）数学试题一、单选题1已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据准线方程为，可知抛物线的焦点在轴的正半轴，再设抛物线的标准形式为，根据准线方程求出的值，代入即可得到答案.【详解】由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴，设抛物线标准方程为：，抛物线的准线方程为，抛物线的标准方程为：，故选：C.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质，属于基础题.2椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ）ABC2D4【答案】D【解析】由题意可得，求出，的值，结合长轴长是短轴长的两倍列式求得值

2、.【详解】椭圆的焦点在轴上，则，又长轴长是短轴长的两倍，即，故选：D.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，是基础的计算题.3已知双曲线的左顶点和右焦点到其一条渐近线的距离之比为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】由双曲线方程得渐近线方程和，坐标，利用点到直线距离公式和距离之比求得，利用，的关系求得的值，从而求得渐近线方程.【详解】由双曲线方程可得渐近线为：，则点到渐近线距离：，点到渐近线距离：，双曲线的左顶点和右焦点到一条渐近线的距离之比为，即：，则，双曲线渐近线方程为：,故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线性质的应用，涉及到点到直线距离公式，属于中档题.4在正方体中，与

3、相交于点，则异面直线与所成的角的大小为（ ）ABCD【答案】A【解析】连结，是异面直线与所成角或补角，由此利用余弦定理能求出结果.【详解】连结，是异面直线与所成角或补角，设正方体中棱长为2，则，异面直线与所成角的大小为，故选：A.【点睛】本题主要考查异面直线与所成角的大小的求法，解题时要注意余弦定理的合理运用，属于基础题.5“”是“方程表示椭圆”的（ ）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要【答案】B【解析】根据椭圆的方程，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】若方程表示椭圆，则满足，即且，此时成立，即必要性成立，当时，满足，但此时方程等价为为圆，不是椭圆，不满足条件

4、即充分性不成立，故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，属于基础题.6已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中，真命题的序号是（ ）ABCD【答案】D【解析】对于，也可能相交；对于，可能相交，平行，异面；对于均可以看成是平面的法向量，是平面的法向量即可.【详解】，且，也可能相交，如图所示，所以错误；若，则可能相交，平行，异面，所以错误；利用当两个平面的法向量互相垂直时，这两个平面垂直，故成立；利用当两个平面互相垂直时，这两个平面的法向量垂直，故成立；即

5、真命题的序号是，故选：D.【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定及几何特征是解答的关键，属于基础题.7若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】分离参数，得到，根据函数的单调性即可求出的范围即可.【详解】对于，都有，恒成立，的导数在上恒成立，即在上单调递增，故选：C.【点睛】本题考查求参数范围，一般用分离参数法，进而转化为求函数的值域，利用函数的单调性求出函数的最值，属于中档题.8设，是椭圆的左，右焦点，过直线垂直于轴的直线与椭圆交于两点，若是等边三角形，则该椭圆的离心率是（ ）ABCD【答案】A【解析】利用椭圆方程

6、，求出焦点坐标，通过三角形是等边三角形求解椭圆的离心率即可.【详解】，是椭圆的左，右焦点，即，将代入到椭圆方程中可得，即，又是等边三角形，所以：，即：，解得，故选：A.【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.9在平面直角坐标系中，已知点为椭圆的动点，记点到到直线的距离为，到椭圆左准线的距离为，则的最小值为（ ）ABC2D【答案】A【解析】利用椭圆的第二定义可得，再利用几何意义当直线时，最小，最小值为到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出即可.【详解】如图，设为椭圆的左焦点，可知其坐标为，根据椭圆的第二定义可得，即，当直线时，最小，最小值为到直线的距离，即，

7、故选：A.【点睛】本题考查椭圆中表达式的几何意义的应用，考查转化思想与计算能力，将动点到准线的距离转化为到焦点的距离是解题的关键，属于中档题.10已知点是右焦点为的双曲线上一点，若双曲线上存在两点，使得的重心恰好为右焦点，则直线方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】由点在双曲线上可得，设、，的中点为，的方程为，结合题意可得的坐标，再由、在双曲线上，利用“点差法”求得直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案.【详解】点是右焦点为的双曲线上一点，得，即双曲线方程为，右焦点，设、，的中点为，的方程为，而，又的重心恰好落在椭圆的右焦点上，由重心坐标公式可得，故，则的中点为，又、在双曲线上，两式相减可得，

8、可得，又由直线过点 ，则直线的方程是，整理得：，故选：D.【点睛】本题主要考查了直线与双曲线相交的位置关系、三角形的重心坐标公式，利用“点差法”求出直线的斜率是解题的关键，属于中档题.11已知椭圆的右焦点为，若过的直线与椭圆交于两点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】首先证明椭圆上的点的到右焦点的距离为，当分别为椭圆的顶点时取最值，进而可得结果.【详解】在椭圆中，设为椭圆上任意一点，即，解得，由两点间距离公式可知：，由上式可得当为椭圆的右顶点时，最小，此时，当为椭圆的左顶点时，最大，此时，此时的最小值为，同理可得的最大值为3，即的取值范围是，故选：C.【点睛】本题主要考查了直线与椭

9、圆的位置关系，得出“焦半径公式”是解题的关键，属于中档题.12已知四边形是菱形，将菱形沿对角线翻折后，二面角的余弦值为，则四面体的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】由菱形中，连接和交于，求出，由二面角的余弦值为，可得，即四面体为棱长为2的正四面体求解可得表面积，将正四面体补成一个正方体，求出正方体的外接球半径即可得结果.【详解】由题意，菱形中，连接和交于，可知，即，为二面角的平面角，即，由余弦定理可得：即,即四面体为棱长为2的正四面体，将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为，正方体的对角线长为，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，外接球的表面积的值为，故选：B.【点睛】

