第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用

1、第2课时 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理的综合应用,完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法,完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法,1.分类加法计数原理,2.分步乘法计数原理,完成一件事，共有n类办法，关键词“分类,区别1,完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步,区别2,区别3,每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事,每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，

2、缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事,各类办法是互相独立的,各步之间是互相关联的,即：类类独立，步步关联,联系,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,例1.(1) 5名学生报名参加4项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？ (2)5名学生争夺4项比赛冠军（每一名学生参赛项目不限）则冠军获得者可能性有多少种（没有并列冠军）,解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件.故报名方法种数为 44444= 种,2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能 获得其中的一项冠军，因此每个项目获冠军

3、的可 能性有5种，故有n=5= 种,分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首字符；第二步，选中间字符； 第三步，选末位字符,解：首字符共有7+613种不同的选法,答：最多可以给1053个程序命名,中间字符和末位字符各有9种不同的选法,根据分步乘法计数原理，最多可以有13991053种不同的选法,例2.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母AG或UZ，后两个要求用数字19，问最多可以给多少个程序命名,例3.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分.一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有

4、个不同的碱基， 分别用A，C，G，U表示.在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子,分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从A,C,G,U中任选一个来占据,解：100个碱基组成的长链共有100个位置，在每个位 置中，从A、C、G、U中任选一个来填入，每个位置有 4种填充方法.根据分步乘法计数原理，共有,种不同的RNA分子,例4.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与 低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因 此计算机内部就采用了每一

5、位只有0或1两种数字的记 数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要 对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来 表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单 位，每个字节由个二进制位构成，问 （1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6 763个汉 字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码， 每个汉字至少要用多少个字节表示,如00000000，10000000， 11111111,例5.计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据.一

6、般地，一个程序模块由许多子模块组成.它是一个具有许多执行路径的程序模块. 问：这个程序模块有多少条执行路径？另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数.你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗,分析：整个模块的 任意一条路径都分 两步完成： 第1步是从开始 执行到A点；第2步 是从A点执行到结 束.而第1步可由子 模块1或子模块2或 子模块3来完成； 第2步可由子模 块4或子模块5来完 成.因此，分析一 条指令在整个模块 的执行路径需要用 到两个计数原理,在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成 一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块 的方式来测试整个模块.这样，他可以

7、先分别单独 测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正 常.总共需要的测试次数为,18+45+28+38+43=172,再测试各个模块之间的信息交流是否正常，需要测试的次数为：32=6. 如果每个子模块都正常工作，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就正常,这样，测试整个模块的次数就变为 172+6=178（次,显然，178与7371的差距是非常大的,例6.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌 照都必须有个不重复的英文字母和个不重复的阿拉伯数字，并且个字母必须合成一组出现，个数字也必须合

8、成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照,1由数字1,2,3,4,5,6可以组成没有重复数字的两位数的 个数是 () A11B12 C30 D36,C,2.如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（ ）对 A.12 B.24 C.36 D.48,B,3.将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有_种,解：号方格里可填，三个数字，有种填法.号方格填好后，再填与号方格内数字相同的号的方格，又有种填法，其余两个方格只有种填法。 所以共有3*3*1=9种不同的方法,9,4.一个袋子里

9、装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡 (1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法 (2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法,分析：(1)从两个袋子中任取一张卡有两类取法，是分类加法计数原理； (2)从两个袋子中各取一张卡，要分两步完成，是分步乘法计数原理,总结提升】 用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或 “分步”的具体标准，在“分类”时要做到“不重不漏”，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性,两个原理的综合应用,如果完成一件事情有n类办法,这n类办法彼此之间是相互独立的,无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情,求完成这件事情的方法种数,就用分类加法计数原理,关于分类,首先要根据问题的特点确定一个分类的标准, 然后再分类,分类时要掌握两个原则,1.完成这件事的任何一种方法都必须属于某一类; 2.分别属于不同两类的方法是不同的方法,不重不漏,1)确定分步标准;(2)分成的 n 个步骤要连续完成;(3)每步中任何一种方法都可以与下一步中的任