北航计算流体力学第13课

1、三时间分裂格式（1972年）对于二维Euler方程，MC时间分裂格式可写成简写成：1稳定性条件：2精度可以将时间分裂格式整理写成可见，它只能保持一阶精度。再进行一轮计算，即即 具体形式如下：可以将上式整理改写成：可见，经过两轮对称地运用MC时间分裂格式，精度恢复到二阶。当时，取，这时节省了的计算工作量。具体形式如下：AF格式以一维Euler方程为例式中： 补充状态方程设 于是：，矢通量F是矢恒量U的函数，我们有：即，由状态方程可得：代入上式，整理得即，即，可见，F不仅是U的函数，而且还是U的齐次函数，这是一个重要结论！将F写成U的显函数形式，使得求出Jacobi矩阵A成为可能：即求解三对角方程

2、的追赶法简介：（以方程组为例） （1） （2） （3） （4） （5）由式（1）得： （即）代入式（2）得： （即）继续上面的工作，可得：最后求得： 然后回代，依次求出从而完成了求解工作。以下是一段求解任意三对角方程组的Fortran程序Subroutine TRIDAG SUBROUTINE TRIDAG (AA,BB,CC,FF,N1,N)CC*C SOLUTION OF A TRIDIAGONAL SYSTEM OF N-N1+1 EQUATIONS OF THE FORMCC AA(K)*X(K-1) + BB(K) * X(K) + CC(K) * X(K+1) = FF(K) K=

3、N1, ,NCC K RANGING FROM N1 TO NC THE SOLUTION X(K) IS STORED IN FF(K)C AA(N1) AND CC(N) ARE NOT USEDC AA,BB,CC,FF ARE VECTORS WITH DIMENSION N, TO BE SPECIFIED IN THE C CALLING PROGRAMC*C DIMENSION AA(1),BB(1),CC(1),FF(1) BB(N1)=1./BB(N1) AA(N1)=FF(N1)*BB(N1) N2=N1+1 N1N=N1+N DO 10 K=N2,N K1=K-1 CC(

4、K1)=CC(K1)*BB(K1) BB(K) =BB(K)-AA(K)*CC(K1) BB(K) =1./BB(K) AA(K) =(FF(K)-AA(K)*AA(K1)*BB(K) 10 CONTINUECC BACK SUBSTITUTIONC FF(N)=AA(N) DO 20 K1=N2,N K=N1N-K1 FF(K)=AA(K)-CC(K)*FF(K+1) 20 CONTINUE RETURN END非线性迁移方程： （） （7-9）C-N格式： （7-10）引入约定： （7-11）于是（7-10）可写成： （7-12）利用Taylor公式： 令，上式成为： （7-13）在式（7

5、-13）两边对x求导，得 （7-14）将式（7-14）代入C-N格式（7-12），得 （7-15）整理得：写成三对角形式：（7-16）引入约定：，则式（7-16）可写成： （7-17）这就是形式的三对角方程。式（7-17）可写成更紧凑的形式。由式（7-17）得即， 算子形式： （7-18）这就是算子形式的C-N格式，它是三对角方程的一种最紧凑的表达式。一一维Euler方程的C-N格式对于一维Euler方程：C-N格式可写成： （7-19）总是在i点处差分，上式可写成： （7-20）这就是算子形式的C-N格式（求解一维Euler方程）式中，I单位阵。注意，式中，是矩阵。二二维Euler方程的C-N格式C-N格式可写成： （7-21）设，这样，根据Taylor公式，有同理， 代入式（7-21），得即， 写成算子形式， （7-22）三AF格式（Approximate Factorization Method）式（7-22）是五对角方程组，如果在式（7-22）中加入式（7-22）就成为（7-23）这就是AF格式。式（7-23）的求解步骤：123可见，AF格式通过逐次求解两个三对角方程克服了求解五对角方程的困难。四对角化AF格式由于AF格式构成块三对角方程，计算量较大，如果能把每个块矩阵转化为对角阵，可大大节约计算时间。 由于Jacobi矩阵A、B为满秩阵并且具有完整