10、本题主要考查球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，得到四面体为是正四面体是解题的关键，属于中档题.二、填空题13命题，的否定是_【答案】，使得【解析】由全称命题的否定为特称命题即可得结果.【详解】命题，使得，故答案为：，使得.【点睛】本题主要考查了全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题.14已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，若抛物线上一点满足，则实数的值为_【答案】2【解析】过作准线的垂线，垂足为，则，于是，代入抛物线方程计算的值即可求出的值.【详解】过作准线的垂线，垂足为，则，在中，把代入抛物线方程，解得，故答案为：2. 【点睛】本题考查点的纵坐标的求法，考查抛物

11、线的简单性质、抛物线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题15如图，在四棱锥中，已知底面，则点到平面的距离为_【答案】【解析】求出三棱锥的体积，设点到平面的距离为，利用等体积法，即可得出结果.【详解】底面，又，且,设点到平面的距离为，解得，即点到平面的距离为，故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用等体积法求点到面的距离，求出三棱锥的体积是解题的关键，属于中档题.16已知椭圆的右焦点为，设是椭圆上的两个动点，且，则当取得最大值时，的周长为_【答案】【解析】根据椭圆的定义可判断出当且仅当三点共线时，取得最大值，由此即可求出结果.【详解】在椭圆中，由椭圆的定义可

12、得，所以，当且仅当三点共线时，取得最大值，此时的周长，故答案为：.【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.三、解答题17已知命题直线与焦点在轴上的椭圆无公共点，命题方程表示双曲线（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；（2）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）或【解析】（1）由椭圆方程的特征知，联立直线与椭圆的方程，根据列出不等式解出即可得的取值范围；（2）根据双曲线方程的特征得出为真时对应的的取值范围，结合命题是命题的充分不必要条件列出不等式即可得结果.【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，又直线与椭圆

13、无公共点，由得，结合，可得，即命题是真命题，实数的取值范围为.（2）方程表示双曲线，解得或，又命题是命题的充分不必要条件，或，解得或，即实数的取值范围或.【点睛】本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、不等式的解法及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18如图，在正四棱柱中，已知，且点为的中点 （1）求证：直线平面；（2）求证：平面【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）连结交于点，连接，易得是的中点，又点是的中点，进而可知，利用线面平行的判定定理即可得结果；（2）连结，设，通过勾股定理得，再通过证明平面来得到，最后根据线面垂直判定定理即可得结果.【详解】（

14、1）如图所示：连结交于点，连接，因为四棱柱为正四棱柱，所以四边形是正方形，所以是的中点，又点是的中点，所以，而平面，平面，所以直线平面；（2）连结，设，在三角形中，所以，所以，因为四棱柱为正四棱柱，所以，平面，而平面，所以，又，所以平面，因平面，所以，又，所以平面.【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定定理的应用，线面平行的判定定理的应用要求学生能对基础的定理能熟练记忆，属于中档题.19已知双曲线的左、右顶点分别为，焦点在轴上的椭圆以为顶点，且离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点的直线交双曲线右支于另一点，交椭圆于另一点，记，的面积分别为，若，求直线的斜率【答案】（1）；（2）.【解析】

15、（1）由双曲线的性质可得的坐标，即可得椭圆中的值，结合离心率可得的值，进而可得结果.（2）设，直线方程，分别将直线与双曲线的方程，直线与椭圆的方程联立求得，的值，根据面积关系可得为和的中点，即，代入解出的值即可.【详解】（1）由题意得，所以在焦点在轴上椭圆中，又椭圆离心率，结合，可得，椭圆的方程为.（2）设，其中，由题意可得直线斜率一定存在，故可设直线方程，由得，又，即，由得，又，即，的面积分别为，满足，可得为和的中点，即，代入得，解得【点睛】本题主要考查了通过的值求椭圆的方程，通过联立方程组求直线与曲线交点的坐标，得出交点横坐标的关系是解题的关键，属于中档题.20如图，在直三棱柱中，已知，.

16、是线段的中点.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的大小的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用空间向量研究线面角，首先建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求面的法向量，最后利用向量数量积求夹角余弦值的绝对值，也是线面角的正弦值（2）利用空间向量研究二面角，首先建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求两个平面的法向量，最后利用向量数量积求夹角余弦值，根据图形确定二面角的大小的余弦值与夹角余弦值之间关系.试题解析：因为在直三棱柱中，所以分别以、所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则,因为是的中点，所以，（1）因为，设平面的法向量，则，即

17、，取，所以平面的法向量，而，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为；（2），设平面的法向量，则，即，取，平面的法向量，所以，二面角的大小的余弦值【考点】利用空间向量研究线面角、二面角21在平面直角坐标系中，曲线上的动点到点的距离比到直线的距离大1（1）求曲线的方程；（2）设过点的动直线与曲线交于两点，是否存实数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，【解析】（1）由动点到点的距离比到直线的距离大1，列出方程，由此能求出轨迹的方程；（2）假设存在满足条件的点，直线，联立直线与抛物线，得：，由此利用韦达定理、弦长公式、抛物线性质，结合已知条件能求出结果.【详解

18、】动点到点的距离比到直线的距离大1，化简得，轨迹的方程为.（2）假设存在满足条件，设直线，联立，得：，设，则，据题意为定值，则，于是，则有，得，故当时，为定值.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，考查抛物线、根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.22在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且椭圆短轴的一个顶点到左焦点的距离等于（1）求椭圆的方程；（2）设经过点的直线交椭圆于两点，弦的中垂线交轴于点求实数的取值范围；若，求实数的值【答案】（1）；（2）,.【解析】（1）根据椭圆的基本性质列出关于的方程组，解出即可得椭圆的方程；（2）由题意得，设直线的方程为，代入椭圆