弹性力学：应力状态理论

1、材料力学回顾 体力、面力和应力 与坐标倾斜的微分面上的应力 平衡方程、应力边界条件 转轴时应力分量的变换 主应力 应力张量不变量 (自学) 最大切应力 (自学),应力状态理论,关键词： 坐标变换 方向余弦,材料力学回顾 体力、面力和应力 与坐标倾斜的微分面上的应力 平衡方程、应力边界条件 转轴时应力分量的变换 主应力 应力张量不变量 (自学) 最大切应力 (自学),应力状态理论,二向应力状态的主要结论,单元体任意斜截面上的应力计算公式,二向应力状态：在垂直于x轴与垂直于y轴的截面上有正应力和剪应力，在垂直于z轴的截面上无应力。,1 材料力学的简要回顾,二向应力状态的主要结论,莫尔应力圆,1 材

2、料力学的简要回顾,二向应力状态的主要结论,主应力、主应力面的概念,1 材料力学的简要回顾,空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零,平面（二向）应力状态：一个主应力为零,单向应力状态：两个主应力为零,1 材料力学的简要回顾,三向应力状态的广义胡克定律叠加法,1 材料力学的简要回顾,广义胡克定律的一般形式,1 材料力学的简要回顾,对于各向同性材料，在小变形、线弹性情况下，线应变只与正应力有关，与剪应力无关；剪应变只与剪应力有关，与正应力无关。 弹性力学将导出更一般的本构关系。,材料力学回顾 体力、面力和应力 与坐标倾斜的微分面上的应力 平衡方程、应力边界条件 转轴时应力分量的变换 主应力 应力张

3、量不变量 (自学) 最大切应力 (自学),应力状态理论,弹性力学中，一般考虑两种外力:,体力、面力,体力, 弹性体内单位体积上所受的外力, 体力分布集度,（矢量）,f1、f2、f3为体力矢量在坐标轴上的投影,单位：,N/m3,kN/m3,说明：,(1) f 是坐标的连续分布函数；,(2) f 的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等),(3) f1、f2、f3的正负号由坐标方向确定。,2 体力、面力和应力, 面力分布集度（矢量）, 面力矢量在坐标轴上投影,单位：,1N/m2 =1Pa (帕),1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕),说明：,(1) T 是坐标的连续分布函数

4、；,(2) T 的加载方式是任意的;,(3) 的正负号由坐标方向确定。,（2.2）,面力,2 体力、面力和应力,内力的概念： 由于外力作用(温度)，物体各部分之间的相互作用力.,P,单位: 与面力相同, MPa (兆帕),应力关于坐标连续分布的,应力：内力的集度的极限,应力定义,2 体力、面力和应力,应力定义,2 体力、面力和应力,应力的分解,应力矢量可分别沿微分面的法向和切向方向分解，分别表示为正应力 和切应力,在给定的直角坐标系下，应力可沿3个坐标方向分解，分别表示为： , , 。则有：,问题：1. 的方向是否沿着截面法线方向？,2. 描述一点的应力状态，能否用矢量描述？,2 体力、面力和

5、应力,应力一点的应力状态,基本认识：通过物体内同一点可以作无数个不同方位的微分面，各微分面上的应力一般来说是不相同的。,一点的应力状态：把物体内同一点各微分面上的应力情况，称为一点的应力状态。换言之：一点处所有截面应力矢量的集合即为该点的应力状态。,推测：弹性体内某确定点处各个截面的应力应该存在一定的关系。 是否可以用张量来表征一点的应力状态？各微分面之间可用微分面的法向量的方向余弦来区别。(联系张量的坐标变换公式？),简介： 工程应力(名义应力) 建立在变形前的物体，小变形 柯西应力(真实应力) 大变形，建立在变形后的物体上,2 体力、面力和应力,简介： 工程应力(名义应力) 建立在变形前的

