二项式定理各种题型解题技巧

1、二项式定理1二项式定理：(a b)n =C0an C1anb (I C；anbrC；bn(n N “),2. 基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做(a - b)n的二项展开式。二项式系数：展开式中各项的系数 C； (r =0,1,2, n). 项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式 通项：展开式中的第 r 1项C；a；-br叫做二项式展开式的通项。用 丁 i =C；anbr表示。3. 注意关键点： 项数：展开式中总共有 (n 1)项。 顺序：注意正确选择 a , b ,其顺序不能更改。(a b)n与(b a)n是不同的。 指数：a的指数从n逐项减到0，是降幕排列。b的指数从0逐项减

2、到n，是升幕排列。各项的次数和等于n . 系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是cnwc：,c；,c；.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。4. 常用的结论：令 a =1,b 二x, (1 - x)n =C0 C：x C；x2 I C：xr Hl C：xn(n N )令 a =1,b =-x, (1-x)n -C：x C；x2 -(I C：xr |( (-1)nC：xn( n N )5. 性质： 二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即c0 -C； , CnCnJ 二项式系数和：令a=b=1,则二项式系数的和为c0 c1 Cn-C；c；-2n,变

3、形式 cn C2-CnH c； =21。 奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 a =1,b = 1，贝y C0cn +c2 03+川 +(_1)nC； =(1_1)n = 0 ,从而得到：C Cn CnQ；二 Ccn3cn2r二丄 2n = 2n42 奇数项的系数和与偶数项的系数和：nOnO 小Jn2n _2 2nOn12ln(a x)CnaxCnaxC*ax . C*a xa。aixa2Xa*x(x a)CnaxCnax一CnaxCnaxanxa2xa1x a0令x =1,贝V a0 - a1 a2 a an = (a 1)n令x - -1,贝卩 a0 - a1

4、 a2 _a3 川 an = (a _1)n得,a0 a2 a4川 an = (a_ (奇数项的系数和)2-得,a1 a3 a5“| an =_卩(-(偶数项的系数和)2n 二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数 n是偶数时，则中间一项的二项式系数 Cn2取得最大值。nVn -1如果二项式的幕指数 n是奇数时，则中间两项的二项式系数C,C同时取得最大值。 系数的最大项：求(a bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别A 4 丄 Ar 为A1,A2,，An十，设第r+1项系数最大，应有g A A，从而解出r来。Ar A26二项式定理的十一种考题的解法：题型一：二项式定

5、理的逆用；例：C： c2 6 C； 62 川 V： 6n=.解：(16)n二C0C16 - C：62C； 63川-C；6n与已知的有一些差距， Cc； 6C；6MI- C；6；二11 6Cn 611 C； 6；)6= (c0+cn 6+C； 62+|i+C： 6n-1)V(1+6)n-1 = (7n-1)6 6 6练：C1 - 3Cn - 9C； Jll - 3nJCn = .解：设 Sn 二C： UC； 9C； 1 3ndCn，则3Sn =U3 十C：32 +C；33 州| 十Cn3n =C： +Cn3+C：32 +C；33 +川+ cn3n _1 = (1 + 3)n_1(1 3)n -1

6、 _ 4n -1题型二：利用通项公式求 xn的系数;例：在二项式(1+yx2)n的展开式中倒数第 3项的系数为45，求含有x3的项的系数?解：由条件知 C； -45，即 卩 C；=45,. n2-n- 90 = 0，解得 n =-9(舍去)或 n =10，由1210 丄 2“mnk，由题意-罟旨=3,解得=6,则含有X3的项是第7项T6 1二C0x3 =210x3,系数为210 。1练：求（X2 -）9展开式中X9的系数？2x解: Tr 1 二C；（x2）9（一丄）r 二 c9x18r（）rx二c9（）rx183，令 18-3r=9,则 r=32x22121故x9的系数为c3（）3 ：22题型

7、三：利用通项公式求常数项；例:求二项式（X2 1_）10的展开式中的常数项?解:T1 =C；0(X2)1051 202，令22 Jx5145r 0 ，得 r 二 8,所以 T9 二 C；o( )8222561练：求二项式（2x）6的展开式中的常数项？2x解: Tr C6（2x）6_r（-1）r（丄）r 列-“七；？6,1）6，令 6-2r =0,得 r =3，所以2x233T4 =(-1) C6 二-20练：若（x2 +1）的二项展开式中第 5项为常数项，则n =.x解: T5 =Cn（x2）（1）Cx2n42，令 2n -12 = 0，得 n = 6.X题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理

8、数项;例：求二项式（、X-3、）9展开式中的有理项?1 91空 27 _ r解：Tr 1 =C；(x2)(x3)r =(1)rC；x 6 ，令z,(0r 乞9)得 r -3或 r -9，627 r3344所以当 r =3 时，27 r -4，T4 =（-1） C9X 二-84x，6当 r =9 时，27 - =3，T10 =（-1）3C；x3 - -x3。6题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；-256，求 n .展开式中各项系数依次设为令x - -1,则有aaian=0,，令 x = 1,则有 a -a-ia2-a3，宀，（-1） an = 2 ,将-得：2（ai a3 a）-

9、2n,.aia3a-2nJ,有题意得，_2nJ = -256 = -28, . n = 9。练：若（ + #土广的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。解：C0 +C； +C：+C：r + _ = Cn +C； +“ + C；r+ =2心，二 2n=1024，解得 n=11所以中间两个项分别为n =6, n =7，T51 二C；（3 ：）6（5 ） = 462 x*，61T6 1 二 462 伙一15精选资料，欢迎下载题型六：最大系数，最大项；1例：已知（ 2x）n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二2项式系数最大项的系数是多少？解：；C：