6、物体，小变形 柯西应力(真实应力) 大变形，建立在变形后的物体上,若取 为变形前面元的初始面积，则上式给出工程应力，亦称名义应力，常用于小变形情况。 对于大变形问题，应取 为变形后面元的实际面积，称真实应力，简称真应力, 也称柯西应力。,应力矢量：,2 体力、面力和应力,简介： 工程应力(名义应力) 建立在变形前的物体，小变形 柯西应力(真实应力) 大变形，建立在变形后的物体上,2 体力、面力和应力,应力一点的应力状态,可以证明一点处已知三个互相垂直截面上的应力，则可知其它任意 截面上的应力。 所以，已知三个互相垂直截面上的应力，则可以确定一点处的应力状态。,x面的应力：,y面的应力：,z面的

7、应力：,i,j,k为x,y,z轴的单位矢量,则各面的应力矢量可表示为,2 体力、面力和应力,应力一点的应力状态,以上9个分量，构成应力张量在笛卡儿坐标系下的分量,张量表示 用1、2、3取代下标x、y、z，,的第一个下标表示应力分量的作用面，第二个下标表示应力分量的方向。,应力正、负号规定(正面正向；负面负向) 正面上的应力若指向坐标轴正方向为正，否则为负； 负面的应力若指向坐标轴负方向为正，否则为负。,2 体力、面力和应力,材料力学回顾 体力、面力和应力 与坐标倾斜的微分面上的应力 平衡方程、应力边界条件 转轴时应力分量的变换 主应力 应力张量不变量 (自学) 最大切应力 (自学),应力状态理

8、论,倾斜面无限接近点 M 时，倾斜面上的应力矢量 代表了M 点的任意微分面上的应力,平衡条件,体积力的集度,体积力,的方向余弦,几何关系,目标：建立斜面上的应力矢量与一点的9个应力分量之间的关系。,3 与坐标倾斜的微分面上的应力,Chapter 3.2,斜截面上的应力,倾斜面无限接近点 M 时，倾斜面上的应力矢量 代表了M 点的任意微分面上的应力,略去高阶微量,同理,平衡条件,3 与坐标倾斜的微分面上的应力,结论：任意微分面(斜面)上的应力立斜面上的应力可由9个应力分量惟一确定。即：9个应力分量完全确定了一点的应力状态！,材料力学回顾 体力、面力和应力 与坐标倾斜的微分面上的应力 平衡方程、应

9、力边界条件 转轴时应力分量的变换 主应力 应力张量不变量 (自学) 最大切应力 (自学),应力状态理论,平衡 物体整体平衡，内部任何部分也是平衡的。 每一个微分单元体也是平衡的。,4 平衡方程 应力边界条件,图示单元体z轴方向的平衡，在z面的负面z处，正应力记为z,在x面的负面处，切应力记为xz；,x,y,z,o,z正面z+dz处应力为,x正面x+dx处切应力为,xz,4 平衡方程 应力边界条件,在y面的负面y处，切应力记为yz,x,y,z,o,y正面y+dy处应力为,yz,4 平衡方程 应力边界条件,平衡方程,4 平衡方程 应力边界条件,由力矩平衡得到切应力互等定理,内部的平衡,4 平衡方程

10、 应力边界条件,弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面力边界条件，维持弹性体表面的平衡。 边界面力已知面力边界,面力边界条件描述弹性体边界的平衡，平衡微分方程描述弹性体内部的平衡。,应力边界条件,4 平衡方程 应力边界条件,弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面力边界条件，维持弹性体表面的平衡。 边界面力已知面力边界,4 平衡方程 应力边界条件,材料力学回顾 体力、面力和应力 与坐标倾斜的微分面上的应力 平衡方程、应力边界条件 转轴时应力分量的变换 主应力 应力张量不变量 (自学) 最大切应力 (自学),应力状态理论,当坐标系改变时，通过一点的各应力分量应如何改变。 显然：当坐标平移式，应

11、力张量中的各应力分量不会改变； 我们只研究当坐标旋转时，应力张量的变换。 设在笛卡尔坐标系oxyz下，某点的9个应力分量为：,5 转轴时应力分量的变换,现在让坐标系转过某一角度，得到新的坐标系 设它与老坐标 之间的关系为：,其中 表示3个新坐标轴对于老坐标轴的方向余弦。,5 转轴时应力分量的变换,同一点在新坐标系下的应力状态表示为,根据张量的解析定义，在坐标变换时，有：,5 转轴时应力分量的变换,我们从另外一个角度解决转轴时的应力分量的变换,点M处，与 x 垂直的平面上的应力为,用新坐标系的基向量表示为,用旧坐标系的基向量表示为,5 转轴时应力分量的变换,我们从另外一个角度解决转轴时的应力分量

12、的变换,用旧坐标系的基向量表示为,为 在 方向上的投影,同理：,5 转轴时应力分量的变换,过 M 点并与 轴垂直的微分面对老坐标轴是倾斜微分面，它的法线方向即为 轴方向，其方向余弦为 那么这个斜面上的应力在旧坐标系中分解为,5 转轴时应力分量的变换,5 转轴时应力分量的变换,结论： 当坐标作转轴变换时，应力分量遵循二阶张量的变换规律。,9个应力分量组成一张量。,虽然转轴后，各应力分量都改变了，但9个分量作为一个整体，所描绘的一点的应力状态是不会改变的。,由于剪应力互等，应力张量是一个对称张量。,张量是一个客观存在！,5 转轴时应力分量的变换,材料力学回顾 体力、面力和应力 与坐标倾斜的微分面上

13、的应力 平衡方程、应力边界条件 转轴时应力分量的变换 主应力 应力张量不变量 (自学) 最大切应力 (自学),应力状态理论,当坐标系变化时，应力分量也发生变化，当坐标系转动到某些位置时，应力分量中切应力为零，仅有正应力不为零，这些正应力称为主应力。 这时坐标系所指方向为主方向。从变换的角度来说，主应力是应力矩阵的特征值，主方向是特征向量的方向。,6 主应力 应力张量不变量 (自学),6 主应力 应力张量不变量 (自学),已知倾斜微分面的方向余弦,倾斜微分面是主应力面，设主应力为,那么，该倾斜微分面上的应力矢量的分量可写为,另一方面：,主应力分析,关于l，m，n 的齐次线性方程组， 非零解的条件

14、为方程组的系数行列式等于零，即,6 主应力 应力张量不变量 (自学),其中：,主元之和,代数主子式之和,应力张量元素构成的行列式,主应力特征方程,6 主应力 应力张量不变量 (自学),应力状态特征方程 确定弹性体内部任意一点主应力和应力主轴方向。 主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条件等，与坐标轴的选取无关。 因此，特征方程的根是确定的，即I1、I2、I3的值是不随坐标轴的改变而变化的。 I1、I2、I3 分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。,6 主应力 应力张量不变量 (自学),特征方程有三个实数根 s1，s2，s3分别表示这三个根，代表某点三个主应力。 对于应力主方向，将s1

15、，s2，s3分别代入,和 l2+m2+n2=1 则可求应力主方向。,6 主应力 应力张量不变量 (自学),主应力和应力主方向取决于结构外力和约束条件，与坐标系无关。 因此特征方程的三个根是确定的。,特征方程的三个根，即一点的三个主应力均为实数。因为对称张量。 根据三次方程性质可以证明。,任意一点三个应力主方向是相互垂直的三个应力主轴正交的。,坐标系的改变导致应力张量各分量变化，但应力状态不变。 应力不变量正是对应力状态性质的描述。,不变性 实数性 正交性,6 主应力 应力张量不变量 (自学),主应力正交性证明：,下面证明下述结论： 1.若s1s2s3，特征方程无重根； 应力主轴必然相互垂直；

16、2.若s1s2s3，特征方程有两重根； s1和s2的方向必然垂直于s3的方向。而s1和s2的方向可以是垂直的，也可以不垂直； 3. 若s1=s2=s3，特征方程有三重根； 三个应力主轴可以垂直，也可以不垂直，任何方向都是应力主轴。,6 主应力 应力张量不变量 (自学),设s1，s2，s3 的方向分别为（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），则,分别乘以l2，m2，n2,分别乘以-l1,-m1,-n1,六式相加，可得,如果 s1s2s3,3个应力主方向相互垂直,如果 s1=s2s3,可以等于零，也可以不等于零。,s3与s1和s2的方向垂直， 而s1和s2的方向可以垂直或不垂直。 s3的垂直方向都是s1和s2的应力主向。,6 主应力 应力张量不变量 (自学),如果 s1=s2=s3,则 l1l2+m1m2+n1n2 l2l3+m2m3+n2n3 l1l3+m1m3+n1n3 均可为零或者不为零