10、C； =2C；,. n2-21 n，98=0,解出n = 7或n =14，当n = 7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，T4的系数=c73（-）4235,，T5的系数二C；（丄）324 = 70,当n =142 2 2时，展开式中二项式系数最大的项是T8，T8的系数二C：4（-）727 =3432 。2练：在（a - b）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幕指数是偶数 2n ,则中间一项的二项式系数最大，即T2nTn ,，也就是第n 1项。T41在的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少?解：只有第5项的二项式最大，则 - 5，即n -8,所以

11、展开式中常数项为第七项等于2C；（-）2=72例：写出在（a-b）7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幕指数7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有T4二-C；a4b3的系数最小，T5 =C；a3b4系数最大。1例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求（2x）n的展开式中系数最大的项？2解：由 C0 cn C2 =79,解出 n =12,假设 T-项最大，；（-2x）-（-）12（V 4x）122 2t -1 - Art -1 - ArCi；4r _G；14r1，化简得到 9.4乞 r 乞 10.4，又:0 r r解得，化简得到6

12、.3乞k乞7.3，又lr +1 2(10 r)汀乞10, . r=7,展开式中系数最大的项为 T=C17027x 15360x7.题型七：含有三项变两项；2c例：求当(x 3x 2)的展开式中x的一次项的系数？2525r 25 rr解法：(x 3x 2)二(x2) 3x，Tr 1 二C5(x 2) (3x)，当且仅当 r =1 时，Tr 1 的展开式中才有x的一次项，此时T=T2 =C；(x2+2)43x，所以x得一次项为C；C：243x 它的系数为C；C：243 = 240。解法：(x2 +3x + 2)5 =(x+1)5(x + 2)5 =(C；0x5 +C；x4 +弋訂农乂5 + C；x

13、42+ +C；25)45544故展开式中含x的项为C5xC5 2 C5x2 = 240x，故展开式中x的系数为240.解：(x练：求式子(x一2)3，设第r 1项为常数项，则rr 6 r 1 r6 r 6 r 33Tr + =C6(-1)|x() =(1)C6X ，得 62r=0, r=3,.T3* = (1) C6=20.题型八：两个二项式相乘；例：求(1 2x)3(1-x)4展开式中x2的系数.解：(1 2x)3的展开式的通项是Cm (2x)Cm -2m xm,(1-x)4的展开式的通项是 C4 -x)C4 -1n xn,其中 m =0,1,2,3, n =0,1,2,3, 4,令m n

14、=2,则 m = 0且 n =2,m =1 且 n =1,m 二 2且 n 二 0,因此(1 2x)3(1x)4的展开式中 X2的系数等于 C30 20 C(1)2 +c3 d c4 (1)1 +C； 22 C： (1) = 6.练：求(1 3 X)6(1 41)10展开式中的常数项.VX.mn4m_3 n解:(1 3 x)6(V 41 )10展开式的通项为 C6nx3 C10x 4 =C6n Gn0 x 127xm = 0, m = 3, m = 6, 其中m =0,1,2，,6, n = 0,1,2，,10，当且仅当4m =3n,即卩或或I n = 0, n = 4, n = 8,时得展开

15、式中的常数项为C； C10 C63 C；0 C65 C；0 =4246.练：已知(1+x+x2)(x+)n的展开式中没有常数项，n N且2n 8,则门=.X解:1(x3)n展开式的通项为Cn Xn xJ3rxn如,通项分别与前面的三项相乘可得Xcn xnr,cn fkn展开式中不含常数项，2乞n注.n =4r且n =4r - 1且 n =4r 2, 即卩 n = 4,8且n =3,7 且n = 2,6,. n = 5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：在(x-J2)2006的二项展开式中，含x的奇次幕的项之和为 S,当x = J2时,S =解：设(X- 2) 2006=ao-aix1

16、a2X2-a3X3IHa2oo6X2006 23 丄 h 1 丄2006a?x -a3Xa2oo6 x -得2(aiX asX3 a5X5 IH a2o5X2005) = (x . 2) 2006 (x 短2006.(x-2)2006展开式的奇次幕项之和为s(x)二丄&-、2)2006 -(x，2)200623：2006当x *2时,s(-、2)J(-、2 -、.2)2006 -(、.2,2)200622 30082 2题型十：赋值法；例：设二项式(33 x )n的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s,若xp s =272 ,则n等于多少？解:若(33 x 丄)“ =a0 a1xa

17、2x2儿anxn，有 P 二a。 a1a*， S 二 C： C： = 2n，x令 x =1 得 p =4n，又 p s =272 ,即 4n 2n =272二(2n 17)(2160 解得2n =16或2n = -17(舍去)， n =4.练:解:( 1 若 3jx -一产 的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为多少?例:解:练:项为 Clot)3 (_ 1 )Vx3 = 540.若(1-2x)20二 a a/1 a?x2 a3X3 a2009X2009 (xR),则号，|f ，開!的值为1a1 a2a2009a1 a282009令X =2,可得a0石亏.科 = ，2.22 . 009二-a。在令x = 0可得a0 = 1,因而虫-0|l009 = -1.2 2 2若(x 2)5 =a5x5 +a4x4 +a3x3 +a2x2 ta/1 +a0,贝Vai +a2 +a3 +a4 +a5 =.令x =1，贝V 3、. x - 1 的展开式中各项系数之和为 2n = 64，所以n = 6 ,则展开式的常数 I 真丿